Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Raaklijnen aan cirkels'.

vwo wiskunde B 7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels

Raaklijnen aan cirkels (1)

opgave 1

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-8x-10y+16=0\text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A(7, 9)\text{.}\)

4p

Stel de vergelijking van \(l\) op.

GegevenRaakpunt
00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft \((x-4)^2+(y-5)^2=25\)
Dus \(M(4, 5)\) en \(r=\sqrt{25}=5\text{.}\)

1p

○

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_m={\Delta y \over \Delta x}={5-9 \over 4-7}=1\frac{1}{3}\text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l\perp m\text{, dus }\text{rc}_l⋅\text{rc}_m=-1 \\ \text{rc}_m=1\frac{1}{3}\end{rcases}\text{rc}_l=-\frac{3}{4}\)

1p

○

\(\begin{rcases}y=-\frac{3}{4}x+b \\ \text{door }A(7, 9)\end{rcases}\begin{matrix}9=-\frac{3}{4}⋅7+b \\ 9=-5\frac{1}{4}+b \\ b=14\frac{1}{4}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-\frac{3}{4}x+14\frac{1}{4}\text{.}\)

1p
"