Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Snelheid en versnelling'.

vwo wiskunde B	10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling
Snelheid en versnelling (3)	opgave 1 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=-2t^2-6t \\ y(t)=2t^3-8t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t=-2\text{.}\) BaansnelheidBerekenen 00qv - Snelheid en versnelling - basis - 380ms ○ \(x'(t)=-4t-6\) \(y'(t)=6t^2-8\) 1p ○ [Voor de snelheidsvector geldt] \(\overrightarrow{v}(-2)=\begin{pmatrix}x'(-2) \\ y'(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ 16\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ [Dus de baansnelheid is] \(v(-2)=\begin{vmatrix}\overrightarrow{v}(-2)\end{vmatrix}=\sqrt{2^2+16^2}=\sqrt{260}\text{ [}\text{}=2\sqrt{65}\text{]}\text{.}\) 1p opgave 2 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=-1\frac{1}{3}t^3+9t \\ y(t)=3t^2+6t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 4p Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t\text{.}\) Rond af op twee decimalen. BaansnelheidMinimaliseren 00qw - Snelheid en versnelling - basis - 0ms ○ \(x'(t)=-4t^2+9\) \(y'(t)=6t+6\) 1p ○ [De formule voor de baansnelheid is] \(v(t)=\begin{vmatrix}\overrightarrow{v}(t)\end{vmatrix}\) \(\text{}=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\) \(\text{}=\sqrt{(-4t^2+9)^2+(6t+6)^2}\text{.}\) 1p ○ Voer in \(y_1=\sqrt{(-4x^2+9)^2+(6x+6)^2}\) Optie 'minimum' geeft \(x=-1{,}390...\) en \(y=2{,}663...\) 1p ○ De minimale baansnelheid is ongeveer \(2{,}66\) voor \(t=-1{,}39\text{.}\) 1p opgave 3 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=3t^2-6t \\ y(t)=-t^3+t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 4p Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t=-1\text{.}\) Rond af op 2 decimalen. BaanversnellingBerekenen 00qx - Snelheid en versnelling - basis - 1ms ○ \(x'(t)=6t-6\) \(y'(t)=-3t^2+1\) 1p ○ [De formule voor de baansnelheid is] \(v(t)=\begin{vmatrix}\overrightarrow{v}(t)\end{vmatrix}\) \(\text{}=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\) \(\text{}=\sqrt{(6t-6)^2+(-3t^2+1)^2}\) \(\text{}=\sqrt{9t^4+30t^2-72t+37}\text{.}\) 1p ○ [De formule voor de baanversnelling is dan] \(a(t)=v'(t)\) \(\text{}={1 \over 2\sqrt{9t^4+30t^2-72t+37}}⋅(36t^3+60t-72)\) \(\text{}={18t^3+30t-36 \over \sqrt{9t^4+30t^2-72t+37}}\) 1p ○ [Invullen van \(t=-1\) geeft] \(a(-1)={-168 \over \sqrt{148}}≈-13{,}81\) 1p

10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling

Snelheid en versnelling (3)

opgave 1

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=-2t^2-6t \\ y(t)=2t^3-8t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t=-2\text{.}\)

BaansnelheidBerekenen

00qv - Snelheid en versnelling - basis - 380ms

○

\(x'(t)=-4t-6\)
\(y'(t)=6t^2-8\)

○

[Voor de snelheidsvector geldt]
\(\overrightarrow{v}(-2)=\begin{pmatrix}x'(-2) \\ y'(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 \\ 16\end{pmatrix}\text{.}\)

○

[Dus de baansnelheid is]
\(v(-2)=\begin{vmatrix}\overrightarrow{v}(-2)\end{vmatrix}=\sqrt{2^2+16^2}=\sqrt{260}\text{ [}\text{}=2\sqrt{65}\text{]}\text{.}\)

opgave 2

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=-1\frac{1}{3}t^3+9t \\ y(t)=3t^2+6t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t\text{.}\) Rond af op twee decimalen.

BaansnelheidMinimaliseren

00qw - Snelheid en versnelling - basis - 0ms

○

\(x'(t)=-4t^2+9\)
\(y'(t)=6t+6\)

○

[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t)=\begin{vmatrix}\overrightarrow{v}(t)\end{vmatrix}\)
\(\text{}=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\)
\(\text{}=\sqrt{(-4t^2+9)^2+(6t+6)^2}\text{.}\)

○

Voer in
\(y_1=\sqrt{(-4x^2+9)^2+(6x+6)^2}\)
Optie 'minimum' geeft \(x=-1{,}390...\) en \(y=2{,}663...\)

○

De minimale baansnelheid is ongeveer \(2{,}66\) voor \(t=-1{,}39\text{.}\)

opgave 3

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=3t^2-6t \\ y(t)=-t^3+t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t=-1\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

BaanversnellingBerekenen

00qx - Snelheid en versnelling - basis - 1ms

○

\(x'(t)=6t-6\)
\(y'(t)=-3t^2+1\)

○

[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t)=\begin{vmatrix}\overrightarrow{v}(t)\end{vmatrix}\)
\(\text{}=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\)
\(\text{}=\sqrt{(6t-6)^2+(-3t^2+1)^2}\)
\(\text{}=\sqrt{9t^4+30t^2-72t+37}\text{.}\)

○

[De formule voor de baanversnelling is dan]
\(a(t)=v'(t)\)
\(\text{}={1 \over 2\sqrt{9t^4+30t^2-72t+37}}⋅(36t^3+60t-72)\)
\(\text{}={18t^3+30t-36 \over \sqrt{9t^4+30t^2-72t+37}}\)

○

[Invullen van \(t=-1\) geeft]
\(a(-1)={-168 \over \sqrt{148}}≈-13{,}81\)