Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Snelheid en versnelling'.

vwo wiskunde B	10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling
Snelheid en versnelling (3)	opgave 1 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = -1\frac{1}{2} t^{2} + 3 t \\ y(t) = \frac{2}{3} t^{3} - 6 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t = 2 \text{.}\) BaansnelheidBerekenen 00qv - Snelheid en versnelling - basis - 483ms ○ \(x'(t) = -3 t + 3\) \(y'(t) = 2 t^{2} - 6\) 1p ○ [Voor de snelheidsvector geldt] \(\overrightarrow{v} (2) = \begin{pmatrix}x'(2) \\ y'(2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ 2\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ [Dus de baansnelheid is] \(v(2) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (2)\end{vmatrix} = \sqrt{(-3)^{2} + 2^{2}} = \sqrt{13} \text{.}\) 1p opgave 2 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = -t^{2} + 3 t \\ y(t) = 2 t^{3} - 6 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 4p Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t \text{.}\) Rond af op twee decimalen. BaansnelheidMinimaliseren 00qw - Snelheid en versnelling - basis - 0ms ○ \(x'(t) = -2 t + 3\) \(y'(t) = 6 t^{2} - 6\) 1p ○ [De formule voor de baansnelheid is] \(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\) \(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\) \(\text{} = \sqrt{(-2 t + 3)^{2} + (6 t^{2} - 6)^{2}} \text{.}\) 1p ○ Voer in \(y_{1} = \sqrt{(-2 x + 3)^{2} + (6 x^{2} - 6)^{2}}\) Optie 'minimum' geeft \(x = 1{,}013...\) en \(y = 0{,}986...\) 1p ○ De minimale baansnelheid is ongeveer \(0{,}99\) voor \(t = 1{,}01 \text{.}\) 1p opgave 3 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = \frac{2}{3} t^{3} - 6 t \\ y(t) = -2\frac{1}{4} t^{2} - 9 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 4p Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t = -4 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. BaanversnellingBerekenen 00qx - Snelheid en versnelling - basis - 0ms ○ \(x'(t) = 2 t^{2} - 6\) \(y'(t) = -4\frac{1}{2} t - 9\) 1p ○ [De formule voor de baansnelheid is] \(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\) \(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\) \(\text{} = \sqrt{(2 t^{2} - 6)^{2} + (-4\frac{1}{2} t - 9)^{2}}\) \(\text{} = \sqrt{4 t^{4} - 3\frac{3}{4} t^{2} + 81 t + 117} \text{.}\) 1p ○ [De formule voor de baanversnelling is dan] \(a(t) = v'(t)\) \(\text{} = {1 \over 2 \sqrt{4 t^{4} - 3\frac{3}{4} t^{2} + 81 t + 117}} ⋅ (16 t^{3} - 7\frac{1}{2} t + 81)\) \(\text{} = {16 t^{3} - 7\frac{1}{2} t + 81 \over 2 \sqrt{4 t^{4} - 3\frac{3}{4} t^{2} + 81 t + 117}}\) 1p ○ [Invullen van \(t = -4\) geeft] \(a(-4) = {-913 \over \sqrt{757}} ≈ -33{,}18\) 1p

10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling

Snelheid en versnelling (3)

opgave 1

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -1\frac{1}{2} t^{2} + 3 t \\ y(t) = \frac{2}{3} t^{3} - 6 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t = 2 \text{.}\)

BaansnelheidBerekenen

00qv - Snelheid en versnelling - basis - 483ms

○

\(x'(t) = -3 t + 3\)
\(y'(t) = 2 t^{2} - 6\)

○

[Voor de snelheidsvector geldt]
\(\overrightarrow{v} (2) = \begin{pmatrix}x'(2) \\ y'(2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ 2\end{pmatrix} \text{.}\)

○

[Dus de baansnelheid is]
\(v(2) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (2)\end{vmatrix} = \sqrt{(-3)^{2} + 2^{2}} = \sqrt{13} \text{.}\)

opgave 2

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -t^{2} + 3 t \\ y(t) = 2 t^{3} - 6 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t \text{.}\) Rond af op twee decimalen.

BaansnelheidMinimaliseren

00qw - Snelheid en versnelling - basis - 0ms

○

\(x'(t) = -2 t + 3\)
\(y'(t) = 6 t^{2} - 6\)

○

[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(-2 t + 3)^{2} + (6 t^{2} - 6)^{2}} \text{.}\)

○

Voer in
\(y_{1} = \sqrt{(-2 x + 3)^{2} + (6 x^{2} - 6)^{2}}\)
Optie 'minimum' geeft \(x = 1{,}013...\) en \(y = 0{,}986...\)

○

De minimale baansnelheid is ongeveer \(0{,}99\) voor \(t = 1{,}01 \text{.}\)

opgave 3

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = \frac{2}{3} t^{3} - 6 t \\ y(t) = -2\frac{1}{4} t^{2} - 9 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t = -4 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

BaanversnellingBerekenen

00qx - Snelheid en versnelling - basis - 0ms

○

\(x'(t) = 2 t^{2} - 6\)
\(y'(t) = -4\frac{1}{2} t - 9\)

○

[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(2 t^{2} - 6)^{2} + (-4\frac{1}{2} t - 9)^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{4 t^{4} - 3\frac{3}{4} t^{2} + 81 t + 117} \text{.}\)

○

[De formule voor de baanversnelling is dan]
\(a(t) = v'(t)\)
\(\text{} = {1 \over 2 \sqrt{4 t^{4} - 3\frac{3}{4} t^{2} + 81 t + 117}} ⋅ (16 t^{3} - 7\frac{1}{2} t + 81)\)
\(\text{} = {16 t^{3} - 7\frac{1}{2} t + 81 \over 2 \sqrt{4 t^{4} - 3\frac{3}{4} t^{2} + 81 t + 117}}\)

○

[Invullen van \(t = -4\) geeft]
\(a(-4) = {-913 \over \sqrt{757}} ≈ -33{,}18\)