Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Sinus- en cosinusregel'.

vwo wiskunde B	3.5 De sinusregel en de cosinusregel
Sinus- en cosinusregel (10)	opgave 1 3p a Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}M=13\text{,}\) \(\angle L=53\degree\) en \(\angle M=80\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}L\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeInScherp 007p - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms a De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}={K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}={L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}\text{.}\) 1p ○ Dus \(K\kern{-.8pt}L={K\kern{-.8pt}M⋅\sin(\angle M) \over \sin(\angle L)}={13⋅\sin(80\degree) \over \sin(53\degree)}\text{.}\) 1p ○ \(K\kern{-.8pt}L≈16{,}0\text{.}\) 1p 3p b Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C=25\text{,}\) \(\angle B=36\degree\) en \(\angle C=114\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeInStomp 007q - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)}={A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)}={B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)}\text{.}\) 1p ○ Dus \(A\kern{-.8pt}B={A\kern{-.8pt}C⋅\sin(\angle C) \over \sin(\angle B)}={25⋅\sin(114\degree) \over \sin(36\degree)}\text{.}\) 1p ○ \(A\kern{-.8pt}B≈38{,}9\text{.}\) 1p 3p c Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(Q\kern{-.8pt}R=17\text{,}\) \(P\kern{-.8pt}R=28\) en \(\angle P=35\degree\text{.}\) Bereken \(\angle \text{Q}\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelHoekInScherp 007r - Sinus- en cosinusregel - basis - 5ms c De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)}={P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)}={P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)}\text{.}\) 1p ○ Daaruit volgt \(\sin(\angle Q)={P\kern{-.8pt}R⋅\sin(\angle P) \over Q\kern{-.8pt}R}={28⋅\sin(35\degree) \over 17}=0{,}944...\text{.}\) 1p ○ Dit geeft \(\angle Q≈70{,}9\degree\) of \(\angle Q≈109{,}1\degree\text{.}\) Uit de afbeelding volgt dat \(\angle Q\) een scherpe hoek is, dus \(\angle Q≈70{,}9\degree\text{.}\) 1p 3p d Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}L=10\text{,}\) \(L\kern{-.8pt}M=14\) en \(\angle M=34\degree\text{.}\) Bereken \(\angle \text{K}\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelHoekInStomp 007s - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms d De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}={L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}={K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}\text{.}\) 1p ○ Daaruit volgt \(\sin(\angle K)={L\kern{-.8pt}M⋅\sin(\angle M) \over K\kern{-.8pt}L}={14⋅\sin(34\degree) \over 10}=0{,}782...\text{.}\) 1p ○ Dit geeft \(\angle K≈51{,}5\degree\) of \(\angle K≈128{,}5\degree\text{.}\) Uit de afbeelding volgt dat \(\angle K\) een stompe hoek is, dus \(\angle K≈128{,}5\degree\text{.}\) 1p opgave 2 4p a Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}M=22\text{,}\) \(\angle K=58\degree\) en \(\angle M=59\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(L\kern{-.8pt}M\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeNaHoekInScherp 007t - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms a Uit \(\angle K+\angle L+\angle M=180\degree\) volgt \(\angle L=180\degree-\angle K-\angle M=180\degree-58\degree-59\degree=63\degree\text{.}\) 1p ○ De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}={K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}={K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}\text{.}\) 1p ○ Dus \(L\kern{-.8pt}M={K\kern{-.8pt}M⋅\sin(\angle K) \over \sin(\angle L)}={22⋅\sin(58\degree) \over \sin(63\degree)}\text{.}\) 1p ○ \(L\kern{-.8pt}M≈20{,}9\text{.}\) 1p 4p b Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}Q=45\text{,}\) \(\angle Q=29\degree\) en \(\angle P=44\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(P\kern{-.8pt}R\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeNaHoekInStomp 007u - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b Uit \(\angle Q+\angle R+\angle P=180\degree\) volgt \(\angle R=180\degree-\angle Q-\angle P=180\degree-29\degree-44\degree=107\degree\text{.}\) 1p ○ De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)}={P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)}={Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)}\text{.}\) 1p ○ Dus \(P\kern{-.8pt}R={P\kern{-.8pt}Q⋅\sin(\angle Q) \over \sin(\angle R)}={45⋅\sin(29\degree) \over \sin(107\degree)}\text{.}\) 1p ○ \(P\kern{-.8pt}R≈22{,}8\text{.}\) 1p 3p c Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C=30\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}B=25\) en \(\angle A=81\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(B\kern{-.8pt}C\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelZijdeInScherp 007v - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms c De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(B\kern{-.8pt}C^2=A\kern{-.8pt}C^2+A\kern{-.8pt}B^2-2⋅A\kern{-.8pt}C⋅A\kern{-.8pt}B⋅\cos(\angle A)\text{.}\) 1p ○ Dus \(B\kern{-.8pt}C^2=30^2+25^2-2⋅30⋅25⋅\cos(81\degree)=1290{,}348...\text{.}\) 1p ○ \(B\kern{-.8pt}C=\sqrt{1290{,}348...}≈35{,}9\text{.}\) 1p 3p d Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C=19\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}B=20\) en \(\angle A=105\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(B\kern{-.8pt}C\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelZijdeInStomp 007w - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms d De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(B\kern{-.8pt}C^2=A\kern{-.8pt}C^2+A\kern{-.8pt}B^2-2⋅A\kern{-.8pt}C⋅A\kern{-.8pt}B⋅\cos(\angle A)\text{.}\) 1p ○ Dus \(B\kern{-.8pt}C^2=19^2+20^2-2⋅19⋅20⋅\cos(105\degree)=957{,}702...\text{.}\) 1p ○ \(B\kern{-.8pt}C=\sqrt{957{,}702...}≈30{,}9\text{.}\) 1p opgave 3 4p a Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C=28\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}B=33\) en \(B\kern{-.8pt}C=39\text{.}\) Bereken \(\angle \text{A}\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelHoekInScherp 007x - Sinus- en cosinusregel - basis - 5ms a De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(B\kern{-.8pt}C^2=A\kern{-.8pt}C^2+A\kern{-.8pt}B^2-2⋅A\kern{-.8pt}C⋅A\kern{-.8pt}B⋅\cos(\angle A)\text{.}\) 1p ○ Invullen geeft \(39^2=28^2+33^2-2⋅28⋅33⋅\cos(\angle A)\) dus \(1\,521=1\,873-1\,848⋅\cos(\angle A)\text{.}\) 1p ○ Balansmethode geeft \(\cos(\angle A)={1\,521-1\,873 \over -1\,848}=0{,}190...\) 1p ○ Hieruit volgt \(\angle A=\cos^{-1}(0{,}190...)≈79{,}0\degree\text{.}\) 1p 4p b Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(L\kern{-.8pt}M=21\text{,}\) \(K\kern{-.8pt}M=27\) en \(K\kern{-.8pt}L=41\text{.}\) Bereken \(\angle \text{M}\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelHoekInStomp 007y - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b De cosinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \(K\kern{-.8pt}L^2=L\kern{-.8pt}M^2+K\kern{-.8pt}M^2-2⋅L\kern{-.8pt}M⋅K\kern{-.8pt}M⋅\cos(\angle M)\text{.}\) 1p ○ Invullen geeft \(41^2=21^2+27^2-2⋅21⋅27⋅\cos(\angle M)\) dus \(1\,681=1\,170-1\,134⋅\cos(\angle M)\text{.}\) 1p ○ Balansmethode geeft \(\cos(\angle M)={1\,681-1\,170 \over -1\,134}=-0{,}450...\) 1p ○ Hieruit volgt \(\angle M=\cos^{-1}(-0{,}450...)≈116{,}8\degree\text{.}\) 1p

3.5 De sinusregel en de cosinusregel

Sinus- en cosinusregel (10)

opgave 1

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}M=13\text{,}\) \(\angle L=53\degree\) en \(\angle M=80\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}L\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeInScherp

007p - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}={K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}={L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}\text{.}\)

○

Dus \(K\kern{-.8pt}L={K\kern{-.8pt}M⋅\sin(\angle M) \over \sin(\angle L)}={13⋅\sin(80\degree) \over \sin(53\degree)}\text{.}\)

○

\(K\kern{-.8pt}L≈16{,}0\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C=25\text{,}\) \(\angle B=36\degree\) en \(\angle C=114\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeInStomp

007q - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)}={A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)}={B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)}\text{.}\)

○

Dus \(A\kern{-.8pt}B={A\kern{-.8pt}C⋅\sin(\angle C) \over \sin(\angle B)}={25⋅\sin(114\degree) \over \sin(36\degree)}\text{.}\)

○

\(A\kern{-.8pt}B≈38{,}9\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(Q\kern{-.8pt}R=17\text{,}\) \(P\kern{-.8pt}R=28\) en \(\angle P=35\degree\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{Q}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelHoekInScherp

007r - Sinus- en cosinusregel - basis - 5ms

De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)}={P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)}={P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)}\text{.}\)

○

Daaruit volgt \(\sin(\angle Q)={P\kern{-.8pt}R⋅\sin(\angle P) \over Q\kern{-.8pt}R}={28⋅\sin(35\degree) \over 17}=0{,}944...\text{.}\)

○

Dit geeft \(\angle Q≈70{,}9\degree\) of \(\angle Q≈109{,}1\degree\text{.}\)
Uit de afbeelding volgt dat \(\angle Q\) een scherpe hoek is, dus \(\angle Q≈70{,}9\degree\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}L=10\text{,}\) \(L\kern{-.8pt}M=14\) en \(\angle M=34\degree\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{K}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelHoekInStomp

007s - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}={L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}={K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}\text{.}\)

○

Daaruit volgt \(\sin(\angle K)={L\kern{-.8pt}M⋅\sin(\angle M) \over K\kern{-.8pt}L}={14⋅\sin(34\degree) \over 10}=0{,}782...\text{.}\)

○

Dit geeft \(\angle K≈51{,}5\degree\) of \(\angle K≈128{,}5\degree\text{.}\)
Uit de afbeelding volgt dat \(\angle K\) een stompe hoek is, dus \(\angle K≈128{,}5\degree\text{.}\)

opgave 2

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}M=22\text{,}\) \(\angle K=58\degree\) en \(\angle M=59\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(L\kern{-.8pt}M\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeNaHoekInScherp

007t - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

Uit \(\angle K+\angle L+\angle M=180\degree\) volgt \(\angle L=180\degree-\angle K-\angle M=180\degree-58\degree-59\degree=63\degree\text{.}\)

○

De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}={K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}={K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}\text{.}\)

○

Dus \(L\kern{-.8pt}M={K\kern{-.8pt}M⋅\sin(\angle K) \over \sin(\angle L)}={22⋅\sin(58\degree) \over \sin(63\degree)}\text{.}\)

○

\(L\kern{-.8pt}M≈20{,}9\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}Q=45\text{,}\) \(\angle Q=29\degree\) en \(\angle P=44\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(P\kern{-.8pt}R\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeNaHoekInStomp

007u - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

Uit \(\angle Q+\angle R+\angle P=180\degree\) volgt \(\angle R=180\degree-\angle Q-\angle P=180\degree-29\degree-44\degree=107\degree\text{.}\)

○

De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)}={P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)}={Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)}\text{.}\)

○

Dus \(P\kern{-.8pt}R={P\kern{-.8pt}Q⋅\sin(\angle Q) \over \sin(\angle R)}={45⋅\sin(29\degree) \over \sin(107\degree)}\text{.}\)

○

\(P\kern{-.8pt}R≈22{,}8\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C=30\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}B=25\) en \(\angle A=81\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(B\kern{-.8pt}C\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelZijdeInScherp

007v - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(B\kern{-.8pt}C^2=A\kern{-.8pt}C^2+A\kern{-.8pt}B^2-2⋅A\kern{-.8pt}C⋅A\kern{-.8pt}B⋅\cos(\angle A)\text{.}\)

○

Dus \(B\kern{-.8pt}C^2=30^2+25^2-2⋅30⋅25⋅\cos(81\degree)=1290{,}348...\text{.}\)

○

\(B\kern{-.8pt}C=\sqrt{1290{,}348...}≈35{,}9\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C=19\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}B=20\) en \(\angle A=105\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(B\kern{-.8pt}C\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelZijdeInStomp

007w - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(B\kern{-.8pt}C^2=A\kern{-.8pt}C^2+A\kern{-.8pt}B^2-2⋅A\kern{-.8pt}C⋅A\kern{-.8pt}B⋅\cos(\angle A)\text{.}\)

○

Dus \(B\kern{-.8pt}C^2=19^2+20^2-2⋅19⋅20⋅\cos(105\degree)=957{,}702...\text{.}\)

○

\(B\kern{-.8pt}C=\sqrt{957{,}702...}≈30{,}9\text{.}\)

opgave 3

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C=28\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}B=33\) en \(B\kern{-.8pt}C=39\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{A}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelHoekInScherp

007x - Sinus- en cosinusregel - basis - 5ms

De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(B\kern{-.8pt}C^2=A\kern{-.8pt}C^2+A\kern{-.8pt}B^2-2⋅A\kern{-.8pt}C⋅A\kern{-.8pt}B⋅\cos(\angle A)\text{.}\)

○

Invullen geeft \(39^2=28^2+33^2-2⋅28⋅33⋅\cos(\angle A)\)
dus \(1\,521=1\,873-1\,848⋅\cos(\angle A)\text{.}\)

○

Balansmethode geeft \(\cos(\angle A)={1\,521-1\,873 \over -1\,848}=0{,}190...\)

○

Hieruit volgt \(\angle A=\cos^{-1}(0{,}190...)≈79{,}0\degree\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(L\kern{-.8pt}M=21\text{,}\) \(K\kern{-.8pt}M=27\) en \(K\kern{-.8pt}L=41\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{M}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelHoekInStomp

007y - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De cosinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \(K\kern{-.8pt}L^2=L\kern{-.8pt}M^2+K\kern{-.8pt}M^2-2⋅L\kern{-.8pt}M⋅K\kern{-.8pt}M⋅\cos(\angle M)\text{.}\)

○

Invullen geeft \(41^2=21^2+27^2-2⋅21⋅27⋅\cos(\angle M)\)
dus \(1\,681=1\,170-1\,134⋅\cos(\angle M)\text{.}\)

○

Balansmethode geeft \(\cos(\angle M)={1\,681-1\,170 \over -1\,134}=-0{,}450...\)

○

Hieruit volgt \(\angle M=\cos^{-1}(-0{,}450...)≈116{,}8\degree\text{.}\)