Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Parameterkrommen'.

vwo wiskunde B	10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling
Parameterkrommen (7)	opgave 1 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=-\frac{1}{2}t^2+3t \\ y(t)=-\frac{1}{3}t^3+12t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(x\text{-}\)as. SnijpuntenXas 00qo - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ Snijpunt met de \(x\text{-}\)as betekent \(y(t)=0\text{,}\) dit geeft \(-\frac{1}{3}t^3+12t=0\) 1p ○ [Oplossen geeft] \(t(-\frac{1}{3}t^2+12)=0\) \(t=0∨-\frac{1}{3}t^2+12=0\) \(t=0∨t^2-36=0\) \(t=0∨t^2=36\) \(t=0∨t=-6∨t=6\) 1p ○ [De snijpunten met de \(x\text{-}\)as zijn dan] \(t=0\) geeft \(x(0)=0\text{,}\) dus \((0, 0)\) \(t=-6\) geeft \(x(-6)=-36\text{,}\) dus \((-36, 0)\) \(t=6\) geeft \(x(6)=0\text{,}\) dus \((0, 0)\) 1p opgave 2 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=-2\frac{1}{2}t^2+5t \\ y(t)=\frac{1}{3}t^3-4t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Toon aan dat de baan zichzelf snijdt in het punt \((-20, 5\frac{1}{3})\text{.}\) ZelfsnijpuntAantonen 00qp - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ [Oplossen van \(x(t)=-20\) geeft] \(-2\frac{1}{2}t^2+5t=-20\) \(-2\frac{1}{2}t^2+5t+20=0\) \(t^2-2t-8=0\) \((t+2)(t-4)=0\) \(t=-2∨t=4\) 1p ○ \(y(-2)=5\frac{1}{3}\text{,}\) dus \(t=-2\) geeft het punt \((-20, 5\frac{1}{3})\text{.}\) 1p ○ \(y(4)=5\frac{1}{3}\text{,}\) dus \(t=4\) geeft ook het punt \((-20, 5\frac{1}{3})\text{,}\) dus de baan snijdt zichzelf in dat punt. 1p opgave 3 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=-\frac{2}{3}t^3+2t \\ y(t)=-\frac{1}{4}t^2+t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(x\text{-}\)as. EvenwijdigMetAs (1) 00qq - Parameterkrommen - basis - 2ms ○ \(x'(t)=-2t^2+2\) \(y'(t)=-\frac{1}{2}t+1\) 1p ○ [Evenwijdig met de x-as, dus] \(y'(t)=0\) \(-\frac{1}{2}t+1=0\) \(-\frac{1}{2}t=-1\) \(t=2\) 1p ○ \(x'(2)=-6≠0\text{,}\) dus voor \(t=2\) is de baan evenwijdig aan de \(x\text{-}\)as in het punt \((-1\frac{1}{3}, 1)\text{.}\) 1p opgave 4 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=t^2+2t \\ y(t)=-\frac{2}{3}t^3+8t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. De baan snijdt zichzelf voor \(t=-4\) en voor \(t=2\) in het punt \((8, 10\frac{2}{3})\text{.}\) 5p Bereken de hoek \(\varphi \) waaronder de baan zichzelf snijdt. Geef je antwoord in graden en rond af op één decimaal. HoekInZelfsnijpunt 00qr - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ \(x'(t)=2t+2\) \(y'(t)=-2t^2+8\) 1p ○ \(\overrightarrow{v}(-4)=\begin{pmatrix}x'(-4) \\ y'(-4)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6 \\ -24\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{v}(2)=\begin{pmatrix}x'(2) \\ y'(2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\ 0\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\cos(\varphi )={\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-6 \\ -24\end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix}6 \\ 0\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-6 \\ -24\end{pmatrix}\end{vmatrix}⋅\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}6 \\ 0\end{pmatrix}\end{vmatrix}}={36 \over \sqrt{612}⋅\sqrt{36}}\) 1p ○ \(\varphi =\cos^{-1}({36 \over \sqrt{612}⋅\sqrt{36}})≈76{,}0\degree\) 1p opgave 5 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=-2\frac{1}{2}t^2-5t \\ y(t)=-1\frac{2}{3}t^3+15t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(y\text{-}\)as. SnijpuntenYas 00qs - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ Snijpunt met de \(y\text{-}\)as betekent \(x(t)=0\text{,}\) dit geeft \(-2\frac{1}{2}t^2-5t=0\) 1p ○ [Oplossen geeft] \(t^2+2t=0\) \(t(t+2)=0\) \(t=0∨t=-2\) 1p ○ [De snijpunten met de \(y\text{-}\)as zijn dan] \(t=0\) geeft \(y(0)=0\text{,}\) dus \((0, 0)\) \(t=-2\) geeft \(y(-2)=-16\frac{2}{3}\text{,}\) dus \((0, -16\frac{2}{3})\) 1p opgave 6 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=-\frac{2}{3}t^3+8t \\ y(t)=2\frac{1}{2}t^2-5t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 4p Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(y\text{-}\)as. EvenwijdigMetAs (2) 00qt - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ \(x'(t)=-2t^2+8\) \(y'(t)=5t-5\) 1p ○ [Evenwijdig met de y-as, dus] \(x'(t)=0\) \(-2t^2+8=0\) \(t^2-4=0\) \(t^2=4\) \(t=-2∨t=2\) 1p ○ \(y'(-2)=-15≠0\text{,}\) dus voor \(t=-2\) is de baan evenwijdig aan de \(y\text{-}\)as in het punt \((-10\frac{2}{3}, 20)\text{.}\) 1p ○ \(y'(2)=5≠0\text{,}\) dus voor \(t=2\) is de baan evenwijdig aan de \(y\text{-}\)as in het punt \((10\frac{2}{3}, 0)\text{.}\) 1p opgave 7 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=-t^3+4t \\ y(t)=2\frac{1}{4}t^2-9t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 5p Stel een vergelijking op van de lijn \(l\) die de baan raakt in het punt met \(t=-2\text{.}\) RaaklijnOpstellen 00qu - Parameterkrommen - basis - 1ms ○ \(x'(t)=-3t^2+4\) \(y'(t)=4\frac{1}{2}t-9\) 1p ○ \(t=-2\) geeft het punt \((0, 27)\text{.}\) 1p ○ [Voor de richtingsvector van \(l\) geldt] \(\overrightarrow{r}_l=\overrightarrow{v}(-2)=\begin{pmatrix}x'(-2) \\ y'(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8 \\ -18\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ [Hieruit volgt] \(\overrightarrow{n}_l=\begin{pmatrix}18 \\ -8\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(l{:}\,18x-8y=c\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}l{:}\,18x-8y=c \\ \text{door }(0, 27)\end{rcases}\begin{matrix}c=18⋅0-8⋅27=-216\end{matrix}\) Dus een vergelijking van de raaklijn is \(l{:}\,18x-8y=-216\text{.}\) 1p

10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling

Parameterkrommen (7)

opgave 1

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=-\frac{1}{2}t^2+3t \\ y(t)=-\frac{1}{3}t^3+12t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(x\text{-}\)as.

SnijpuntenXas

00qo - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

Snijpunt met de \(x\text{-}\)as betekent \(y(t)=0\text{,}\) dit geeft
\(-\frac{1}{3}t^3+12t=0\)

○

[Oplossen geeft]
\(t(-\frac{1}{3}t^2+12)=0\)
\(t=0∨-\frac{1}{3}t^2+12=0\)
\(t=0∨t^2-36=0\)
\(t=0∨t^2=36\)
\(t=0∨t=-6∨t=6\)

○

[De snijpunten met de \(x\text{-}\)as zijn dan]
\(t=0\) geeft \(x(0)=0\text{,}\) dus \((0, 0)\)
\(t=-6\) geeft \(x(-6)=-36\text{,}\) dus \((-36, 0)\)
\(t=6\) geeft \(x(6)=0\text{,}\) dus \((0, 0)\)

opgave 2

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=-2\frac{1}{2}t^2+5t \\ y(t)=\frac{1}{3}t^3-4t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Toon aan dat de baan zichzelf snijdt in het punt \((-20, 5\frac{1}{3})\text{.}\)

ZelfsnijpuntAantonen

00qp - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

[Oplossen van \(x(t)=-20\) geeft]
\(-2\frac{1}{2}t^2+5t=-20\)
\(-2\frac{1}{2}t^2+5t+20=0\)
\(t^2-2t-8=0\)
\((t+2)(t-4)=0\)
\(t=-2∨t=4\)

○

\(y(-2)=5\frac{1}{3}\text{,}\) dus \(t=-2\) geeft het punt \((-20, 5\frac{1}{3})\text{.}\)

○

\(y(4)=5\frac{1}{3}\text{,}\) dus \(t=4\) geeft ook het punt \((-20, 5\frac{1}{3})\text{,}\) dus de baan snijdt zichzelf in dat punt.

opgave 3

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=-\frac{2}{3}t^3+2t \\ y(t)=-\frac{1}{4}t^2+t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(x\text{-}\)as.

EvenwijdigMetAs (1)

00qq - Parameterkrommen - basis - 2ms

○

\(x'(t)=-2t^2+2\)
\(y'(t)=-\frac{1}{2}t+1\)

○

[Evenwijdig met de x-as, dus]
\(y'(t)=0\)
\(-\frac{1}{2}t+1=0\)
\(-\frac{1}{2}t=-1\)
\(t=2\)

○

\(x'(2)=-6≠0\text{,}\) dus voor \(t=2\) is de baan evenwijdig aan de \(x\text{-}\)as in het punt \((-1\frac{1}{3}, 1)\text{.}\)

opgave 4

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=t^2+2t \\ y(t)=-\frac{2}{3}t^3+8t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

De baan snijdt zichzelf voor \(t=-4\) en voor \(t=2\) in het punt \((8, 10\frac{2}{3})\text{.}\)

Bereken de hoek \(\varphi \) waaronder de baan zichzelf snijdt. Geef je antwoord in graden en rond af op één decimaal.

HoekInZelfsnijpunt

00qr - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

\(x'(t)=2t+2\)
\(y'(t)=-2t^2+8\)

○

\(\overrightarrow{v}(-4)=\begin{pmatrix}x'(-4) \\ y'(-4)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6 \\ -24\end{pmatrix}\)

○

\(\overrightarrow{v}(2)=\begin{pmatrix}x'(2) \\ y'(2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 \\ 0\end{pmatrix}\)

○

\(\cos(\varphi )={\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-6 \\ -24\end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix}6 \\ 0\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-6 \\ -24\end{pmatrix}\end{vmatrix}⋅\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}6 \\ 0\end{pmatrix}\end{vmatrix}}={36 \over \sqrt{612}⋅\sqrt{36}}\)

○

\(\varphi =\cos^{-1}({36 \over \sqrt{612}⋅\sqrt{36}})≈76{,}0\degree\)

opgave 5

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=-2\frac{1}{2}t^2-5t \\ y(t)=-1\frac{2}{3}t^3+15t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(y\text{-}\)as.

SnijpuntenYas

00qs - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

Snijpunt met de \(y\text{-}\)as betekent \(x(t)=0\text{,}\) dit geeft
\(-2\frac{1}{2}t^2-5t=0\)

○

[Oplossen geeft]
\(t^2+2t=0\)
\(t(t+2)=0\)
\(t=0∨t=-2\)

○

[De snijpunten met de \(y\text{-}\)as zijn dan]
\(t=0\) geeft \(y(0)=0\text{,}\) dus \((0, 0)\)
\(t=-2\) geeft \(y(-2)=-16\frac{2}{3}\text{,}\) dus \((0, -16\frac{2}{3})\)

opgave 6

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=-\frac{2}{3}t^3+8t \\ y(t)=2\frac{1}{2}t^2-5t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(y\text{-}\)as.

EvenwijdigMetAs (2)

00qt - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

\(x'(t)=-2t^2+8\)
\(y'(t)=5t-5\)

○

[Evenwijdig met de y-as, dus]
\(x'(t)=0\)
\(-2t^2+8=0\)
\(t^2-4=0\)
\(t^2=4\)
\(t=-2∨t=2\)

○

\(y'(-2)=-15≠0\text{,}\) dus voor \(t=-2\) is de baan evenwijdig aan de \(y\text{-}\)as in het punt \((-10\frac{2}{3}, 20)\text{.}\)

○

\(y'(2)=5≠0\text{,}\) dus voor \(t=2\) is de baan evenwijdig aan de \(y\text{-}\)as in het punt \((10\frac{2}{3}, 0)\text{.}\)

opgave 7

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=-t^3+4t \\ y(t)=2\frac{1}{4}t^2-9t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Stel een vergelijking op van de lijn \(l\) die de baan raakt in het punt met \(t=-2\text{.}\)

RaaklijnOpstellen

00qu - Parameterkrommen - basis - 1ms

○

\(x'(t)=-3t^2+4\)
\(y'(t)=4\frac{1}{2}t-9\)

○

\(t=-2\) geeft het punt \((0, 27)\text{.}\)

○

[Voor de richtingsvector van \(l\) geldt]
\(\overrightarrow{r}_l=\overrightarrow{v}(-2)=\begin{pmatrix}x'(-2) \\ y'(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8 \\ -18\end{pmatrix}\text{.}\)

○

[Hieruit volgt]
\(\overrightarrow{n}_l=\begin{pmatrix}18 \\ -8\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(l{:}\,18x-8y=c\text{.}\)

○

\(\begin{rcases}l{:}\,18x-8y=c \\ \text{door }(0, 27)\end{rcases}\begin{matrix}c=18⋅0-8⋅27=-216\end{matrix}\)
Dus een vergelijking van de raaklijn is \(l{:}\,18x-8y=-216\text{.}\)