Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Kwadratische vergelijkingen'.

2 vwo 7.3 Kwadratische vergelijkingen

Kwadratische vergelijkingen (10)

opgave 1

Los exact op.

2p

a

\(x^2-11x+10=0\)

SomProductMethode
0005 - Kwadratische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

a

De som-productmethode geeft \((x-10)(x-1)=0\)

1p

Hieruit volgt \(x=10∨x=1\)

1p

2p

b

\((q-5)(q+5)=0\)

VermenigvuldigingIsNul (1)
0007 - Kwadratische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

b

\(q-5=0∨q+5=0\) dus \(q=5∨q=-5\)

2p

2p

c

\(q(q-9)=0\)

VermenigvuldigingIsNul (2)
0008 - Kwadratische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

c

\(q=0∨q-9=0\) dus \(q=0∨q=9\)

2p

3p

d

\(t^2-10t=5t-50\)

SomProductMethodeNaTermenNaarEenKant
0018 - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

d

Het rechterlid \(0\) maken geeft \(t^2-15t+50=0\)

1p

De som-productmethode geeft \((t-10)(t-5)=0\)

1p

Hieruit volgt \(t=10∨t=5\)

1p

opgave 2

Los exact op.

4p

a

\((t+6)(t-14)=-64\)

VermenigvuldigingIsNietNul (1)
0019 - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 1ms - dynamic variables

a

Haakjes uitwerken geeft \(t^2-8t-84=-64\)

1p

Het rechterlid \(0\) maken geeft \(t^2-8t-20=0\)

1p

De som-productmethode geeft \((t+2)(t-10)=0\)

1p

Hieruit volgt \(t=-2∨t=10\)

1p

4p

b

\(x(x+7)=9x+15\)

VermenigvuldigingIsNietNul (2)
001a - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

b

Haakjes uitwerken geeft \(x^2+7x=9x+15\)

1p

Het rechterlid \(0\) maken geeft \(x^2-2x-15=0\)

1p

De som-productmethode geeft \((x-5)(x+3)=0\)

1p

Hieruit volgt \(x=5∨x=-3\)

1p

2p

c

\(t^2-18t=0\)

XBuitenDeHaakjes
001g - Kwadratische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

c

\(t\) buiten de haakjes halen geeft \(t(t-18)=0\)

1p

Dus \(t=0∨t=18\)

1p

3p

d

\(q^2=-17q\)

XBuitenDeHaakjesNaTermenNaarEenKant (1)
001h - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

d

Het rechterlid \(0\) maken geeft \(q^2+17q=0\)

1p

\(q\) buiten de haakjes halen geeft \(q(q+17)=0\)

1p

Dus \(q=0∨q=-17\)

1p

opgave 3

Los exact op.

2p

a

\(x^2-20x+100=0\)

DubbelNulpunt
001j - Kwadratische vergelijkingen - pro - 0ms - dynamic variables

a

De som-productmethode geeft \((x-10)^2=0\)

1p

Dus \(x=10\)

1p

3p

b

\(x^2+9=14x+9\)

XBuitenDeHaakjesNaTermenNaarEenKant (2)
001q - Kwadratische vergelijkingen - pro - 0ms - dynamic variables

b

Het rechterlid \(0\) maken geeft \(x^2-14x=0\)

1p

\(x\) buiten de haakjes halen geeft \(x(x-14)=0\)

1p

Dus \(x=0∨x=14\)

1p

2 vwo 7.4 Oplosmethoden

Kwadratische vergelijkingen (5)

opgave 1

Los exact op.

2p

a

\(q^2=4\)

KwadraatMetGeheleOplossing
0003 - Kwadratische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

a

Aan beide kanten de wortel nemen geeft \(q=2∨q=-2\)

2p

2p

b

\(q^2=-5\)

KwadraatZonderOplossing
0004 - Kwadratische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

b

Geen oplossingen.

2p

3p

c

\(5x^2=5\)

KwadraatMetGeheleOplossingNaDeling
001b - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

c

Delen door \(5\) geeft \(x^2=1\)

1p

Aan beide kanten de wortel nemen geeft \(x=1∨x=-1\)

2p

4p

d

\(5x^2+7=132\)

KwadraatMetGeheleOplossingNaDelingEnAftrekken
001c - Kwadratische vergelijkingen - pro - 0ms - dynamic variables

d

Aan beide zijden \(7\) aftrekken geeft \(5x^2=125\)

1p

Delen door \(5\) geeft \(x^2=25\)

1p

Aan beide kanten de wortel nemen geeft \(x=5∨x=-5\)

2p

opgave 2

Los exact op.

2p

\(t^2=2\)

KwadraatMetIrrationeleOplossing
001v - Kwadratische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

Aan beide kanten de wortel nemen geeft \(t=\sqrt{2}∨t=-\sqrt{2}\)

2p

3 vwo 3.1 Kwadratische vergelijkingen

Kwadratische vergelijkingen (6)

opgave 1

Los exact op.

3p

a

\(2t^2-24t+54=0\)

SomProductMethodeNaDeling
0006 - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

a

Delen door \(2\) geeft \(t^2-12t+27=0\)

1p

De som-productmethode geeft \((t-9)(t-3)=0\)

1p

Hieruit volgt \(t=9∨t=3\)

1p

2p

b

\((x-8)^2=9\)

SamengesteldKwadraat
001d - Kwadratische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

b

De wortel nemen geeft \(x-8=3∨x-8=-3\)

1p

Dus \(x=11∨x=5\)

1p

3p

c

\(5(x-10)^2=180\)

SamengesteldKwadraatNaDeling
001e - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

c

Delen door \(5\) geeft \((x-10)^2=36\)

1p

De wortel nemen geeft \(x-10=6∨x-10=-6\)

1p

Dus \(x=16∨x=4\)

1p

4p

d

\(2(q-3)^2-3=125\)

SamengesteldKwadraatNaDelingEnOptellen
001f - Kwadratische vergelijkingen - pro - 0ms - dynamic variables

d

Aan beide zijden \(3\) optellen geeft \(2(q-3)^2=128\)

1p

Delen door \(2\) geeft \((q-3)^2=64\)

1p

De wortel nemen geeft \(q-3=8∨q-3=-8\)

1p

Dus \(q=11∨q=-5\)

1p

opgave 2

Los exact op.

2p

a

\((x+\frac{7}{12})^2=81\)

SamengesteldKwadraatMetBreuk
001w - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 1ms - dynamic variables

a

De wortel nemen geeft \(x+\frac{7}{12}=9∨x+\frac{7}{12}=-9\)

1p

Dus \(x=8\frac{5}{12}∨x=-9\frac{7}{12}\)

1p

2p

b

\((x-10)^2=66\)

SamengesteldKwadraatMetWortel
001x - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 1ms - dynamic variables

b

De wortel nemen geeft \(x-10=\sqrt{66}∨x-10=-\sqrt{66}\)

1p

Dus \(x=10+\sqrt{66}∨x=10-\sqrt{66}\)

1p

3 vwo 3.5 De abc-formule

Kwadratische vergelijkingen (10)

opgave 1

Los exact op.

2p

a

\(t^2+17t-28=0\)

AbcFormuleMetIrrationaleOplossingen (1)
001k - Kwadratische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

a

De discriminant is gelijk aan \(D=17^2-4⋅1⋅-28=401\)

1p

Dus \(t={-17+\sqrt{401} \over 2}≈1{,}51∨t={-17-\sqrt{401} \over 2}≈-18{,}51\)

1p

2p

b

\(2t^2+3t-35=0\)

AbcFormuleMetRationaleOplossingen (1)
001l - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

b

De discriminant is gelijk aan \(D=3^2-4⋅2⋅-35=289\) dus \(\sqrt{D}=\sqrt{289}=17\)

1p

Dus \(t={-3+17 \over 4}=3\frac{1}{2}∨t={-3-17 \over 4}=-5\)

1p

2p

c

\(x^2-5x+9=0\)

AbcFormuleZonderOplossingen (1)
001m - Kwadratische vergelijkingen - basis - 8ms - data pool: #4204 (7ms) - dynamic variables

c

De discriminant is gelijk aan \(D=(-5)^2-4⋅1⋅9=-11\)

1p

Er zijn dus geen oplossingen.

1p

2p

d

\(5t^2+3t+10=0\)

AbcFormuleZonderOplossingen (2)
001n - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 1ms - data pool: #4204 (7ms) - dynamic variables

d

De discriminant is gelijk aan \(D=3^2-4⋅5⋅10=-191\)

1p

Er zijn dus geen oplossingen.

1p

opgave 2

Los exact op.

2p

a

\(2x^2+7x-32=0\)

AbcFormuleMetIrrationaleOplossingen (2)
001o - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 1ms - dynamic variables

a

De discriminant is gelijk aan \(D=7^2-4⋅2⋅-32=305\)

1p

Dus \(x={-7+\sqrt{305} \over 4}≈2{,}62∨x={-7-\sqrt{305} \over 4}≈-6{,}12\)

1p

3p

b

\(5x^2+2x=18x+28\)

AbcFormuleMetIrrationaleOplossingenNaTermenNaarEenKant
001p - Kwadratische vergelijkingen - pro - 1ms - dynamic variables

b

Het rechterlid \(0\) maken geeft \(5x^2-16x-28=0\)

1p

De discriminant is gelijk aan \(D=(-16)^2-4⋅5⋅-28=816\)

1p

Dus \(x={16+\sqrt{816} \over 10}≈4{,}46∨x={16-\sqrt{816} \over 10}≈-1{,}26\)

1p

3p

c

\(4q^2+31q=12q-49\)

AbcFormuleZonderOplossingenNaTermenNaarEenKant
001r - Kwadratische vergelijkingen - pro - 1ms - data pool: #4204 (7ms) - dynamic variables

c

Het rechterlid \(0\) maken geeft \(4q^2+19q+49=0\)

1p

De discriminant is gelijk aan \(D=19^2-4⋅4⋅49=-423\)

1p

Er zijn dus geen oplossingen.

1p

2p

d

\(5x^2-9x+4=0\)

AbcFormuleMetRationaleOplossingen (2)
001s - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

d

De discriminant is gelijk aan \(D=(-9)^2-4⋅5⋅4=1\) dus \(\sqrt{D}=\sqrt{1}=1\)

1p

Dus \(x={9+1 \over 10}=1∨x={9-1 \over 10}=\frac{4}{5}\)

1p

opgave 3

Los exact op.

2p

a

\(x^2-3\frac{1}{3}x-16=0\)

AbcFormuleMetRationaleOplossingen (3)
001t - Kwadratische vergelijkingen - pro - 0ms - dynamic variables

a

De discriminant is gelijk aan \(D=(-3\frac{1}{3})^2-4⋅1⋅-16=\frac{676}{9}\) dus \(\sqrt{D}=\sqrt{\frac{676}{9}}=\frac{26}{3}\)

1p

Dus \(x={3\frac{1}{3}+\frac{26}{3} \over 2}=6∨x={3\frac{1}{3}-\frac{26}{3} \over 2}=-2\frac{2}{3}\)

1p

2p

b

\(x^2-6\frac{2}{3}x+8\frac{1}{3}=0\)

AbcFormuleMetRationaleOplossingen (4)
001u - Kwadratische vergelijkingen - pro - 0ms - dynamic variables

b

De discriminant is gelijk aan \(D=(-6\frac{2}{3})^2-4⋅1⋅8\frac{1}{3}=\frac{100}{9}\) dus \(\sqrt{D}=\sqrt{\frac{100}{9}}=\frac{10}{3}\)

1p

Dus \(x={6\frac{2}{3}+\frac{10}{3} \over 2}=5∨x={6\frac{2}{3}-\frac{10}{3} \over 2}=1\frac{2}{3}\)

1p

"