Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Kwadratische vergelijkingen'.

2 vwo 7.3 Kwadratische vergelijkingen

Kwadratische vergelijkingen (10)

opgave 1

Los exact op.

2p

a

\(q^2+12q-28=0\)

SomProductMethode
0005 - Kwadratische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

a

De som-productmethode geeft \((q-2)(q+14)=0\)

1p

Hieruit volgt \(q=2∨q=-14\)

1p

2p

b

\((x-6)(x+3)=0\)

VermenigvuldigingIsNul (1)
0007 - Kwadratische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

b

\(x-6=0∨x+3=0\) dus \(x=6∨x=-3\)

2p

2p

c

\(x(x+2)=0\)

VermenigvuldigingIsNul (2)
0008 - Kwadratische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

c

\(x=0∨x+2=0\) dus \(x=0∨x=-2\)

2p

3p

d

\(x^2+11x=9x+15\)

SomProductMethodeNaTermenNaarEenKant
0018 - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

d

Het rechterlid \(0\) maken geeft \(x^2+2x-15=0\)

1p

De som-productmethode geeft \((x-3)(x+5)=0\)

1p

Hieruit volgt \(x=3∨x=-5\)

1p

opgave 2

Los exact op.

4p

a

\((x-3)(x-7)=12\)

VermenigvuldigingIsNietNul (1)
0019 - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 1ms - dynamic variables

a

Haakjes uitwerken geeft \(x^2-10x+21=12\)

1p

Het rechterlid \(0\) maken geeft \(x^2-10x+9=0\)

1p

De som-productmethode geeft \((x-9)(x-1)=0\)

1p

Hieruit volgt \(x=9∨x=1\)

1p

4p

b

\(x(x+14)=2x+28\)

VermenigvuldigingIsNietNul (2)
001a - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

b

Haakjes uitwerken geeft \(x^2+14x=2x+28\)

1p

Het rechterlid \(0\) maken geeft \(x^2+12x-28=0\)

1p

De som-productmethode geeft \((x-2)(x+14)=0\)

1p

Hieruit volgt \(x=2∨x=-14\)

1p

2p

c

\(q^2+14q=0\)

XBuitenDeHaakjes
001g - Kwadratische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

c

\(q\) buiten de haakjes halen geeft \(q(q+14)=0\)

1p

Dus \(q=0∨q=-14\)

1p

3p

d

\(t^2=12t\)

XBuitenDeHaakjesNaTermenNaarEenKant (1)
001h - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

d

Het rechterlid \(0\) maken geeft \(t^2-12t=0\)

1p

\(t\) buiten de haakjes halen geeft \(t(t-12)=0\)

1p

Dus \(t=0∨t=12\)

1p

opgave 3

Los exact op.

2p

a

\(q^2-12q+36=0\)

DubbelNulpunt
001j - Kwadratische vergelijkingen - pro - 0ms - dynamic variables

a

De som-productmethode geeft \((q-6)^2=0\)

1p

Dus \(q=6\)

1p

3p

b

\(t^2+3=4t+3\)

XBuitenDeHaakjesNaTermenNaarEenKant (2)
001q - Kwadratische vergelijkingen - pro - 0ms - dynamic variables

b

Het rechterlid \(0\) maken geeft \(t^2-4t=0\)

1p

\(t\) buiten de haakjes halen geeft \(t(t-4)=0\)

1p

Dus \(t=0∨t=4\)

1p

2 vwo 7.4 Oplosmethoden

Kwadratische vergelijkingen (5)

opgave 1

Los exact op.

2p

a

\(t^2=100\)

KwadraatMetGeheleOplossing
0003 - Kwadratische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

a

Aan beide kanten de wortel nemen geeft \(t=10∨t=-10\)

2p

2p

b

\(t^2=-4\)

KwadraatZonderOplossing
0004 - Kwadratische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

b

Geen oplossingen.

2p

3p

c

\(2x^2=50\)

KwadraatMetGeheleOplossingNaDeling
001b - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

c

Delen door \(2\) geeft \(x^2=25\)

1p

Aan beide kanten de wortel nemen geeft \(x=5∨x=-5\)

2p

4p

d

\(2q^2+7=9\)

KwadraatMetGeheleOplossingNaDelingEnAftrekken
001c - Kwadratische vergelijkingen - pro - 0ms - dynamic variables

d

Aan beide zijden \(7\) aftrekken geeft \(2q^2=2\)

1p

Delen door \(2\) geeft \(q^2=1\)

1p

Aan beide kanten de wortel nemen geeft \(q=1∨q=-1\)

2p

opgave 2

Los exact op.

2p

\(x^2=95\)

KwadraatMetIrrationeleOplossing
001v - Kwadratische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

Aan beide kanten de wortel nemen geeft \(x=\sqrt{95}∨x=-\sqrt{95}\)

2p

3 vwo 3.1 Kwadratische vergelijkingen

Kwadratische vergelijkingen (6)

opgave 1

Los exact op.

3p

a

\(5x^2-40x-100=0\)

SomProductMethodeNaDeling
0006 - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

a

Delen door \(5\) geeft \(x^2-8x-20=0\)

1p

De som-productmethode geeft \((x-10)(x+2)=0\)

1p

Hieruit volgt \(x=10∨x=-2\)

1p

2p

b

\((t-8)^2=25\)

SamengesteldKwadraat
001d - Kwadratische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

b

De wortel nemen geeft \(t-8=5∨t-8=-5\)

1p

Dus \(t=13∨t=3\)

1p

3p

c

\(2(t-8)^2=18\)

SamengesteldKwadraatNaDeling
001e - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

c

Delen door \(2\) geeft \((t-8)^2=9\)

1p

De wortel nemen geeft \(t-8=3∨t-8=-3\)

1p

Dus \(t=11∨t=5\)

1p

4p

d

\(2(t-4)^2-9=153\)

SamengesteldKwadraatNaDelingEnOptellen
001f - Kwadratische vergelijkingen - pro - 0ms - dynamic variables

d

Aan beide zijden \(9\) optellen geeft \(2(t-4)^2=162\)

1p

Delen door \(2\) geeft \((t-4)^2=81\)

1p

De wortel nemen geeft \(t-4=9∨t-4=-9\)

1p

Dus \(t=13∨t=-5\)

1p

opgave 2

Los exact op.

2p

a

\((q+\frac{9}{11})^2=1\)

SamengesteldKwadraatMetBreuk
001w - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 1ms - dynamic variables

a

De wortel nemen geeft \(q+\frac{9}{11}=1∨q+\frac{9}{11}=-1\)

1p

Dus \(q=\frac{2}{11}∨q=-1\frac{9}{11}\)

1p

2p

b

\((q-8)^2=91\)

SamengesteldKwadraatMetWortel
001x - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 1ms - dynamic variables

b

De wortel nemen geeft \(q-8=\sqrt{91}∨q-8=-\sqrt{91}\)

1p

Dus \(q=8+\sqrt{91}∨q=8-\sqrt{91}\)

1p

3 vwo 3.5 De abc-formule

Kwadratische vergelijkingen (10)

opgave 1

Los exact op.

2p

a

\(x^2+20x-36=0\)

AbcFormuleMetIrrationaleOplossingen (1)
001k - Kwadratische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

a

De discriminant is gelijk aan \(D=20^2-4⋅1⋅-36=544\)

1p

Dus \(x={-20+\sqrt{544} \over 2}≈1{,}66∨x={-20-\sqrt{544} \over 2}≈-21{,}66\)

1p

2p

b

\(2x^2+19x+9=0\)

AbcFormuleMetRationaleOplossingen (1)
001l - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

b

De discriminant is gelijk aan \(D=19^2-4⋅2⋅9=289\) dus \(\sqrt{D}=\sqrt{289}=17\)

1p

Dus \(x={-19+17 \over 4}=-\frac{1}{2}∨x={-19-17 \over 4}=-9\)

1p

2p

c

\(x^2+x+81=0\)

AbcFormuleZonderOplossingen (1)
001m - Kwadratische vergelijkingen - basis - 8ms - data pool: #4204 (7ms) - dynamic variables

c

De discriminant is gelijk aan \(D=1^2-4⋅1⋅81=-323\)

1p

Er zijn dus geen oplossingen.

1p

2p

d

\(2q^2+9q+40=0\)

AbcFormuleZonderOplossingen (2)
001n - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 1ms - data pool: #4204 (7ms) - dynamic variables

d

De discriminant is gelijk aan \(D=9^2-4⋅2⋅40=-239\)

1p

Er zijn dus geen oplossingen.

1p

opgave 2

Los exact op.

2p

a

\(5t^2-6t-24=0\)

AbcFormuleMetIrrationaleOplossingen (2)
001o - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 1ms - dynamic variables

a

De discriminant is gelijk aan \(D=(-6)^2-4⋅5⋅-24=516\)

1p

Dus \(t={6+\sqrt{516} \over 10}≈2{,}87∨t={6-\sqrt{516} \over 10}≈-1{,}67\)

1p

3p

b

\(5t^2+27t=13t+81\)

AbcFormuleMetIrrationaleOplossingenNaTermenNaarEenKant
001p - Kwadratische vergelijkingen - pro - 1ms - dynamic variables

b

Het rechterlid \(0\) maken geeft \(5t^2+14t-81=0\)

1p

De discriminant is gelijk aan \(D=14^2-4⋅5⋅-81=1\,816\)

1p

Dus \(t={-14+\sqrt{1\,816} \over 10}≈2{,}86∨t={-14-\sqrt{1\,816} \over 10}≈-5{,}66\)

1p

3p

c

\(3x^2+32x=13x-35\)

AbcFormuleZonderOplossingenNaTermenNaarEenKant
001r - Kwadratische vergelijkingen - pro - 1ms - data pool: #4204 (7ms) - dynamic variables

c

Het rechterlid \(0\) maken geeft \(3x^2+19x+35=0\)

1p

De discriminant is gelijk aan \(D=19^2-4⋅3⋅35=-59\)

1p

Er zijn dus geen oplossingen.

1p

2p

d

\(4x^2+13x-35=0\)

AbcFormuleMetRationaleOplossingen (2)
001s - Kwadratische vergelijkingen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

d

De discriminant is gelijk aan \(D=13^2-4⋅4⋅-35=729\) dus \(\sqrt{D}=\sqrt{729}=27\)

1p

Dus \(x={-13+27 \over 8}=1\frac{3}{4}∨x={-13-27 \over 8}=-5\)

1p

opgave 3

Los exact op.

2p

a

\(x^2+6\frac{1}{3}x+10=0\)

AbcFormuleMetRationaleOplossingen (3)
001t - Kwadratische vergelijkingen - pro - 0ms - dynamic variables

a

De discriminant is gelijk aan \(D=6\frac{1}{3}^2-4⋅1⋅10=\frac{1}{9}\) dus \(\sqrt{D}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}\)

1p

Dus \(x={-6\frac{1}{3}+\frac{1}{3} \over 2}=-3∨x={-6\frac{1}{3}-\frac{1}{3} \over 2}=-3\frac{1}{3}\)

1p

2p

b

\(q^2-4\frac{1}{3}q+1\frac{1}{3}=0\)

AbcFormuleMetRationaleOplossingen (4)
001u - Kwadratische vergelijkingen - pro - 0ms - dynamic variables

b

De discriminant is gelijk aan \(D=(-4\frac{1}{3})^2-4⋅1⋅1\frac{1}{3}=\frac{121}{9}\) dus \(\sqrt{D}=\sqrt{\frac{121}{9}}=\frac{11}{3}\)

1p

Dus \(q={4\frac{1}{3}+\frac{11}{3} \over 2}=4∨q={4\frac{1}{3}-\frac{11}{3} \over 2}=\frac{1}{3}\)

1p

"