Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Snelheid en versnelling'.

vwo wiskunde B	10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling
Snelheid en versnelling (3)	opgave 1 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=-2\frac{2}{3}t^3+8t \\ y(t)=t^2+3t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t=-3\text{.}\) BaansnelheidBerekenen 00qv - Snelheid en versnelling - basis - 458ms ○ \(x'(t)=-8t^2+8\) \(y'(t)=2t+3\) 1p ○ [Voor de snelheidsvector geldt] \(\overrightarrow{v}(-3)=\begin{pmatrix}x'(-3) \\ y'(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-64 \\ -3\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ [Dus de baansnelheid is] \(v(-3)=\begin{vmatrix}\overrightarrow{v}(-3)\end{vmatrix}=\sqrt{(-64)^2+(-3)^2}=\sqrt{4\,105}\text{.}\) 1p opgave 2 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=-t^3+12t \\ y(t)=t^2-2t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 4p Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t\text{.}\) Rond af op twee decimalen. BaansnelheidMinimaliseren 00qw - Snelheid en versnelling - basis - 0ms ○ \(x'(t)=-3t^2+12\) \(y'(t)=2t-2\) 1p ○ [De formule voor de baansnelheid is] \(v(t)=\begin{vmatrix}\overrightarrow{v}(t)\end{vmatrix}\) \(\text{}=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\) \(\text{}=\sqrt{(-3t^2+12)^2+(2t-2)^2}\text{.}\) 1p ○ Voer in \(y_1=\sqrt{(-3x^2+12)^2+(2x-2)^2}\) Optie 'minimum' geeft \(x=1{,}972...\) en \(y=1{,}972...\) 1p ○ De minimale baansnelheid is ongeveer \(1{,}97\) voor \(t=1{,}97\text{.}\) 1p opgave 3 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=2t^3-6t \\ y(t)=3t^2+9t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 4p Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t=-3\text{.}\) Rond af op 2 decimalen. BaanversnellingBerekenen 00qx - Snelheid en versnelling - basis - 1ms ○ \(x'(t)=6t^2-6\) \(y'(t)=6t+9\) 1p ○ [De formule voor de baansnelheid is] \(v(t)=\begin{vmatrix}\overrightarrow{v}(t)\end{vmatrix}\) \(\text{}=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\) \(\text{}=\sqrt{(6t^2-6)^2+(6t+9)^2}\) \(\text{}=\sqrt{36t^4-36t^2+108t+117}\text{.}\) 1p ○ [De formule voor de baanversnelling is dan] \(a(t)=v'(t)\) \(\text{}={1 \over 2\sqrt{36t^4-36t^2+108t+117}}⋅(144t^3-72t+108)\) \(\text{}={72t^3-36t+54 \over \sqrt{36t^4-36t^2+108t+117}}\) 1p ○ [Invullen van \(t=-3\) geeft] \(a(-3)={-3\,564 \over \sqrt{2\,385}}≈-72{,}98\) 1p

10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling

Snelheid en versnelling (3)

opgave 1

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=-2\frac{2}{3}t^3+8t \\ y(t)=t^2+3t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t=-3\text{.}\)

BaansnelheidBerekenen

00qv - Snelheid en versnelling - basis - 458ms

○

\(x'(t)=-8t^2+8\)
\(y'(t)=2t+3\)

○

[Voor de snelheidsvector geldt]
\(\overrightarrow{v}(-3)=\begin{pmatrix}x'(-3) \\ y'(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-64 \\ -3\end{pmatrix}\text{.}\)

○

[Dus de baansnelheid is]
\(v(-3)=\begin{vmatrix}\overrightarrow{v}(-3)\end{vmatrix}=\sqrt{(-64)^2+(-3)^2}=\sqrt{4\,105}\text{.}\)

opgave 2

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=-t^3+12t \\ y(t)=t^2-2t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t\text{.}\) Rond af op twee decimalen.

BaansnelheidMinimaliseren

00qw - Snelheid en versnelling - basis - 0ms

○

\(x'(t)=-3t^2+12\)
\(y'(t)=2t-2\)

○

[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t)=\begin{vmatrix}\overrightarrow{v}(t)\end{vmatrix}\)
\(\text{}=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\)
\(\text{}=\sqrt{(-3t^2+12)^2+(2t-2)^2}\text{.}\)

○

Voer in
\(y_1=\sqrt{(-3x^2+12)^2+(2x-2)^2}\)
Optie 'minimum' geeft \(x=1{,}972...\) en \(y=1{,}972...\)

○

De minimale baansnelheid is ongeveer \(1{,}97\) voor \(t=1{,}97\text{.}\)

opgave 3

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=2t^3-6t \\ y(t)=3t^2+9t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t=-3\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

BaanversnellingBerekenen

00qx - Snelheid en versnelling - basis - 1ms

○

\(x'(t)=6t^2-6\)
\(y'(t)=6t+9\)

○

[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t)=\begin{vmatrix}\overrightarrow{v}(t)\end{vmatrix}\)
\(\text{}=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\)
\(\text{}=\sqrt{(6t^2-6)^2+(6t+9)^2}\)
\(\text{}=\sqrt{36t^4-36t^2+108t+117}\text{.}\)

○

[De formule voor de baanversnelling is dan]
\(a(t)=v'(t)\)
\(\text{}={1 \over 2\sqrt{36t^4-36t^2+108t+117}}⋅(144t^3-72t+108)\)
\(\text{}={72t^3-36t+54 \over \sqrt{36t^4-36t^2+108t+117}}\)

○

[Invullen van \(t=-3\) geeft]
\(a(-3)={-3\,564 \over \sqrt{2\,385}}≈-72{,}98\)