Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Sinus- en cosinusregel'.

vwo wiskunde B	3.5 De sinusregel en de cosinusregel
Sinus- en cosinusregel (10)	opgave 1 3p a Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}L=20\text{,}\) \(\angle M=59\degree\) en \(\angle K=67\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(L\kern{-.8pt}M\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeInScherp 007p - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms a De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}={L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}={K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}\text{.}\) 1p ○ Dus \(L\kern{-.8pt}M={K\kern{-.8pt}L⋅\sin(\angle K) \over \sin(\angle M)}={20⋅\sin(67\degree) \over \sin(59\degree)}\text{.}\) 1p ○ \(L\kern{-.8pt}M≈21{,}5\text{.}\) 1p 3p b Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C=19\text{,}\) \(\angle B=32\degree\) en \(\angle C=121\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeInStomp 007q - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)}={A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)}={B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)}\text{.}\) 1p ○ Dus \(A\kern{-.8pt}B={A\kern{-.8pt}C⋅\sin(\angle C) \over \sin(\angle B)}={19⋅\sin(121\degree) \over \sin(32\degree)}\text{.}\) 1p ○ \(A\kern{-.8pt}B≈30{,}7\text{.}\) 1p 3p c Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C=9\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}B=13\) en \(\angle B=40\degree\text{.}\) Bereken \(\angle \text{C}\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelHoekInScherp 007r - Sinus- en cosinusregel - basis - 9ms c De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)}={A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)}={B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)}\text{.}\) 1p ○ Daaruit volgt \(\sin(\angle C)={A\kern{-.8pt}B⋅\sin(\angle B) \over A\kern{-.8pt}C}={13⋅\sin(40\degree) \over 9}=0{,}928...\text{.}\) 1p ○ Dit geeft \(\angle C≈68{,}2\degree\) of \(\angle C≈111{,}8\degree\text{.}\) Uit de afbeelding volgt dat \(\angle C\) een scherpe hoek is, dus \(\angle C≈68{,}2\degree\text{.}\) 1p 3p d Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}L=20\text{,}\) \(L\kern{-.8pt}M=28\) en \(\angle M=45\degree\text{.}\) Bereken \(\angle \text{K}\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelHoekInStomp 007s - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms d De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}={L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}={K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}\text{.}\) 1p ○ Daaruit volgt \(\sin(\angle K)={L\kern{-.8pt}M⋅\sin(\angle M) \over K\kern{-.8pt}L}={28⋅\sin(45\degree) \over 20}=0{,}989...\text{.}\) 1p ○ Dit geeft \(\angle K≈81{,}9\degree\) of \(\angle K≈98{,}1\degree\text{.}\) Uit de afbeelding volgt dat \(\angle K\) een stompe hoek is, dus \(\angle K≈98{,}1\degree\text{.}\) 1p opgave 2 4p a Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C=24\text{,}\) \(\angle A=65\degree\) en \(\angle C=39\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(B\kern{-.8pt}C\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeNaHoekInScherp 007t - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms a Uit \(\angle A+\angle B+\angle C=180\degree\) volgt \(\angle B=180\degree-\angle A-\angle C=180\degree-65\degree-39\degree=76\degree\text{.}\) 1p ○ De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)}={A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)}={A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)}\text{.}\) 1p ○ Dus \(B\kern{-.8pt}C={A\kern{-.8pt}C⋅\sin(\angle A) \over \sin(\angle B)}={24⋅\sin(65\degree) \over \sin(76\degree)}\text{.}\) 1p ○ \(B\kern{-.8pt}C≈22{,}4\text{.}\) 1p 4p b Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}Q=41\text{,}\) \(\angle Q=46\degree\) en \(\angle P=38\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(P\kern{-.8pt}R\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeNaHoekInStomp 007u - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b Uit \(\angle Q+\angle R+\angle P=180\degree\) volgt \(\angle R=180\degree-\angle Q-\angle P=180\degree-46\degree-38\degree=96\degree\text{.}\) 1p ○ De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)}={P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)}={Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)}\text{.}\) 1p ○ Dus \(P\kern{-.8pt}R={P\kern{-.8pt}Q⋅\sin(\angle Q) \over \sin(\angle R)}={41⋅\sin(46\degree) \over \sin(96\degree)}\text{.}\) 1p ○ \(P\kern{-.8pt}R≈29{,}7\text{.}\) 1p 3p c Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B=22\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}C=17\) en \(\angle B=83\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}C\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelZijdeInScherp 007v - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms c De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(A\kern{-.8pt}C^2=A\kern{-.8pt}B^2+B\kern{-.8pt}C^2-2⋅A\kern{-.8pt}B⋅B\kern{-.8pt}C⋅\cos(\angle B)\text{.}\) 1p ○ Dus \(A\kern{-.8pt}C^2=22^2+17^2-2⋅22⋅17⋅\cos(83\degree)=681{,}841...\text{.}\) 1p ○ \(A\kern{-.8pt}C=\sqrt{681{,}841...}≈26{,}1\text{.}\) 1p 3p d Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(L\kern{-.8pt}M=30\text{,}\) \(K\kern{-.8pt}M=15\) en \(\angle M=92\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}L\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelZijdeInStomp 007w - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms d De cosinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \(K\kern{-.8pt}L^2=L\kern{-.8pt}M^2+K\kern{-.8pt}M^2-2⋅L\kern{-.8pt}M⋅K\kern{-.8pt}M⋅\cos(\angle M)\text{.}\) 1p ○ Dus \(K\kern{-.8pt}L^2=30^2+15^2-2⋅30⋅15⋅\cos(92\degree)=1156{,}409...\text{.}\) 1p ○ \(K\kern{-.8pt}L=\sqrt{1156{,}409...}≈34{,}0\text{.}\) 1p opgave 3 4p a Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C=30\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}B=26\) en \(B\kern{-.8pt}C=37\text{.}\) Bereken \(\angle \text{A}\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelHoekInScherp 007x - Sinus- en cosinusregel - basis - 8ms a De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(B\kern{-.8pt}C^2=A\kern{-.8pt}C^2+A\kern{-.8pt}B^2-2⋅A\kern{-.8pt}C⋅A\kern{-.8pt}B⋅\cos(\angle A)\text{.}\) 1p ○ Invullen geeft \(37^2=30^2+26^2-2⋅30⋅26⋅\cos(\angle A)\) dus \(1\,369=1\,576-1\,560⋅\cos(\angle A)\text{.}\) 1p ○ Balansmethode geeft \(\cos(\angle A)={1\,369-1\,576 \over -1\,560}=0{,}132...\) 1p ○ Hieruit volgt \(\angle A=\cos^{-1}(0{,}132...)≈82{,}4\degree\text{.}\) 1p 4p b Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}L=10\text{,}\) \(L\kern{-.8pt}M=16\) en \(K\kern{-.8pt}M=20\text{.}\) Bereken \(\angle \text{L}\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelHoekInStomp 007y - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b De cosinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \(K\kern{-.8pt}M^2=K\kern{-.8pt}L^2+L\kern{-.8pt}M^2-2⋅K\kern{-.8pt}L⋅L\kern{-.8pt}M⋅\cos(\angle L)\text{.}\) 1p ○ Invullen geeft \(20^2=10^2+16^2-2⋅10⋅16⋅\cos(\angle L)\) dus \(400=356-320⋅\cos(\angle L)\text{.}\) 1p ○ Balansmethode geeft \(\cos(\angle L)={400-356 \over -320}=-0{,}137...\) 1p ○ Hieruit volgt \(\angle L=\cos^{-1}(-0{,}137...)≈97{,}9\degree\text{.}\) 1p

3.5 De sinusregel en de cosinusregel

Sinus- en cosinusregel (10)

opgave 1

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}L=20\text{,}\) \(\angle M=59\degree\) en \(\angle K=67\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(L\kern{-.8pt}M\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeInScherp

007p - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms

De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}={L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}={K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}\text{.}\)

○

Dus \(L\kern{-.8pt}M={K\kern{-.8pt}L⋅\sin(\angle K) \over \sin(\angle M)}={20⋅\sin(67\degree) \over \sin(59\degree)}\text{.}\)

○

\(L\kern{-.8pt}M≈21{,}5\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C=19\text{,}\) \(\angle B=32\degree\) en \(\angle C=121\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeInStomp

007q - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)}={A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)}={B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)}\text{.}\)

○

Dus \(A\kern{-.8pt}B={A\kern{-.8pt}C⋅\sin(\angle C) \over \sin(\angle B)}={19⋅\sin(121\degree) \over \sin(32\degree)}\text{.}\)

○

\(A\kern{-.8pt}B≈30{,}7\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C=9\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}B=13\) en \(\angle B=40\degree\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{C}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelHoekInScherp

007r - Sinus- en cosinusregel - basis - 9ms

De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)}={A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)}={B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)}\text{.}\)

○

Daaruit volgt \(\sin(\angle C)={A\kern{-.8pt}B⋅\sin(\angle B) \over A\kern{-.8pt}C}={13⋅\sin(40\degree) \over 9}=0{,}928...\text{.}\)

○

Dit geeft \(\angle C≈68{,}2\degree\) of \(\angle C≈111{,}8\degree\text{.}\)
Uit de afbeelding volgt dat \(\angle C\) een scherpe hoek is, dus \(\angle C≈68{,}2\degree\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}L=20\text{,}\) \(L\kern{-.8pt}M=28\) en \(\angle M=45\degree\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{K}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelHoekInStomp

007s - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}={L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}={K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}\text{.}\)

○

Daaruit volgt \(\sin(\angle K)={L\kern{-.8pt}M⋅\sin(\angle M) \over K\kern{-.8pt}L}={28⋅\sin(45\degree) \over 20}=0{,}989...\text{.}\)

○

Dit geeft \(\angle K≈81{,}9\degree\) of \(\angle K≈98{,}1\degree\text{.}\)
Uit de afbeelding volgt dat \(\angle K\) een stompe hoek is, dus \(\angle K≈98{,}1\degree\text{.}\)

opgave 2

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C=24\text{,}\) \(\angle A=65\degree\) en \(\angle C=39\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(B\kern{-.8pt}C\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeNaHoekInScherp

007t - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms

Uit \(\angle A+\angle B+\angle C=180\degree\) volgt \(\angle B=180\degree-\angle A-\angle C=180\degree-65\degree-39\degree=76\degree\text{.}\)

○

De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)}={A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)}={A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)}\text{.}\)

○

Dus \(B\kern{-.8pt}C={A\kern{-.8pt}C⋅\sin(\angle A) \over \sin(\angle B)}={24⋅\sin(65\degree) \over \sin(76\degree)}\text{.}\)

○

\(B\kern{-.8pt}C≈22{,}4\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}Q=41\text{,}\) \(\angle Q=46\degree\) en \(\angle P=38\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(P\kern{-.8pt}R\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeNaHoekInStomp

007u - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

Uit \(\angle Q+\angle R+\angle P=180\degree\) volgt \(\angle R=180\degree-\angle Q-\angle P=180\degree-46\degree-38\degree=96\degree\text{.}\)

○

De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)}={P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)}={Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)}\text{.}\)

○

Dus \(P\kern{-.8pt}R={P\kern{-.8pt}Q⋅\sin(\angle Q) \over \sin(\angle R)}={41⋅\sin(46\degree) \over \sin(96\degree)}\text{.}\)

○

\(P\kern{-.8pt}R≈29{,}7\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B=22\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}C=17\) en \(\angle B=83\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}C\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelZijdeInScherp

007v - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms

De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(A\kern{-.8pt}C^2=A\kern{-.8pt}B^2+B\kern{-.8pt}C^2-2⋅A\kern{-.8pt}B⋅B\kern{-.8pt}C⋅\cos(\angle B)\text{.}\)

○

Dus \(A\kern{-.8pt}C^2=22^2+17^2-2⋅22⋅17⋅\cos(83\degree)=681{,}841...\text{.}\)

○

\(A\kern{-.8pt}C=\sqrt{681{,}841...}≈26{,}1\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(L\kern{-.8pt}M=30\text{,}\) \(K\kern{-.8pt}M=15\) en \(\angle M=92\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}L\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelZijdeInStomp

007w - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De cosinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \(K\kern{-.8pt}L^2=L\kern{-.8pt}M^2+K\kern{-.8pt}M^2-2⋅L\kern{-.8pt}M⋅K\kern{-.8pt}M⋅\cos(\angle M)\text{.}\)

○

Dus \(K\kern{-.8pt}L^2=30^2+15^2-2⋅30⋅15⋅\cos(92\degree)=1156{,}409...\text{.}\)

○

\(K\kern{-.8pt}L=\sqrt{1156{,}409...}≈34{,}0\text{.}\)

opgave 3

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C=30\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}B=26\) en \(B\kern{-.8pt}C=37\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{A}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelHoekInScherp

007x - Sinus- en cosinusregel - basis - 8ms

De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(B\kern{-.8pt}C^2=A\kern{-.8pt}C^2+A\kern{-.8pt}B^2-2⋅A\kern{-.8pt}C⋅A\kern{-.8pt}B⋅\cos(\angle A)\text{.}\)

○

Invullen geeft \(37^2=30^2+26^2-2⋅30⋅26⋅\cos(\angle A)\)
dus \(1\,369=1\,576-1\,560⋅\cos(\angle A)\text{.}\)

○

Balansmethode geeft \(\cos(\angle A)={1\,369-1\,576 \over -1\,560}=0{,}132...\)

○

Hieruit volgt \(\angle A=\cos^{-1}(0{,}132...)≈82{,}4\degree\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}L=10\text{,}\) \(L\kern{-.8pt}M=16\) en \(K\kern{-.8pt}M=20\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{L}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelHoekInStomp

007y - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De cosinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \(K\kern{-.8pt}M^2=K\kern{-.8pt}L^2+L\kern{-.8pt}M^2-2⋅K\kern{-.8pt}L⋅L\kern{-.8pt}M⋅\cos(\angle L)\text{.}\)

○

Invullen geeft \(20^2=10^2+16^2-2⋅10⋅16⋅\cos(\angle L)\)
dus \(400=356-320⋅\cos(\angle L)\text{.}\)

○

Balansmethode geeft \(\cos(\angle L)={400-356 \over -320}=-0{,}137...\)

○

Hieruit volgt \(\angle L=\cos^{-1}(-0{,}137...)≈97{,}9\degree\text{.}\)