Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Snelheid en versnelling'.

vwo wiskunde B	10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling
Snelheid en versnelling (3)	opgave 1 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=\frac{1}{3}t^3-3t \\ y(t)=\frac{3}{4}t^2-3t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t=-3\text{.}\) BaansnelheidBerekenen 00qv - Snelheid en versnelling - basis - 618ms ○ \(x'(t)=t^2-3\) \(y'(t)=1\frac{1}{2}t-3\) 1p ○ [Voor de snelheidsvector geldt] \(\overrightarrow{v}(-3)=\begin{pmatrix}x'(-3) \\ y'(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\ -7\frac{1}{2}\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ [Dus de baansnelheid is] \(v(-3)=\begin{vmatrix}\overrightarrow{v}(-3)\end{vmatrix}=\sqrt{6^2+(-7\frac{1}{2})^2}=\sqrt{92\frac{1}{4}}\text{ [}\text{}=1\frac{1}{2}\sqrt{41}\text{]}\text{.}\) 1p opgave 2 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=1\frac{1}{2}t^2-3t \\ y(t)=\frac{1}{3}t^3-4t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 4p Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t\text{.}\) Rond af op twee decimalen. BaansnelheidMinimaliseren 00qw - Snelheid en versnelling - basis - 0ms ○ \(x'(t)=3t-3\) \(y'(t)=t^2-4\) 1p ○ [De formule voor de baansnelheid is] \(v(t)=\begin{vmatrix}\overrightarrow{v}(t)\end{vmatrix}\) \(\text{}=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\) \(\text{}=\sqrt{(3t-3)^2+(t^2-4)^2}\text{.}\) 1p ○ Voer in \(y_1=\sqrt{(3x-3)^2+(x^2-4)^2}\) Optie 'minimum' geeft \(x=1{,}550...\) en \(y=2{,}296...\) 1p ○ De minimale baansnelheid is ongeveer \(2{,}30\) voor \(t=1{,}55\text{.}\) 1p opgave 3 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=1\frac{3}{4}t^2-7t \\ y(t)=-t^3+4t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 4p Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t=3\text{.}\) Rond af op 2 decimalen. BaanversnellingBerekenen 00qx - Snelheid en versnelling - basis - 1ms ○ \(x'(t)=3\frac{1}{2}t-7\) \(y'(t)=-3t^2+4\) 1p ○ [De formule voor de baansnelheid is] \(v(t)=\begin{vmatrix}\overrightarrow{v}(t)\end{vmatrix}\) \(\text{}=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\) \(\text{}=\sqrt{(3\frac{1}{2}t-7)^2+(-3t^2+4)^2}\) \(\text{}=\sqrt{9t^4-11\frac{3}{4}t^2-49t+65}\text{.}\) 1p ○ [De formule voor de baanversnelling is dan] \(a(t)=v'(t)\) \(\text{}={1 \over 2\sqrt{9t^4-11\frac{3}{4}t^2-49t+65}}⋅(36t^3-23\frac{1}{2}t-49)\) \(\text{}={36t^3-23\frac{1}{2}t-49 \over 2\sqrt{9t^4-11\frac{3}{4}t^2-49t+65}}\) 1p ○ [Invullen van \(t=3\) geeft] \(a(3)={852\frac{1}{2} \over \sqrt{541\frac{1}{4}}}≈36{,}64\) 1p

10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling

Snelheid en versnelling (3)

opgave 1

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=\frac{1}{3}t^3-3t \\ y(t)=\frac{3}{4}t^2-3t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t=-3\text{.}\)

BaansnelheidBerekenen

00qv - Snelheid en versnelling - basis - 618ms

○

\(x'(t)=t^2-3\)
\(y'(t)=1\frac{1}{2}t-3\)

○

[Voor de snelheidsvector geldt]
\(\overrightarrow{v}(-3)=\begin{pmatrix}x'(-3) \\ y'(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\ -7\frac{1}{2}\end{pmatrix}\text{.}\)

○

[Dus de baansnelheid is]
\(v(-3)=\begin{vmatrix}\overrightarrow{v}(-3)\end{vmatrix}=\sqrt{6^2+(-7\frac{1}{2})^2}=\sqrt{92\frac{1}{4}}\text{ [}\text{}=1\frac{1}{2}\sqrt{41}\text{]}\text{.}\)

opgave 2

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=1\frac{1}{2}t^2-3t \\ y(t)=\frac{1}{3}t^3-4t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t\text{.}\) Rond af op twee decimalen.

BaansnelheidMinimaliseren

00qw - Snelheid en versnelling - basis - 0ms

○

\(x'(t)=3t-3\)
\(y'(t)=t^2-4\)

○

[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t)=\begin{vmatrix}\overrightarrow{v}(t)\end{vmatrix}\)
\(\text{}=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\)
\(\text{}=\sqrt{(3t-3)^2+(t^2-4)^2}\text{.}\)

○

Voer in
\(y_1=\sqrt{(3x-3)^2+(x^2-4)^2}\)
Optie 'minimum' geeft \(x=1{,}550...\) en \(y=2{,}296...\)

○

De minimale baansnelheid is ongeveer \(2{,}30\) voor \(t=1{,}55\text{.}\)

opgave 3

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=1\frac{3}{4}t^2-7t \\ y(t)=-t^3+4t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t=3\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

BaanversnellingBerekenen

00qx - Snelheid en versnelling - basis - 1ms

○

\(x'(t)=3\frac{1}{2}t-7\)
\(y'(t)=-3t^2+4\)

○

[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t)=\begin{vmatrix}\overrightarrow{v}(t)\end{vmatrix}\)
\(\text{}=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\)
\(\text{}=\sqrt{(3\frac{1}{2}t-7)^2+(-3t^2+4)^2}\)
\(\text{}=\sqrt{9t^4-11\frac{3}{4}t^2-49t+65}\text{.}\)

○

[De formule voor de baanversnelling is dan]
\(a(t)=v'(t)\)
\(\text{}={1 \over 2\sqrt{9t^4-11\frac{3}{4}t^2-49t+65}}⋅(36t^3-23\frac{1}{2}t-49)\)
\(\text{}={36t^3-23\frac{1}{2}t-49 \over 2\sqrt{9t^4-11\frac{3}{4}t^2-49t+65}}\)

○

[Invullen van \(t=3\) geeft]
\(a(3)={852\frac{1}{2} \over \sqrt{541\frac{1}{4}}}≈36{,}64\)