Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Snelheid en versnelling'.

vwo wiskunde B	10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling
Snelheid en versnelling (3)	opgave 1 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = 1\frac{2}{3} t^{3} - 15 t \\ y(t) = 2 t^{2} + 8 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t = -4 \text{.}\) BaansnelheidBerekenen 00qv - Snelheid en versnelling - basis - 416ms ○ \(x'(t) = 5 t^{2} - 15\) \(y'(t) = 4 t + 8\) 1p ○ [Voor de snelheidsvector geldt] \(\overrightarrow{v} (-4) = \begin{pmatrix}x'(-4) \\ y'(-4)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}65 \\ -8\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ [Dus de baansnelheid is] \(v(-4) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (-4)\end{vmatrix} = \sqrt{65^{2} + (-8)^{2}} = \sqrt{4\,289} \text{.}\) 1p opgave 2 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = 1\frac{1}{3} t^{3} - 4 t \\ y(t) = -2 t^{2} + 6 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 4p Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t \text{.}\) Rond af op twee decimalen. BaansnelheidMinimaliseren 00qw - Snelheid en versnelling - basis - 0ms ○ \(x'(t) = 4 t^{2} - 4\) \(y'(t) = -4 t + 6\) 1p ○ [De formule voor de baansnelheid is] \(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\) \(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\) \(\text{} = \sqrt{(4 t^{2} - 4)^{2} + (-4 t + 6)^{2}} \text{.}\) 1p ○ Voer in \(y_{1} = \sqrt{(4 x^{2} - 4)^{2} + (-4 x + 6)^{2}}\) Optie 'minimum' geeft \(x = 1{,}089...\) en \(y = 1{,}804...\) 1p ○ De minimale baansnelheid is ongeveer \(1{,}80\) voor \(t = 1{,}09 \text{.}\) 1p opgave 3 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = -3 t^{2} + 9 t \\ y(t) = \frac{2}{3} t^{3} - 2 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 4p Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t = 2 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. BaanversnellingBerekenen 00qx - Snelheid en versnelling - basis - 0ms ○ \(x'(t) = -6 t + 9\) \(y'(t) = 2 t^{2} - 2\) 1p ○ [De formule voor de baansnelheid is] \(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\) \(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\) \(\text{} = \sqrt{(-6 t + 9)^{2} + (2 t^{2} - 2)^{2}}\) \(\text{} = \sqrt{4 t^{4} + 28 t^{2} - 108 t + 85} \text{.}\) 1p ○ [De formule voor de baanversnelling is dan] \(a(t) = v'(t)\) \(\text{} = {1 \over 2 \sqrt{4 t^{4} + 28 t^{2} - 108 t + 85}} ⋅ (16 t^{3} + 56 t - 108)\) \(\text{} = {8 t^{3} + 28 t - 54 \over \sqrt{4 t^{4} + 28 t^{2} - 108 t + 85}}\) 1p ○ [Invullen van \(t = 2\) geeft] \(a(2) = {66 \over \sqrt{45}} ≈ 9{,}84\) 1p

10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling

Snelheid en versnelling (3)

opgave 1

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = 1\frac{2}{3} t^{3} - 15 t \\ y(t) = 2 t^{2} + 8 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t = -4 \text{.}\)

BaansnelheidBerekenen

00qv - Snelheid en versnelling - basis - 416ms

○

\(x'(t) = 5 t^{2} - 15\)
\(y'(t) = 4 t + 8\)

○

[Voor de snelheidsvector geldt]
\(\overrightarrow{v} (-4) = \begin{pmatrix}x'(-4) \\ y'(-4)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}65 \\ -8\end{pmatrix} \text{.}\)

○

[Dus de baansnelheid is]
\(v(-4) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (-4)\end{vmatrix} = \sqrt{65^{2} + (-8)^{2}} = \sqrt{4\,289} \text{.}\)

opgave 2

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = 1\frac{1}{3} t^{3} - 4 t \\ y(t) = -2 t^{2} + 6 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t \text{.}\) Rond af op twee decimalen.

BaansnelheidMinimaliseren

00qw - Snelheid en versnelling - basis - 0ms

○

\(x'(t) = 4 t^{2} - 4\)
\(y'(t) = -4 t + 6\)

○

[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(4 t^{2} - 4)^{2} + (-4 t + 6)^{2}} \text{.}\)

○

Voer in
\(y_{1} = \sqrt{(4 x^{2} - 4)^{2} + (-4 x + 6)^{2}}\)
Optie 'minimum' geeft \(x = 1{,}089...\) en \(y = 1{,}804...\)

○

De minimale baansnelheid is ongeveer \(1{,}80\) voor \(t = 1{,}09 \text{.}\)

opgave 3

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -3 t^{2} + 9 t \\ y(t) = \frac{2}{3} t^{3} - 2 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t = 2 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

BaanversnellingBerekenen

00qx - Snelheid en versnelling - basis - 0ms

○

\(x'(t) = -6 t + 9\)
\(y'(t) = 2 t^{2} - 2\)

○

[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(-6 t + 9)^{2} + (2 t^{2} - 2)^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{4 t^{4} + 28 t^{2} - 108 t + 85} \text{.}\)

○

[De formule voor de baanversnelling is dan]
\(a(t) = v'(t)\)
\(\text{} = {1 \over 2 \sqrt{4 t^{4} + 28 t^{2} - 108 t + 85}} ⋅ (16 t^{3} + 56 t - 108)\)
\(\text{} = {8 t^{3} + 28 t - 54 \over \sqrt{4 t^{4} + 28 t^{2} - 108 t + 85}}\)

○

[Invullen van \(t = 2\) geeft]
\(a(2) = {66 \over \sqrt{45}} ≈ 9{,}84\)