Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Parameterkrommen'.

vwo wiskunde B	10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling
Parameterkrommen (7)	opgave 1 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=2t^2+4t \\ y(t)=2t^3-2t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(x\text{-}\)as. SnijpuntenXas 00qo - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ Snijpunt met de \(x\text{-}\)as betekent \(y(t)=0\text{,}\) dit geeft \(2t^3-2t=0\) 1p ○ [Oplossen geeft] \(t(2t^2-2)=0\) \(t=0∨2t^2-2=0\) \(t=0∨t^2-1=0\) \(t=0∨t^2=1\) \(t=0∨t=-1∨t=1\) 1p ○ [De snijpunten met de \(x\text{-}\)as zijn dan] \(t=0\) geeft \(x(0)=0\text{,}\) dus \((0, 0)\) \(t=-1\) geeft \(x(-1)=-2\text{,}\) dus \((-2, 0)\) \(t=1\) geeft \(x(1)=6\text{,}\) dus \((6, 0)\) 1p opgave 2 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=-2\frac{1}{2}t^2-5t \\ y(t)=-\frac{1}{3}t^3+4t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Toon aan dat de baan zichzelf snijdt in het punt \((-20, 5\frac{1}{3})\text{.}\) ZelfsnijpuntAantonen 00qp - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ [Oplossen van \(x(t)=-20\) geeft] \(-2\frac{1}{2}t^2-5t=-20\) \(-2\frac{1}{2}t^2-5t+20=0\) \(t^2+2t-8=0\) \((t+4)(t-2)=0\) \(t=-4∨t=2\) 1p ○ \(y(-4)=5\frac{1}{3}\text{,}\) dus \(t=-4\) geeft het punt \((-20, 5\frac{1}{3})\text{.}\) 1p ○ \(y(2)=5\frac{1}{3}\text{,}\) dus \(t=2\) geeft ook het punt \((-20, 5\frac{1}{3})\text{,}\) dus de baan snijdt zichzelf in dat punt. 1p opgave 3 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=\frac{2}{3}t^3-2t \\ y(t)=-\frac{3}{4}t^2-3t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(x\text{-}\)as. EvenwijdigMetAs (1) 00qq - Parameterkrommen - basis - 1ms ○ \(x'(t)=2t^2-2\) \(y'(t)=-1\frac{1}{2}t-3\) 1p ○ [Evenwijdig met de x-as, dus] \(y'(t)=0\) \(-1\frac{1}{2}t-3=0\) \(-1\frac{1}{2}t=3\) \(t=-2\) 1p ○ \(x'(-2)=6≠0\text{,}\) dus voor \(t=-2\) is de baan evenwijdig aan de \(x\text{-}\)as in het punt \((-1\frac{1}{3}, 3)\text{.}\) 1p opgave 4 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=\frac{1}{3}t^3-4t \\ y(t)=-1\frac{1}{2}t^2+3t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. De baan snijdt zichzelf voor \(t=-2\) en voor \(t=4\) in het punt \((5\frac{1}{3}, -12)\text{.}\) 5p Bereken de hoek \(\varphi \) waaronder de baan zichzelf snijdt. Geef je antwoord in graden en rond af op één decimaal. HoekInZelfsnijpunt 00qr - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ \(x'(t)=t^2-4\) \(y'(t)=-3t+3\) 1p ○ \(\overrightarrow{v}(-2)=\begin{pmatrix}x'(-2) \\ y'(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 9\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\overrightarrow{v}(4)=\begin{pmatrix}x'(4) \\ y'(4)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12 \\ -9\end{pmatrix}\) 1p ○ \(\cos(\varphi )={\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 9\end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix}12 \\ -9\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 9\end{pmatrix}\end{vmatrix}⋅\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}12 \\ -9\end{pmatrix}\end{vmatrix}}={81 \over \sqrt{81}⋅\sqrt{225}}\) 1p ○ \(\varphi =\cos^{-1}({81 \over \sqrt{81}⋅\sqrt{225}})≈53{,}1\degree\) 1p opgave 5 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=1\frac{3}{4}t^2-7t \\ y(t)=t^3-9t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 3p Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(y\text{-}\)as. SnijpuntenYas 00qs - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ Snijpunt met de \(y\text{-}\)as betekent \(x(t)=0\text{,}\) dit geeft \(1\frac{3}{4}t^2-7t=0\) 1p ○ [Oplossen geeft] \(t^2-4t=0\) \(t(t-4)=0\) \(t=0∨t=4\) 1p ○ [De snijpunten met de \(y\text{-}\)as zijn dan] \(t=0\) geeft \(y(0)=0\text{,}\) dus \((0, 0)\) \(t=4\) geeft \(y(4)=28\text{,}\) dus \((0, 28)\) 1p opgave 6 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=-t^3+3t \\ y(t)=-2\frac{1}{2}t^2+5t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 4p Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(y\text{-}\)as. EvenwijdigMetAs (2) 00qt - Parameterkrommen - basis - 0ms ○ \(x'(t)=-3t^2+3\) \(y'(t)=-5t+5\) 1p ○ [Evenwijdig met de y-as, dus] \(x'(t)=0\) \(-3t^2+3=0\) \(t^2-1=0\) \(t^2=1\) \(t=-1∨t=1\) 1p ○ \(y'(-1)=10≠0\text{,}\) dus voor \(t=-1\) is de baan evenwijdig aan de \(y\text{-}\)as in het punt \((-2, -7\frac{1}{2})\text{.}\) 1p ○ \(y'(1)=0\text{,}\) dus voor \(t=1\) heeft de baan een keerpunt in het punt \((2, 2\frac{1}{2})\text{.}\) In de figuur is te zien dat de baan in het keerpunt niet evenwijdig is met de \(y\text{-}\)as. 1p opgave 7 De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen \(\begin{cases}x(t)=-2\frac{1}{4}t^2-9t \\ y(t)=t^3-9t\end{cases}\) Zie de figuur hieronder. 5p Stel een vergelijking op van de lijn \(l\) die de baan raakt in het punt met \(t=1\text{.}\) RaaklijnOpstellen 00qu - Parameterkrommen - basis - 1ms ○ \(x'(t)=-4\frac{1}{2}t-9\) \(y'(t)=3t^2-9\) 1p ○ \(t=1\) geeft het punt \((-11\frac{1}{4}, -8)\text{.}\) 1p ○ [Voor de richtingsvector van \(l\) geldt] \(\overrightarrow{r}_l=\overrightarrow{v}(1)=\begin{pmatrix}x'(1) \\ y'(1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-13\frac{1}{2} \\ -6\end{pmatrix}\text{.}\) 1p ○ [Hieruit volgt] \(\overrightarrow{n}_l=\begin{pmatrix}6 \\ -13\frac{1}{2}\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(l{:}\,6x-13\frac{1}{2}y=c\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}l{:}\,6x-13\frac{1}{2}y=c \\ \text{door }(-11\frac{1}{4}, -8)\end{rcases}\begin{matrix}c=6⋅-11\frac{1}{4}-13\frac{1}{2}⋅-8=40\frac{1}{2}\end{matrix}\) Dus een vergelijking van de raaklijn is \(l{:}\,13\frac{1}{2}x-6y=40\frac{1}{2}\text{.}\) 1p

10.5 Vectoren bij snelheid en versnelling

Parameterkrommen (7)

opgave 1

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=2t^2+4t \\ y(t)=2t^3-2t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(x\text{-}\)as.

SnijpuntenXas

00qo - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

Snijpunt met de \(x\text{-}\)as betekent \(y(t)=0\text{,}\) dit geeft
\(2t^3-2t=0\)

○

[Oplossen geeft]
\(t(2t^2-2)=0\)
\(t=0∨2t^2-2=0\)
\(t=0∨t^2-1=0\)
\(t=0∨t^2=1\)
\(t=0∨t=-1∨t=1\)

○

[De snijpunten met de \(x\text{-}\)as zijn dan]
\(t=0\) geeft \(x(0)=0\text{,}\) dus \((0, 0)\)
\(t=-1\) geeft \(x(-1)=-2\text{,}\) dus \((-2, 0)\)
\(t=1\) geeft \(x(1)=6\text{,}\) dus \((6, 0)\)

opgave 2

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=-2\frac{1}{2}t^2-5t \\ y(t)=-\frac{1}{3}t^3+4t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Toon aan dat de baan zichzelf snijdt in het punt \((-20, 5\frac{1}{3})\text{.}\)

ZelfsnijpuntAantonen

00qp - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

[Oplossen van \(x(t)=-20\) geeft]
\(-2\frac{1}{2}t^2-5t=-20\)
\(-2\frac{1}{2}t^2-5t+20=0\)
\(t^2+2t-8=0\)
\((t+4)(t-2)=0\)
\(t=-4∨t=2\)

○

\(y(-4)=5\frac{1}{3}\text{,}\) dus \(t=-4\) geeft het punt \((-20, 5\frac{1}{3})\text{.}\)

○

\(y(2)=5\frac{1}{3}\text{,}\) dus \(t=2\) geeft ook het punt \((-20, 5\frac{1}{3})\text{,}\) dus de baan snijdt zichzelf in dat punt.

opgave 3

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=\frac{2}{3}t^3-2t \\ y(t)=-\frac{3}{4}t^2-3t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(x\text{-}\)as.

EvenwijdigMetAs (1)

00qq - Parameterkrommen - basis - 1ms

○

\(x'(t)=2t^2-2\)
\(y'(t)=-1\frac{1}{2}t-3\)

○

[Evenwijdig met de x-as, dus]
\(y'(t)=0\)
\(-1\frac{1}{2}t-3=0\)
\(-1\frac{1}{2}t=3\)
\(t=-2\)

○

\(x'(-2)=6≠0\text{,}\) dus voor \(t=-2\) is de baan evenwijdig aan de \(x\text{-}\)as in het punt \((-1\frac{1}{3}, 3)\text{.}\)

opgave 4

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=\frac{1}{3}t^3-4t \\ y(t)=-1\frac{1}{2}t^2+3t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

De baan snijdt zichzelf voor \(t=-2\) en voor \(t=4\) in het punt \((5\frac{1}{3}, -12)\text{.}\)

Bereken de hoek \(\varphi \) waaronder de baan zichzelf snijdt. Geef je antwoord in graden en rond af op één decimaal.

HoekInZelfsnijpunt

00qr - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

\(x'(t)=t^2-4\)
\(y'(t)=-3t+3\)

○

\(\overrightarrow{v}(-2)=\begin{pmatrix}x'(-2) \\ y'(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\ 9\end{pmatrix}\)

○

\(\overrightarrow{v}(4)=\begin{pmatrix}x'(4) \\ y'(4)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12 \\ -9\end{pmatrix}\)

○

\(\cos(\varphi )={\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 9\end{pmatrix}⋅\begin{pmatrix}12 \\ -9\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ 9\end{pmatrix}\end{vmatrix}⋅\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}12 \\ -9\end{pmatrix}\end{vmatrix}}={81 \over \sqrt{81}⋅\sqrt{225}}\)

○

\(\varphi =\cos^{-1}({81 \over \sqrt{81}⋅\sqrt{225}})≈53{,}1\degree\)

opgave 5

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=1\frac{3}{4}t^2-7t \\ y(t)=t^3-9t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(y\text{-}\)as.

SnijpuntenYas

00qs - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

Snijpunt met de \(y\text{-}\)as betekent \(x(t)=0\text{,}\) dit geeft
\(1\frac{3}{4}t^2-7t=0\)

○

[Oplossen geeft]
\(t^2-4t=0\)
\(t(t-4)=0\)
\(t=0∨t=4\)

○

[De snijpunten met de \(y\text{-}\)as zijn dan]
\(t=0\) geeft \(y(0)=0\text{,}\) dus \((0, 0)\)
\(t=4\) geeft \(y(4)=28\text{,}\) dus \((0, 28)\)

opgave 6

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=-t^3+3t \\ y(t)=-2\frac{1}{2}t^2+5t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(y\text{-}\)as.

EvenwijdigMetAs (2)

00qt - Parameterkrommen - basis - 0ms

○

\(x'(t)=-3t^2+3\)
\(y'(t)=-5t+5\)

○

[Evenwijdig met de y-as, dus]
\(x'(t)=0\)
\(-3t^2+3=0\)
\(t^2-1=0\)
\(t^2=1\)
\(t=-1∨t=1\)

○

\(y'(-1)=10≠0\text{,}\) dus voor \(t=-1\) is de baan evenwijdig aan de \(y\text{-}\)as in het punt \((-2, -7\frac{1}{2})\text{.}\)

○

\(y'(1)=0\text{,}\) dus voor \(t=1\) heeft de baan een keerpunt in het punt \((2, 2\frac{1}{2})\text{.}\) In de figuur is te zien dat de baan in het keerpunt niet evenwijdig is met de \(y\text{-}\)as.

opgave 7

De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t)=-2\frac{1}{4}t^2-9t \\ y(t)=t^3-9t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.

Stel een vergelijking op van de lijn \(l\) die de baan raakt in het punt met \(t=1\text{.}\)

RaaklijnOpstellen

00qu - Parameterkrommen - basis - 1ms

○

\(x'(t)=-4\frac{1}{2}t-9\)
\(y'(t)=3t^2-9\)

○

\(t=1\) geeft het punt \((-11\frac{1}{4}, -8)\text{.}\)

○

[Voor de richtingsvector van \(l\) geldt]
\(\overrightarrow{r}_l=\overrightarrow{v}(1)=\begin{pmatrix}x'(1) \\ y'(1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-13\frac{1}{2} \\ -6\end{pmatrix}\text{.}\)

○

[Hieruit volgt]
\(\overrightarrow{n}_l=\begin{pmatrix}6 \\ -13\frac{1}{2}\end{pmatrix}\text{,}\) dus \(l{:}\,6x-13\frac{1}{2}y=c\text{.}\)

○

\(\begin{rcases}l{:}\,6x-13\frac{1}{2}y=c \\ \text{door }(-11\frac{1}{4}, -8)\end{rcases}\begin{matrix}c=6⋅-11\frac{1}{4}-13\frac{1}{2}⋅-8=40\frac{1}{2}\end{matrix}\)
Dus een vergelijking van de raaklijn is \(l{:}\,13\frac{1}{2}x-6y=40\frac{1}{2}\text{.}\)