Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Raaklijnen aan cirkels'.

vwo wiskunde B 7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels

Raaklijnen aan cirkels (1)

opgave 1

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 6 x + 2 y + 5 = 0 \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A (-2 , 1) \text{.}\)

4p

Stel de vergelijking van \(l\) op.

GegevenRaakpunt
00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft \((x + 3)^{2} + (y + 1)^{2} = 5\)
Dus \(M (-3 , -1)\) en \(r = \sqrt{5} \text{.}\)

1p

○

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_{m} = {\Delta y \over \Delta x} = {-1 - 1 \over -3 - -2} = 2 \text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l \perp m \text{, dus } \text{rc}_{l} ⋅ \text{rc}_{m} = -1 \\ \text{rc}_{m} = 2\end{rcases} \text{rc}_{l} = -\frac{1}{2}\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = -\frac{1}{2} x + b \\ \text{door } A (-2 , 1)\end{rcases} \begin{matrix}1 = -\frac{1}{2} ⋅ -2 + b \\ 1 = 1 + b \\ b = 0\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = -\frac{1}{2} x \text{.}\)

1p
"