Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Parameterkrommen'.

vwo wiskunde B	10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling
Parameterkrommen (7)	opgave 1 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = t^{3} - 4 t \\ y(t) = t^{2} + 4 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(x \text{-}\)as. SnijpuntenXas 00qo - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ Snijpunt met de \(x \text{-}\)as betekent \(y(t) = 0 \text{,}\) dit geeft \(t^{2} + 4 t = 0\) 1p ○ [Oplossen geeft] \(t (t + 4) = 0\) \(t = 0 ∨ t = -4\) 1p ○ [De snijpunten met de \(x \text{-}\)as zijn dan] \(t = 0\) geeft \(x(0) = 0 \text{,}\) dus \((0 , 0)\) \(t = -4\) geeft \(x(-4) = -48 \text{,}\) dus \((-48 , 0)\) 1p opgave 2 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = -\frac{1}{2} t^{2} - t \\ y(t) = \frac{1}{3} t^{3} - 13 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Toon aan dat de baan zichzelf snijdt in het punt \((-17\frac{1}{2} , -23\frac{1}{3}) \text{.}\) ZelfsnijpuntAantonen 00qp - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ [Oplossen van \(x(t) = -17\frac{1}{2}\) geeft] \(-\frac{1}{2} t^{2} - t = -17\frac{1}{2}\) \(-\frac{1}{2} t^{2} - t + \frac{35}{2} = 0\) \(t^{2} + 2 t - 35 = 0\) \((t + 7) (t - 5) = 0\) \(t = -7 ∨ t = 5\) 1p ○ \(y(-7) = -23\frac{1}{3} \text{,}\) dus \(t = -7\) geeft het punt \((-17\frac{1}{2} , -23\frac{1}{3}) \text{.}\) 1p ○ \(y(5) = -23\frac{1}{3} \text{,}\) dus \(t = 5\) geeft ook het punt \((-17\frac{1}{2} , -23\frac{1}{3}) \text{,}\) dus de baan snijdt zichzelf in dat punt. 1p opgave 3 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = -\frac{1}{3} t^{3} + t \\ y(t) = 2\frac{1}{4} t^{2} + 9 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(x \text{-}\)as. EvenwijdigMetAs (1) 00qq - Parameterkrommen - basis - 1ms ○ \(x'(t) = -t^{2} + 1\) \(y'(t) = 4\frac{1}{2} t + 9\) 1p ○ [Evenwijdig met de x-as, dus] \(y'(t) = 0\) \(\frac{9}{2} t + 9 = 0\) \({9 \over 2} t = -9\) \(t = -2\) 1p ○ \(x'(-2) = -3 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = -2\) is de baan evenwijdig aan de \(x \text{-}\)as in het punt \((\frac{2}{3} , -9) \text{.}\) 1p opgave 4 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = \frac{1}{2} t^{2} - 2 t \\ y(t) = -\frac{1}{3} t^{3} + 7 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. De baan snijdt zichzelf voor \(t = -1\) en voor \(t = 5\) in het punt \((2\frac{1}{2} , -6\frac{2}{3}) \text{.}\) 5p Bereken de hoek \(\varphi \) waaronder de baan zichzelf snijdt. Geef je antwoord in graden en rond af op één decimaal. HoekInZelfsnijpunt 00qr - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ \(x'(t) = t - 2\) \(y'(t) = -t^{2} + 7\) 1p ○ \(\overrightarrow{v} (-1) = \begin{pmatrix}x'(-1) \\ y'(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ 6\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{v} (5) = \begin{pmatrix}x'(5) \\ y'(5)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ -18\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\cos(\varphi ) = {\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-3 \\ 6\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}3 \\ -18\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-3 \\ 6\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ -18\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {117 \over \sqrt{45} ⋅ \sqrt{333}}\) 1p ○ \(\varphi = \cos^{-1}({117 \over \sqrt{45} ⋅ \sqrt{333}}) ≈ 17{,}1\degree\) 1p opgave 5 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = -\frac{1}{3} t^{3} + 3 t \\ y(t) = -2 t^{2} - 4 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(y \text{-}\)as. SnijpuntenYas 00qs - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ Snijpunt met de \(y \text{-}\)as betekent \(x(t) = 0 \text{,}\) dit geeft \(-\frac{1}{3} t^{3} + 3 t = 0\) 1p ○ [Oplossen geeft] \(t (-\frac{1}{3} t^{2} + 3) = 0\) \(t = 0 ∨ -\frac{1}{3} t^{2} + 3 = 0\) \(t = 0 ∨ t^{2} - 9 = 0\) \(t = 0 ∨ t^{2} = 9\) \(t = 0 ∨ t = -3 ∨ t = 3\) 1p ○ [De snijpunten met de \(y \text{-}\)as zijn dan] \(t = 0\) geeft \(y(0) = 0 \text{,}\) dus \((0 , 0)\) \(t = -3\) geeft \(y(-3) = -6 \text{,}\) dus \((0 , -6)\) \(t = 3\) geeft \(y(3) = -30 \text{,}\) dus \((0 , -30)\) 1p opgave 6 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = -1\frac{1}{3} t^{3} + t \\ y(t) = 2 t^{2} + 6 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 4p Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(y \text{-}\)as. EvenwijdigMetAs (2) 00qt - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ \(x'(t) = -4 t^{2} + 1\) \(y'(t) = 4 t + 6\) 1p ○ [Evenwijdig met de y-as, dus] \(x'(t) = 0\) \(-4 t^{2} + 1 = 0\) \(4 t^{2} - 1 = 0\) \(4 t^{2} = 1\) \(t^{2} = \frac{1}{4}\) \(t = -\frac{1}{2} ∨ t = \frac{1}{2}\) 1p ○ \(y'(-\frac{1}{2}) = 4 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = -\frac{1}{2}\) is de baan evenwijdig aan de \(y \text{-}\)as in het punt \((-\frac{1}{3} , -2\frac{1}{2}) \text{.}\) 1p ○ \(y'(\frac{1}{2}) = 8 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = \frac{1}{2}\) is de baan evenwijdig aan de \(y \text{-}\)as in het punt \((\frac{1}{3} , 3\frac{1}{2}) \text{.}\) 1p opgave 7 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = \frac{2}{3} t^{3} - 2 t \\ y(t) = -1\frac{3}{4} t^{2} - 7 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 5p Stel een vergelijking op van de lijn \(l\) die de baan raakt in het punt met \(t = -3 \text{.}\) RaaklijnOpstellen 00qu - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ \(x'(t) = 2 t^{2} - 2\) \(y'(t) = -3\frac{1}{2} t - 7\) 1p ○ \(t = -3\) geeft het punt \((-12 , 5\frac{1}{4}) \text{.}\) 1p ○ [Voor de richtingsvector van \(l\) geldt] \(\overrightarrow{r}_{l} = \overrightarrow{v} (-3) = \begin{pmatrix}x'(-3) \\ y'(-3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}16 \\ 3\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ [Hieruit volgt] \(\overrightarrow{n}_{l} = \begin{pmatrix}3\frac{1}{2} \\ -16\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l{:}\,3\frac{1}{2} x - 16 y = c \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}l{:}\,3\frac{1}{2} x - 16 y = c \\ \text{door } (-12 , 5\frac{1}{4})\end{rcases} \begin{matrix}c = 3\frac{1}{2} ⋅ -12 - 16 ⋅ 5\frac{1}{4} = -126\end{matrix}\) Dus een vergelijking van de raaklijn is \(l{:}\,3\frac{1}{2} x - 16 y = -126 \text{.}\) 1p

10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling

Parameterkrommen (7)

opgave 1

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = t^{3} - 4 t \\ y(t) = t^{2} + 4 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(x \text{-}\)as.

SnijpuntenXas

00qo - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

Snijpunt met de \(x \text{-}\)as betekent \(y(t) = 0 \text{,}\) dit geeft
\(t^{2} + 4 t = 0\)

○

[Oplossen geeft]
\(t (t + 4) = 0\)
\(t = 0 ∨ t = -4\)

○

[De snijpunten met de \(x \text{-}\)as zijn dan]
\(t = 0\) geeft \(x(0) = 0 \text{,}\) dus \((0 , 0)\)
\(t = -4\) geeft \(x(-4) = -48 \text{,}\) dus \((-48 , 0)\)

opgave 2

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -\frac{1}{2} t^{2} - t \\ y(t) = \frac{1}{3} t^{3} - 13 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Toon aan dat de baan zichzelf snijdt in het punt \((-17\frac{1}{2} , -23\frac{1}{3}) \text{.}\)

ZelfsnijpuntAantonen

00qp - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

[Oplossen van \(x(t) = -17\frac{1}{2}\) geeft]
\(-\frac{1}{2} t^{2} - t = -17\frac{1}{2}\)
\(-\frac{1}{2} t^{2} - t + \frac{35}{2} = 0\)
\(t^{2} + 2 t - 35 = 0\)
\((t + 7) (t - 5) = 0\)
\(t = -7 ∨ t = 5\)

○

\(y(-7) = -23\frac{1}{3} \text{,}\) dus \(t = -7\) geeft het punt \((-17\frac{1}{2} , -23\frac{1}{3}) \text{.}\)

○

\(y(5) = -23\frac{1}{3} \text{,}\) dus \(t = 5\) geeft ook het punt \((-17\frac{1}{2} , -23\frac{1}{3}) \text{,}\) dus de baan snijdt zichzelf in dat punt.

opgave 3

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -\frac{1}{3} t^{3} + t \\ y(t) = 2\frac{1}{4} t^{2} + 9 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(x \text{-}\)as.

EvenwijdigMetAs (1)

00qq - Parameterkrommen - basis - 1ms

○

\(x'(t) = -t^{2} + 1\)
\(y'(t) = 4\frac{1}{2} t + 9\)

○

[Evenwijdig met de x-as, dus]
\(y'(t) = 0\)
\(\frac{9}{2} t + 9 = 0\)
\({9 \over 2} t = -9\)
\(t = -2\)

○

\(x'(-2) = -3 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = -2\) is de baan evenwijdig aan de \(x \text{-}\)as in het punt \((\frac{2}{3} , -9) \text{.}\)

opgave 4

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = \frac{1}{2} t^{2} - 2 t \\ y(t) = -\frac{1}{3} t^{3} + 7 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

De baan snijdt zichzelf voor \(t = -1\) en voor \(t = 5\) in het punt \((2\frac{1}{2} , -6\frac{2}{3}) \text{.}\)

Bereken de hoek \(\varphi \) waaronder de baan zichzelf snijdt. Geef je antwoord in graden en rond af op één decimaal.

HoekInZelfsnijpunt

00qr - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

\(x'(t) = t - 2\)
\(y'(t) = -t^{2} + 7\)

○

\(\overrightarrow{v} (-1) = \begin{pmatrix}x'(-1) \\ y'(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ 6\end{pmatrix}\)

○

\(\overrightarrow{v} (5) = \begin{pmatrix}x'(5) \\ y'(5)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ -18\end{pmatrix}\)

○

\(\cos(\varphi ) = {\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-3 \\ 6\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}3 \\ -18\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-3 \\ 6\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ -18\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {117 \over \sqrt{45} ⋅ \sqrt{333}}\)

○

\(\varphi = \cos^{-1}({117 \over \sqrt{45} ⋅ \sqrt{333}}) ≈ 17{,}1\degree\)

opgave 5

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -\frac{1}{3} t^{3} + 3 t \\ y(t) = -2 t^{2} - 4 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(y \text{-}\)as.

SnijpuntenYas

00qs - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

Snijpunt met de \(y \text{-}\)as betekent \(x(t) = 0 \text{,}\) dit geeft
\(-\frac{1}{3} t^{3} + 3 t = 0\)

○

[Oplossen geeft]
\(t (-\frac{1}{3} t^{2} + 3) = 0\)
\(t = 0 ∨ -\frac{1}{3} t^{2} + 3 = 0\)
\(t = 0 ∨ t^{2} - 9 = 0\)
\(t = 0 ∨ t^{2} = 9\)
\(t = 0 ∨ t = -3 ∨ t = 3\)

○

[De snijpunten met de \(y \text{-}\)as zijn dan]
\(t = 0\) geeft \(y(0) = 0 \text{,}\) dus \((0 , 0)\)
\(t = -3\) geeft \(y(-3) = -6 \text{,}\) dus \((0 , -6)\)
\(t = 3\) geeft \(y(3) = -30 \text{,}\) dus \((0 , -30)\)

opgave 6

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -1\frac{1}{3} t^{3} + t \\ y(t) = 2 t^{2} + 6 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(y \text{-}\)as.

EvenwijdigMetAs (2)

00qt - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

\(x'(t) = -4 t^{2} + 1\)
\(y'(t) = 4 t + 6\)

○

[Evenwijdig met de y-as, dus]
\(x'(t) = 0\)
\(-4 t^{2} + 1 = 0\)
\(4 t^{2} - 1 = 0\)
\(4 t^{2} = 1\)
\(t^{2} = \frac{1}{4}\)
\(t = -\frac{1}{2} ∨ t = \frac{1}{2}\)

○

\(y'(-\frac{1}{2}) = 4 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = -\frac{1}{2}\) is de baan evenwijdig aan de \(y \text{-}\)as in het punt \((-\frac{1}{3} , -2\frac{1}{2}) \text{.}\)

○

\(y'(\frac{1}{2}) = 8 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = \frac{1}{2}\) is de baan evenwijdig aan de \(y \text{-}\)as in het punt \((\frac{1}{3} , 3\frac{1}{2}) \text{.}\)

opgave 7

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = \frac{2}{3} t^{3} - 2 t \\ y(t) = -1\frac{3}{4} t^{2} - 7 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Stel een vergelijking op van de lijn \(l\) die de baan raakt in het punt met \(t = -3 \text{.}\)

RaaklijnOpstellen

00qu - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

\(x'(t) = 2 t^{2} - 2\)
\(y'(t) = -3\frac{1}{2} t - 7\)

○

\(t = -3\) geeft het punt \((-12 , 5\frac{1}{4}) \text{.}\)

○

[Voor de richtingsvector van \(l\) geldt]
\(\overrightarrow{r}_{l} = \overrightarrow{v} (-3) = \begin{pmatrix}x'(-3) \\ y'(-3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}16 \\ 3\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\)

○

[Hieruit volgt]
\(\overrightarrow{n}_{l} = \begin{pmatrix}3\frac{1}{2} \\ -16\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l{:}\,3\frac{1}{2} x - 16 y = c \text{.}\)

○

\(\begin{rcases}l{:}\,3\frac{1}{2} x - 16 y = c \\ \text{door } (-12 , 5\frac{1}{4})\end{rcases} \begin{matrix}c = 3\frac{1}{2} ⋅ -12 - 16 ⋅ 5\frac{1}{4} = -126\end{matrix}\)
Dus een vergelijking van de raaklijn is \(l{:}\,3\frac{1}{2} x - 16 y = -126 \text{.}\)