Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Snelheid en versnelling'.

vwo wiskunde B	10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling
Snelheid en versnelling (3)	opgave 1 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = -\frac{2}{3} t^{3} + 2 t \\ y(t) = -3 t^{2} - 9 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t = -2 \text{.}\) BaansnelheidBerekenen 00qv - Snelheid en versnelling - basis - 399ms ○ \(x'(t) = -2 t^{2} + 2\) \(y'(t) = -6 t - 9\) 1p ○ [Voor de snelheidsvector geldt] \(\overrightarrow{v} (-2) = \begin{pmatrix}x'(-2) \\ y'(-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6 \\ 3\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ [Dus de baansnelheid is] \(v(-2) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (-2)\end{vmatrix} = \sqrt{(-6)^{2} + 3^{2}} = \sqrt{45} \text{ [} \text{} = 3 \sqrt{5} \text{]} \text{.}\) 1p opgave 2 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = -2\frac{1}{2} t^{2} - 5 t \\ y(t) = -2 t^{3} + 2 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 4p Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t \text{.}\) Rond af op twee decimalen. BaansnelheidMinimaliseren 00qw - Snelheid en versnelling - basis - 0ms ○ \(x'(t) = -5 t - 5\) \(y'(t) = -6 t^{2} + 2\) 1p ○ [De formule voor de baansnelheid is] \(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\) \(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\) \(\text{} = \sqrt{(-5 t - 5)^{2} + (-6 t^{2} + 2)^{2}} \text{.}\) 1p ○ Voer in \(y_{1} = \sqrt{(-5 x - 5)^{2} + (-6 x^{2} + 2)^{2}}\) Optie 'minimum' geeft \(x = -0{,}696...\) en \(y = 1{,}769...\) 1p ○ De minimale baansnelheid is ongeveer \(1{,}77\) voor \(t = -0{,}70 \text{.}\) 1p opgave 3 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = -t^{2} + 2 t \\ y(t) = -t^{3} + 12 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 4p Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t = -3 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. BaanversnellingBerekenen 00qx - Snelheid en versnelling - basis - 0ms ○ \(x'(t) = -2 t + 2\) \(y'(t) = -3 t^{2} + 12\) 1p ○ [De formule voor de baansnelheid is] \(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\) \(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\) \(\text{} = \sqrt{(-2 t + 2)^{2} + (-3 t^{2} + 12)^{2}}\) \(\text{} = \sqrt{9 t^{4} - 68 t^{2} - 8 t + 148} \text{.}\) 1p ○ [De formule voor de baanversnelling is dan] \(a(t) = v'(t)\) \(\text{} = {1 \over 2 \sqrt{9 t^{4} - 68 t^{2} - 8 t + 148}} ⋅ (36 t^{3} - 136 t - 8)\) \(\text{} = {18 t^{3} - 68 t - 4 \over \sqrt{9 t^{4} - 68 t^{2} - 8 t + 148}}\) 1p ○ [Invullen van \(t = -3\) geeft] \(a(-3) = {-286 \over \sqrt{289}} ≈ -16{,}82\) 1p

10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling

Snelheid en versnelling (3)

opgave 1

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -\frac{2}{3} t^{3} + 2 t \\ y(t) = -3 t^{2} - 9 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t = -2 \text{.}\)

BaansnelheidBerekenen

00qv - Snelheid en versnelling - basis - 399ms

○

\(x'(t) = -2 t^{2} + 2\)
\(y'(t) = -6 t - 9\)

○

[Voor de snelheidsvector geldt]
\(\overrightarrow{v} (-2) = \begin{pmatrix}x'(-2) \\ y'(-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6 \\ 3\end{pmatrix} \text{.}\)

○

[Dus de baansnelheid is]
\(v(-2) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (-2)\end{vmatrix} = \sqrt{(-6)^{2} + 3^{2}} = \sqrt{45} \text{ [} \text{} = 3 \sqrt{5} \text{]} \text{.}\)

opgave 2

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -2\frac{1}{2} t^{2} - 5 t \\ y(t) = -2 t^{3} + 2 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t \text{.}\) Rond af op twee decimalen.

BaansnelheidMinimaliseren

00qw - Snelheid en versnelling - basis - 0ms

○

\(x'(t) = -5 t - 5\)
\(y'(t) = -6 t^{2} + 2\)

○

[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(-5 t - 5)^{2} + (-6 t^{2} + 2)^{2}} \text{.}\)

○

Voer in
\(y_{1} = \sqrt{(-5 x - 5)^{2} + (-6 x^{2} + 2)^{2}}\)
Optie 'minimum' geeft \(x = -0{,}696...\) en \(y = 1{,}769...\)

○

De minimale baansnelheid is ongeveer \(1{,}77\) voor \(t = -0{,}70 \text{.}\)

opgave 3

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -t^{2} + 2 t \\ y(t) = -t^{3} + 12 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t = -3 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

BaanversnellingBerekenen

00qx - Snelheid en versnelling - basis - 0ms

○

\(x'(t) = -2 t + 2\)
\(y'(t) = -3 t^{2} + 12\)

○

[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(-2 t + 2)^{2} + (-3 t^{2} + 12)^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{9 t^{4} - 68 t^{2} - 8 t + 148} \text{.}\)

○

[De formule voor de baanversnelling is dan]
\(a(t) = v'(t)\)
\(\text{} = {1 \over 2 \sqrt{9 t^{4} - 68 t^{2} - 8 t + 148}} ⋅ (36 t^{3} - 136 t - 8)\)
\(\text{} = {18 t^{3} - 68 t - 4 \over \sqrt{9 t^{4} - 68 t^{2} - 8 t + 148}}\)

○

[Invullen van \(t = -3\) geeft]
\(a(-3) = {-286 \over \sqrt{289}} ≈ -16{,}82\)