Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Raaklijn opstellen'.

vwo wiskunde B 2.4 Toepassingen van de afgeleide

Raaklijn opstellen (2)

opgave 1

Gegeven is de functie \(f(x) = -3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x - 1 \text{.}\) Op de grafiek van \(f\) ligt het punt \(A\) met \(x_{A} = 1 \text{.}\)

4p

Stel algebraïsch de formule op van de raaklijn \(l\) aan \(f\) in \(A \text{.}\)

Polynoom
00a3 - Raaklijn opstellen - basis - 87ms

○

\(f(1) = 4 \text{,}\) dus \(A (1 , 4) \text{.}\)

1p

○

\(f(x) = -3 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x - 1\) geeft \(f'(x) = -9 x^{2} + 8 x + 4 \text{.}\)

1p

○

Stel \(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = f'(1) = 3 \text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = 3 x + b \\ \text{door } A (1 , 4)\end{rcases} \begin{matrix}3 ⋅ 1 + b = 4 \\ 3 + b = 4 \\ b = 1\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = 3 x + 1 \text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de functie \(f (x) = {x^{2} + x - 2 \over 6 x + 5} \text{.}\)

OxyAB

De grafiek van \(f\) snijdt de \(x \text{-}\)as in de punten \(A\) en \(B \text{.}\)

5p

Stel langs algebraïsche weg de formule op van de raaklijn \(l\) in het punt \(A \text{.}\)

Gebroken
00t5 - Raaklijn opstellen - basis - 1ms

○

(\(f (x) = 0\) geeft snijpunten \(x \text{-}\)as)
\({x^{2} + x - 2 \over 6 x + 5} = 0\)
\(x^{2} + x - 2 = 0\)

1p

○

(som-productmethode)
\((x + 2) (x - 1) = 0\)
\(x = -2 ∨ x = 1\)
Dus \(A (-2 , 0)\)

1p

○

\(f'(x) = \frac{(6 x+5) (2 x+1)-(x^{2}+x-2) \cdot 6}{(6 x+5)^{2}}\)

1p

○

\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = f'(-2) = \frac{3}{7}\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = \frac{3}{7} x + b \\ \text{door } A (-2 , 0)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{3}{7} ⋅ -2 + b = 0 \\ b = \frac{6}{7}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = \frac{3}{7} x + \frac{6}{7} \text{.}\)

1p
"