Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Parameterkrommen'.

vwo wiskunde B	10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling
Parameterkrommen (7)	opgave 1 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = -1\frac{2}{3} t^{3} + 15 t \\ y(t) = -1\frac{1}{2} t^{2} + 3 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(x \text{-}\)as. SnijpuntenXas 00qo - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ Snijpunt met de \(x \text{-}\)as betekent \(y(t) = 0 \text{,}\) dit geeft \(-1\frac{1}{2} t^{2} + 3 t = 0\) 1p ○ [Oplossen geeft] \(1 t^{2} + -2 t + 0 = 0\) \(t (1 t + -2) = 0\) \(t = 0 ∨ t = 2\) 1p ○ [De snijpunten met de \(x \text{-}\)as zijn dan] \(t = 0\) geeft \(x(0) = 0 \text{,}\) dus \((0 , 0)\) \(t = 2\) geeft \(x(2) = 16\frac{2}{3} \text{,}\) dus \((16\frac{2}{3} , 0)\) 1p opgave 2 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = -\frac{3}{4} t^{2} - 3 t \\ y(t) = \frac{2}{3} t^{3} - 14 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Toon aan dat de baan zichzelf snijdt in het punt \((-3\frac{3}{4} , -13\frac{1}{3}) \text{.}\) ZelfsnijpuntAantonen 00qp - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ [Oplossen van \(x(t) = -3\frac{3}{4}\) geeft] \(-\frac{3}{4} t^{2} - 3 t = -3\frac{3}{4}\) \({-3 \over 4} t^{2} + -3 t + {15 \over 4} = 0\) \(1 t^{2} + 4 t + -5 = 0\) \((t + 5) (t + -1) = 0\) \(t = -5 ∨ t = 1\) 1p ○ \(y(-5) = -13\frac{1}{3} \text{,}\) dus \(t = -5\) geeft het punt \((-3\frac{3}{4} , -13\frac{1}{3}) \text{.}\) 1p ○ \(y(1) = -13\frac{1}{3} \text{,}\) dus \(t = 1\) geeft ook het punt \((-3\frac{3}{4} , -13\frac{1}{3}) \text{,}\) dus de baan snijdt zichzelf in dat punt. 1p opgave 3 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = -2\frac{1}{4} t^{2} + 9 t \\ y(t) = -\frac{2}{3} t^{3} + 2 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(y \text{-}\)as. EvenwijdigMetAs (1) 00qq - Parameterkrommen - basis - 1ms ○ \(x'(t) = -4\frac{1}{2} t + 9\) \(y'(t) = -2 t^{2} + 2\) 1p ○ [Evenwijdig met de y-as, dus] \(x'(t) = 0\) \({-9 \over 2} t + 9 = 0\) \({-9 \over 2} t = -9\) \(t = 2\) 1p ○ \(y'(2) = -6 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = 2\) is de baan evenwijdig aan de \(y \text{-}\)as in het punt \((9 , -1\frac{1}{3}) \text{.}\) 1p opgave 4 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = -1\frac{1}{3} t^{3} + 7 t \\ y(t) = 2 t^{2} + 4 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. De baan snijdt zichzelf voor \(t = -2\frac{1}{2}\) en voor \(t = \frac{1}{2}\) in het punt \((3\frac{1}{3} , 2\frac{1}{2}) \text{.}\) 5p Bereken de hoek \(\varphi \) waaronder de baan zichzelf snijdt. Geef je antwoord in graden en rond af op één decimaal. HoekInZelfsnijpunt 00qr - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ \(x'(t) = -4 t^{2} + 7\) \(y'(t) = 4 t + 4\) 1p ○ \(\overrightarrow{v} (-2\frac{1}{2}) = \begin{pmatrix}x'(-2\frac{1}{2}) \\ y'(-2\frac{1}{2})\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-18 \\ -6\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{v} (\frac{1}{2}) = \begin{pmatrix}x'(\frac{1}{2}) \\ y'(\frac{1}{2})\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\ 6\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\cos(\varphi ) = {\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-18 \\ -6\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}6 \\ 6\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-18 \\ -6\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}6 \\ 6\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {144 \over \sqrt{360} ⋅ \sqrt{72}}\) 1p ○ \(\varphi = \cos^{-1}({144 \over \sqrt{360} ⋅ \sqrt{72}}) ≈ 26{,}6\degree\) 1p opgave 5 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = t^{3} - 4 t \\ y(t) = -1\frac{3}{4} t^{2} + 7 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(y \text{-}\)as. SnijpuntenYas 00qs - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ Snijpunt met de \(y \text{-}\)as betekent \(x(t) = 0 \text{,}\) dit geeft \(t^{3} - 4 t = 0\) 1p ○ [Oplossen geeft] \(t (1 t^{2} + 0 t + -4) = 0\) \(t = 0 ∨ 1 t^{2} + 0 t + -4 = 0\) \(t = 0 ∨ 1 t^{2} = 4\) \(t = 0 ∨ t = -2 ∨ t = 2\) 1p ○ [De snijpunten met de \(y \text{-}\)as zijn dan] \(t = 0\) geeft \(y(0) = 0 \text{,}\) dus \((0 , 0)\) \(t = -2\) geeft \(y(-2) = -21 \text{,}\) dus \((0 , -21)\) \(t = 2\) geeft \(y(2) = 7 \text{,}\) dus \((0 , 7)\) 1p opgave 6 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = -2 t^{2} + 8 t \\ y(t) = -1\frac{1}{3} t^{3} + 9 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 4p Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(x \text{-}\)as. EvenwijdigMetAs (2) 00qt - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ \(x'(t) = -4 t + 8\) \(y'(t) = -4 t^{2} + 9\) 1p ○ [Evenwijdig met de x-as, dus] \(y'(t) = 0\) \(-4 t^{2} + 0 t + 9 = 0\) \(4 t^{2} + 0 t + -9 = 0\) \(4 t^{2} = 9\) \(t^{2} = {9 \over 4}\) \(t = {-3 \over 2} ∨ t = {3 \over 2}\) 1p ○ \(x'({-3 \over 2}) = 14 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = {-3 \over 2}\) is de baan evenwijdig aan de \(x \text{-}\)as in het punt \((-16\frac{1}{2} , -9) \text{.}\) 1p ○ \(x'({3 \over 2}) = 2 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = {3 \over 2}\) is de baan evenwijdig aan de \(x \text{-}\)as in het punt \((7\frac{1}{2} , 9) \text{.}\) 1p opgave 7 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t) = -\frac{2}{3} t^{3} + 14 t \\ y(t) = 1\frac{1}{4} t^{2} - 5 t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 5p Stel een vergelijking op van de lijn \(l\) die de baan raakt in het punt met \(t = 4 \text{.}\) RaaklijnOpstellen 00qu - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ \(x'(t) = -2 t^{2} + 14\) \(y'(t) = 2\frac{1}{2} t - 5\) 1p ○ \(t = 4\) geeft het punt \((13\frac{1}{3} , 0) \text{.}\) 1p ○ [Voor de richtingsvector van \(l\) geldt] \(\overrightarrow{r}_{l} = \overrightarrow{v} (4) = \begin{pmatrix}x'(4) \\ y'(4)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-18 \\ 5\end{pmatrix} \text{.}\) 1p ○ [Hieruit volgt] \(\overrightarrow{n}_{l} = \begin{pmatrix}5 \\ 18\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l{:}\,5 x + 18 y = c \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}l{:}\,5 x + 18 y = c \\ \text{door } (13\frac{1}{3} , 0)\end{rcases} \begin{matrix}c = 5 ⋅ 13\frac{1}{3} + 18 ⋅ 0 = 66\frac{2}{3}\end{matrix}\) Dus een vergelijking van de raaklijn is \(l{:}\,5 x + 18 y = 66\frac{2}{3} \text{.}\) 1p

10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling

Parameterkrommen (7)

opgave 1

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -1\frac{2}{3} t^{3} + 15 t \\ y(t) = -1\frac{1}{2} t^{2} + 3 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(x \text{-}\)as.

SnijpuntenXas

00qo - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

Snijpunt met de \(x \text{-}\)as betekent \(y(t) = 0 \text{,}\) dit geeft
\(-1\frac{1}{2} t^{2} + 3 t = 0\)

○

[Oplossen geeft]
\(1 t^{2} + -2 t + 0 = 0\)
\(t (1 t + -2) = 0\)
\(t = 0 ∨ t = 2\)

○

[De snijpunten met de \(x \text{-}\)as zijn dan]
\(t = 0\) geeft \(x(0) = 0 \text{,}\) dus \((0 , 0)\)
\(t = 2\) geeft \(x(2) = 16\frac{2}{3} \text{,}\) dus \((16\frac{2}{3} , 0)\)

opgave 2

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -\frac{3}{4} t^{2} - 3 t \\ y(t) = \frac{2}{3} t^{3} - 14 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Toon aan dat de baan zichzelf snijdt in het punt \((-3\frac{3}{4} , -13\frac{1}{3}) \text{.}\)

ZelfsnijpuntAantonen

00qp - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

[Oplossen van \(x(t) = -3\frac{3}{4}\) geeft]
\(-\frac{3}{4} t^{2} - 3 t = -3\frac{3}{4}\)
\({-3 \over 4} t^{2} + -3 t + {15 \over 4} = 0\)
\(1 t^{2} + 4 t + -5 = 0\)
\((t + 5) (t + -1) = 0\)
\(t = -5 ∨ t = 1\)

○

\(y(-5) = -13\frac{1}{3} \text{,}\) dus \(t = -5\) geeft het punt \((-3\frac{3}{4} , -13\frac{1}{3}) \text{.}\)

○

\(y(1) = -13\frac{1}{3} \text{,}\) dus \(t = 1\) geeft ook het punt \((-3\frac{3}{4} , -13\frac{1}{3}) \text{,}\) dus de baan snijdt zichzelf in dat punt.

opgave 3

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -2\frac{1}{4} t^{2} + 9 t \\ y(t) = -\frac{2}{3} t^{3} + 2 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(y \text{-}\)as.

EvenwijdigMetAs (1)

00qq - Parameterkrommen - basis - 1ms

○

\(x'(t) = -4\frac{1}{2} t + 9\)
\(y'(t) = -2 t^{2} + 2\)

○

[Evenwijdig met de y-as, dus]
\(x'(t) = 0\)
\({-9 \over 2} t + 9 = 0\)
\({-9 \over 2} t = -9\)
\(t = 2\)

○

\(y'(2) = -6 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = 2\) is de baan evenwijdig aan de \(y \text{-}\)as in het punt \((9 , -1\frac{1}{3}) \text{.}\)

opgave 4

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -1\frac{1}{3} t^{3} + 7 t \\ y(t) = 2 t^{2} + 4 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

De baan snijdt zichzelf voor \(t = -2\frac{1}{2}\) en voor \(t = \frac{1}{2}\) in het punt \((3\frac{1}{3} , 2\frac{1}{2}) \text{.}\)

Bereken de hoek \(\varphi \) waaronder de baan zichzelf snijdt. Geef je antwoord in graden en rond af op één decimaal.

HoekInZelfsnijpunt

00qr - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

\(x'(t) = -4 t^{2} + 7\)
\(y'(t) = 4 t + 4\)

○

\(\overrightarrow{v} (-2\frac{1}{2}) = \begin{pmatrix}x'(-2\frac{1}{2}) \\ y'(-2\frac{1}{2})\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-18 \\ -6\end{pmatrix}\)

○

\(\overrightarrow{v} (\frac{1}{2}) = \begin{pmatrix}x'(\frac{1}{2}) \\ y'(\frac{1}{2})\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\ 6\end{pmatrix}\)

○

\(\cos(\varphi ) = {\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-18 \\ -6\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}6 \\ 6\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-18 \\ -6\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}6 \\ 6\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {144 \over \sqrt{360} ⋅ \sqrt{72}}\)

○

\(\varphi = \cos^{-1}({144 \over \sqrt{360} ⋅ \sqrt{72}}) ≈ 26{,}6\degree\)

opgave 5

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = t^{3} - 4 t \\ y(t) = -1\frac{3}{4} t^{2} + 7 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(y \text{-}\)as.

SnijpuntenYas

00qs - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

Snijpunt met de \(y \text{-}\)as betekent \(x(t) = 0 \text{,}\) dit geeft
\(t^{3} - 4 t = 0\)

○

[Oplossen geeft]
\(t (1 t^{2} + 0 t + -4) = 0\)
\(t = 0 ∨ 1 t^{2} + 0 t + -4 = 0\)
\(t = 0 ∨ 1 t^{2} = 4\)
\(t = 0 ∨ t = -2 ∨ t = 2\)

○

[De snijpunten met de \(y \text{-}\)as zijn dan]
\(t = 0\) geeft \(y(0) = 0 \text{,}\) dus \((0 , 0)\)
\(t = -2\) geeft \(y(-2) = -21 \text{,}\) dus \((0 , -21)\)
\(t = 2\) geeft \(y(2) = 7 \text{,}\) dus \((0 , 7)\)

opgave 6

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -2 t^{2} + 8 t \\ y(t) = -1\frac{1}{3} t^{3} + 9 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(x \text{-}\)as.

EvenwijdigMetAs (2)

00qt - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

\(x'(t) = -4 t + 8\)
\(y'(t) = -4 t^{2} + 9\)

○

[Evenwijdig met de x-as, dus]
\(y'(t) = 0\)
\(-4 t^{2} + 0 t + 9 = 0\)
\(4 t^{2} + 0 t + -9 = 0\)
\(4 t^{2} = 9\)
\(t^{2} = {9 \over 4}\)
\(t = {-3 \over 2} ∨ t = {3 \over 2}\)

○

\(x'({-3 \over 2}) = 14 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = {-3 \over 2}\) is de baan evenwijdig aan de \(x \text{-}\)as in het punt \((-16\frac{1}{2} , -9) \text{.}\)

○

\(x'({3 \over 2}) = 2 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = {3 \over 2}\) is de baan evenwijdig aan de \(x \text{-}\)as in het punt \((7\frac{1}{2} , 9) \text{.}\)

opgave 7

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -\frac{2}{3} t^{3} + 14 t \\ y(t) = 1\frac{1}{4} t^{2} - 5 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Stel een vergelijking op van de lijn \(l\) die de baan raakt in het punt met \(t = 4 \text{.}\)

RaaklijnOpstellen

00qu - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

\(x'(t) = -2 t^{2} + 14\)
\(y'(t) = 2\frac{1}{2} t - 5\)

○

\(t = 4\) geeft het punt \((13\frac{1}{3} , 0) \text{.}\)

○

[Voor de richtingsvector van \(l\) geldt]
\(\overrightarrow{r}_{l} = \overrightarrow{v} (4) = \begin{pmatrix}x'(4) \\ y'(4)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-18 \\ 5\end{pmatrix} \text{.}\)

○

[Hieruit volgt]
\(\overrightarrow{n}_{l} = \begin{pmatrix}5 \\ 18\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l{:}\,5 x + 18 y = c \text{.}\)

○

\(\begin{rcases}l{:}\,5 x + 18 y = c \\ \text{door } (13\frac{1}{3} , 0)\end{rcases} \begin{matrix}c = 5 ⋅ 13\frac{1}{3} + 18 ⋅ 0 = 66\frac{2}{3}\end{matrix}\)
Dus een vergelijking van de raaklijn is \(l{:}\,5 x + 18 y = 66\frac{2}{3} \text{.}\)