Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Snelheid en versnelling'.

vwo wiskunde B 10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling

Snelheid en versnelling (3)

opgave 1

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -1\frac{1}{3} t^{3} + 7 t \\ y(t) = 2 t^{2} + 4 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Oxy

3p

Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t = 1 \text{.}\)

BaansnelheidBerekenen
00qv - Snelheid en versnelling - basis - 455ms

○

\(x'(t) = -4 t^{2} + 7\)
\(y'(t) = 4 t + 4\)

1p

○

[Voor de snelheidsvector geldt]
\(\overrightarrow{v} (1) = \begin{pmatrix}x'(1) \\ y'(1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 8\end{pmatrix} \text{.}\)

1p

○

[Dus de baansnelheid is]
\(v(1) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (1)\end{vmatrix} = \sqrt{3^{2} + 8^{2}} = \sqrt{73} \text{.}\)

1p

opgave 2

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = 1\frac{1}{3} t^{3} - 4 t \\ y(t) = -t^{2} + 3 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Oxy

4p

Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t \text{.}\) Rond af op twee decimalen.

BaansnelheidMinimaliseren
00qw - Snelheid en versnelling - basis - 0ms

○

\(x'(t) = 4 t^{2} - 4\)
\(y'(t) = -2 t + 3\)

1p

○

[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(4 t^{2} - 4)^{2} + (-2 t + 3)^{2}} \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = \sqrt{(4 x^{2} - 4)^{2} + (-2 x + 3)^{2}}\)
Optie 'minimum' geeft \(x = 1{,}028...\) en \(y = 0{,}970...\)

1p

○

De minimale baansnelheid is ongeveer \(0{,}97\) voor \(t = 1{,}03 \text{.}\)

1p

opgave 3

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = 2 t^{2} - 4 t \\ y(t) = -1\frac{1}{3} t^{3} + 12 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Oxy

4p

Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t = -1 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

BaanversnellingBerekenen
00qx - Snelheid en versnelling - basis - 1ms

○

\(x'(t) = 4 t - 4\)
\(y'(t) = -4 t^{2} + 12\)

1p

○

[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(4 t - 4)^{2} + (-4 t^{2} + 12)^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{16 t^{4} - 80 t^{2} - 32 t + 160} \text{.}\)

1p

○

[De formule voor de baanversnelling is dan]
\(a(t) = v'(t)\)
\(\text{} = {1 \over 2 \sqrt{16 t^{4} - 80 t^{2} - 32 t + 160}} ⋅ (64 t^{3} - 160 t - 32)\)
\(\text{} = {32 t^{3} - 80 t - 16 \over \sqrt{16 t^{4} - 80 t^{2} - 32 t + 160}}\)

1p

○

[Invullen van \(t = -1\) geeft]
\(a(-1) = {32 \over \sqrt{128}} ≈ 2{,}83\)

1p
"