Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Snelheid en versnelling'.

vwo wiskunde B	10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling
Snelheid en versnelling (3)	opgave 1 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = -2 t^{3} + 6 t \\ y(t) = -t^{2} + 3 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t = -2 \text{.}\) BaansnelheidBerekenen 00qv - Snelheid en versnelling - basis - 455ms ○ \(x'(t) = -6 t^{2} + 6\) \(y'(t) = -2 t + 3\) 1p ○ [Voor de snelheidsvector geldt] \(\overrightarrow{v} (-2) = \begin{pmatrix}x'(-2) \\ y'(-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-18 \\ 7\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ [Dus de baansnelheid is] \(v(-2) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (-2)\end{vmatrix} = \sqrt{(-18)^{2} + 7^{2}} = \sqrt{373} \text{.}\) 1p opgave 2 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = 1\frac{1}{3} t^{3} - 7 t \\ y(t) = t^{2} + 2 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 4p Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t \text{.}\) Rond af op twee decimalen. BaansnelheidMinimaliseren 00qw - Snelheid en versnelling - basis - 0ms ○ \(x'(t) = 4 t^{2} - 7\) \(y'(t) = 2 t + 2\) 1p ○ [De formule voor de baansnelheid is] \(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\) \(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\) \(\text{} = \sqrt{(4 t^{2} - 7)^{2} + (2 t + 2)^{2}} \text{.}\) 1p ○ Voer in \(y_{1} = \sqrt{(4 x^{2} - 7)^{2} + (2 x + 2)^{2}}\) Optie 'minimum' geeft \(x = -1{,}311...\) en \(y = 0{,}634...\) 1p ○ De minimale baansnelheid is ongeveer \(0{,}63\) voor \(t = -1{,}31 \text{.}\) 1p opgave 3 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = 2 t^{3} - 6 t \\ y(t) = 2 t^{2} - 6 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 4p Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t = 2 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. BaanversnellingBerekenen 00qx - Snelheid en versnelling - basis - 1ms ○ \(x'(t) = 6 t^{2} - 6\) \(y'(t) = 4 t - 6\) 1p ○ [De formule voor de baansnelheid is] \(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\) \(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\) \(\text{} = \sqrt{(6 t^{2} - 6)^{2} + (4 t - 6)^{2}}\) \(\text{} = \sqrt{36 t^{4} - 56 t^{2} - 48 t + 72} \text{.}\) 1p ○ [De formule voor de baanversnelling is dan] \(a(t) = v'(t)\) \(\text{} = {1 \over 2 \sqrt{36 t^{4} - 56 t^{2} - 48 t + 72}} ⋅ (144 t^{3} - 112 t - 48)\) \(\text{} = {72 t^{3} - 56 t - 24 \over \sqrt{36 t^{4} - 56 t^{2} - 48 t + 72}}\) 1p ○ [Invullen van \(t = 2\) geeft] \(a(2) = {440 \over \sqrt{328}} ≈ 24{,}29\) 1p

10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling

Snelheid en versnelling (3)

opgave 1

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -2 t^{3} + 6 t \\ y(t) = -t^{2} + 3 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t = -2 \text{.}\)

BaansnelheidBerekenen

00qv - Snelheid en versnelling - basis - 455ms

○

\(x'(t) = -6 t^{2} + 6\)
\(y'(t) = -2 t + 3\)

○

[Voor de snelheidsvector geldt]
\(\overrightarrow{v} (-2) = \begin{pmatrix}x'(-2) \\ y'(-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-18 \\ 7\end{pmatrix} \text{.}\)

○

[Dus de baansnelheid is]
\(v(-2) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (-2)\end{vmatrix} = \sqrt{(-18)^{2} + 7^{2}} = \sqrt{373} \text{.}\)

opgave 2

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = 1\frac{1}{3} t^{3} - 7 t \\ y(t) = t^{2} + 2 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t \text{.}\) Rond af op twee decimalen.

BaansnelheidMinimaliseren

00qw - Snelheid en versnelling - basis - 0ms

○

\(x'(t) = 4 t^{2} - 7\)
\(y'(t) = 2 t + 2\)

○

[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(4 t^{2} - 7)^{2} + (2 t + 2)^{2}} \text{.}\)

○

Voer in
\(y_{1} = \sqrt{(4 x^{2} - 7)^{2} + (2 x + 2)^{2}}\)
Optie 'minimum' geeft \(x = -1{,}311...\) en \(y = 0{,}634...\)

○

De minimale baansnelheid is ongeveer \(0{,}63\) voor \(t = -1{,}31 \text{.}\)

opgave 3

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = 2 t^{3} - 6 t \\ y(t) = 2 t^{2} - 6 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t = 2 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

BaanversnellingBerekenen

00qx - Snelheid en versnelling - basis - 1ms

○

\(x'(t) = 6 t^{2} - 6\)
\(y'(t) = 4 t - 6\)

○

[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(6 t^{2} - 6)^{2} + (4 t - 6)^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{36 t^{4} - 56 t^{2} - 48 t + 72} \text{.}\)

○

[De formule voor de baanversnelling is dan]
\(a(t) = v'(t)\)
\(\text{} = {1 \over 2 \sqrt{36 t^{4} - 56 t^{2} - 48 t + 72}} ⋅ (144 t^{3} - 112 t - 48)\)
\(\text{} = {72 t^{3} - 56 t - 24 \over \sqrt{36 t^{4} - 56 t^{2} - 48 t + 72}}\)

○

[Invullen van \(t = 2\) geeft]
\(a(2) = {440 \over \sqrt{328}} ≈ 24{,}29\)