Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Raaklijnen aan cirkels'.

vwo wiskunde B 7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels

Raaklijnen aan cirkels (1)

opgave 1

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+8x-4y-5=0\text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A(-1, 6)\text{.}\)

4p

Stel de vergelijking van \(l\) op.

GegevenRaakpunt
00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis - 1ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft \((x+4)^2+(y-2)^2=25\)
Dus \(M(-4, 2)\) en \(r=\sqrt{25}=5\text{.}\)

1p

○

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_m={\Delta y \over \Delta x}={2-6 \over -4--1}=1\frac{1}{3}\text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l\perp m\text{, dus }\text{rc}_l⋅\text{rc}_m=-1 \\ \text{rc}_m=1\frac{1}{3}\end{rcases}\text{rc}_l=-\frac{3}{4}\)

1p

○

\(\begin{rcases}y=-\frac{3}{4}x+b \\ \text{door }A(-1, 6)\end{rcases}\begin{matrix}6=-\frac{3}{4}⋅-1+b \\ 6=\frac{3}{4}+b \\ b=5\frac{1}{4}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-\frac{3}{4}x+5\frac{1}{4}\text{.}\)

1p
"