Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Goniometrische vergelijkingen'.

vwo wiskunde B 8.3 Goniometrische vergelijkingen

Goniometrische vergelijkingen (7)

opgave 1

Bereken zo mogelijk exact de oplossingen in \([0, 2\pi ]\text{.}\)

3p

a

\(\cos(\frac{3}{4}x-\frac{5}{6}\pi )=0\)

ExacteWaarde (0)
004f - Goniometrische vergelijkingen - basis - 41ms - dynamic variables

a

De exacte waardencirkel geeft
\(\frac{3}{4}x-\frac{5}{6}\pi =\frac{1}{2}\pi +k⋅\pi \)

1p

○

\(\frac{3}{4}x=1\frac{1}{3}\pi +k⋅\pi \)
\(x=1\frac{7}{9}\pi +k⋅1\frac{1}{3}\pi \)

1p

○

\(x\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(x=1\frac{7}{9}\pi ∨x=\frac{4}{9}\pi \)

1p

4p

b

\(2\sin(3x+\frac{1}{6}\pi )=-1\)

ExacteWaarde (1)
004g - Goniometrische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

b

Balansmethode geeft \(\sin(3x+\frac{1}{6}\pi )=-\frac{1}{2}\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(3x+\frac{1}{6}\pi =-\frac{1}{6}\pi +k⋅2\pi ∨3x+\frac{1}{6}\pi =-\frac{5}{6}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(3x=-\frac{1}{3}\pi +k⋅2\pi ∨3x=-\pi +k⋅2\pi \)
\(x=-\frac{1}{9}\pi +k⋅\frac{2}{3}\pi ∨x=-\frac{1}{3}\pi +k⋅\frac{2}{3}\pi \)

1p

○

\(x\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(x=\frac{5}{9}\pi ∨x=1\frac{2}{9}\pi ∨x=1\frac{8}{9}\pi ∨x=\frac{1}{3}\pi ∨x=\pi ∨x=1\frac{2}{3}\pi \)

1p

4p

c

\(-3\sin(\frac{1}{3}\pi x-\frac{3}{4}\pi )=1\frac{1}{2}\sqrt{2}\)

ExacteWaarde (2)
004h - Goniometrische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

c

Balansmethode geeft \(\sin(\frac{1}{3}\pi x-\frac{3}{4}\pi )=-\frac{1}{2}\sqrt{2}\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(\frac{1}{3}\pi x-\frac{3}{4}\pi =1\frac{1}{4}\pi +k⋅2\pi ∨\frac{1}{3}\pi x-\frac{3}{4}\pi =1\frac{3}{4}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(\frac{1}{3}\pi x=2\pi +k⋅2\pi ∨\frac{1}{3}\pi x=2\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi \)
\(x=6+k⋅6∨x=7\frac{1}{2}+k⋅6\)

1p

○

\(x\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(x=6∨x=0∨x=1\frac{1}{2}\)

1p

4p

d

\(5\sin(\frac{1}{2}t+\frac{2}{3}\pi )=-2\frac{1}{2}\sqrt{3}\)

ExacteWaarde (3)
006x - Goniometrische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

d

Balansmethode geeft \(\sin(\frac{1}{2}t+\frac{2}{3}\pi )=-\frac{1}{2}\sqrt{3}\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(\frac{1}{2}t+\frac{2}{3}\pi =-\frac{1}{3}\pi +k⋅2\pi ∨\frac{1}{2}t+\frac{2}{3}\pi =-\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(\frac{1}{2}t=-\pi +k⋅2\pi ∨\frac{1}{2}t=-1\frac{1}{3}\pi +k⋅2\pi \)
\(t=-2\pi +k⋅4\pi ∨t=-2\frac{2}{3}\pi +k⋅4\pi \)

1p

○

\(t\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(t=2\pi ∨t=1\frac{1}{3}\pi \)

1p

opgave 2

Bereken zo mogelijk exact de oplossingen in \([0, 2\pi ]\text{.}\)

4p

\(-1-2\sin(4q+\frac{1}{2}\pi )=-3\)

ExacteWaarde (4)
006y - Goniometrische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

○

Balansmethode geeft \(-2\sin(4q+\frac{1}{2}\pi )=-2\) dus \(\sin(4q+\frac{1}{2}\pi )=1\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(4q+\frac{1}{2}\pi =\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(4q=k⋅2\pi \)
\(q=k⋅\frac{1}{2}\pi \)

1p

○

\(q\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(q=0∨q=\frac{1}{2}\pi ∨q=\pi ∨q=1\frac{1}{2}\pi ∨q=2\pi \)

1p

opgave 3

Los exact op.

3p

a

\(\cos^2(3x-\frac{1}{2}\pi )=1\)

Kwadraat
006z - Goniometrische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

a

\(\cos(3x-\frac{1}{2}\pi )=1∨\cos(3x-\frac{1}{2}\pi )=-1\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(3x-\frac{1}{2}\pi =k⋅2\pi ∨3x-\frac{1}{2}\pi =\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(3x=\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi ∨3x=1\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi \)
\(x=\frac{1}{6}\pi +k⋅\frac{2}{3}\pi ∨x=\frac{1}{2}\pi +k⋅\frac{2}{3}\pi \)

1p

3p

b

\(\frac{2}{7}\cos(\frac{2}{3}x-\frac{3}{4}\pi )\cos(1\frac{1}{2}x+\frac{2}{5}\pi )=0\)

ProductIsNul
0070 - Goniometrische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

b

\(\cos(\frac{2}{3}x-\frac{3}{4}\pi )=0∨\cos(1\frac{1}{2}x+\frac{2}{5}\pi )=0\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(\frac{2}{3}x-\frac{3}{4}\pi =\frac{1}{2}\pi +k⋅\pi ∨1\frac{1}{2}x+\frac{2}{5}\pi =\frac{1}{2}\pi +k⋅\pi \)

1p

○

\(\frac{2}{3}x=1\frac{1}{4}\pi +k⋅\pi ∨1\frac{1}{2}x=\frac{1}{10}\pi +k⋅\pi \)
\(x=1\frac{7}{8}\pi +k⋅1\frac{1}{2}\pi ∨x=\frac{1}{15}\pi +k⋅\frac{2}{3}\pi \)

1p
"