Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Goniometrische vergelijkingen'.

vwo wiskunde B 8.3 Goniometrische vergelijkingen

Goniometrische vergelijkingen (7)

opgave 1

Bereken zo mogelijk exact de oplossingen in \([0, 2\pi ]\text{.}\)

3p

a

\(\cos(\frac{2}{3}\pi x-\frac{1}{6}\pi )=0\)

ExacteWaarde (0)
004f - Goniometrische vergelijkingen - basis - 52ms - dynamic variables

a

De exacte waardencirkel geeft
\(\frac{2}{3}\pi x-\frac{1}{6}\pi =\frac{1}{2}\pi +k⋅\pi \)

1p

○

\(\frac{2}{3}\pi x=\frac{2}{3}\pi +k⋅\pi \)
\(x=1+k⋅1\frac{1}{2}\)

1p

○

\(x\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(x=1∨x=2\frac{1}{2}∨x=4∨x=5\frac{1}{2}\)

1p

4p

b

\(2\cos(1\frac{1}{2}t-\frac{2}{3}\pi )=-1\)

ExacteWaarde (1)
004g - Goniometrische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

b

Balansmethode geeft \(\cos(1\frac{1}{2}t-\frac{2}{3}\pi )=-\frac{1}{2}\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(1\frac{1}{2}t-\frac{2}{3}\pi =\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi ∨1\frac{1}{2}t-\frac{2}{3}\pi =-\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(1\frac{1}{2}t=1\frac{1}{3}\pi +k⋅2\pi ∨1\frac{1}{2}t=k⋅2\pi \)
\(t=\frac{8}{9}\pi +k⋅1\frac{1}{3}\pi ∨t=k⋅1\frac{1}{3}\pi \)

1p

○

\(t\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(t=\frac{8}{9}\pi ∨t=0∨t=1\frac{1}{3}\pi \)

1p

4p

c

\(3\sin(2x)=1\frac{1}{2}\sqrt{2}\)

ExacteWaarde (2)
004h - Goniometrische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

c

Balansmethode geeft \(\sin(2x)=\frac{1}{2}\sqrt{2}\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(2x=\frac{1}{4}\pi +k⋅2\pi ∨2x=\frac{3}{4}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(2x=\frac{1}{4}\pi +k⋅2\pi ∨2x=\frac{3}{4}\pi +k⋅2\pi \)
\(x=\frac{1}{8}\pi +k⋅\pi ∨x=\frac{3}{8}\pi +k⋅\pi \)

1p

○

\(x\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(x=\frac{1}{8}\pi ∨x=1\frac{1}{8}\pi ∨x=\frac{3}{8}\pi ∨x=1\frac{3}{8}\pi \)

1p

4p

d

\(5\cos(3x-\frac{1}{2}\pi )=-2\frac{1}{2}\sqrt{3}\)

ExacteWaarde (3)
006x - Goniometrische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

d

Balansmethode geeft \(\cos(3x-\frac{1}{2}\pi )=-\frac{1}{2}\sqrt{3}\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(3x-\frac{1}{2}\pi =\frac{5}{6}\pi +k⋅2\pi ∨3x-\frac{1}{2}\pi =-\frac{5}{6}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(3x=1\frac{1}{3}\pi +k⋅2\pi ∨3x=-\frac{1}{3}\pi +k⋅2\pi \)
\(x=\frac{4}{9}\pi +k⋅\frac{2}{3}\pi ∨x=-\frac{1}{9}\pi +k⋅\frac{2}{3}\pi \)

1p

○

\(x\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(x=\frac{4}{9}\pi ∨x=1\frac{1}{9}\pi ∨x=1\frac{7}{9}\pi ∨x=\frac{5}{9}\pi ∨x=1\frac{2}{9}\pi ∨x=1\frac{8}{9}\pi \)

1p

opgave 2

Bereken zo mogelijk exact de oplossingen in \([0, 2\pi ]\text{.}\)

4p

\(2+4\cos(3x-\frac{1}{4}\pi )=6\)

ExacteWaarde (4)
006y - Goniometrische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

○

Balansmethode geeft \(4\cos(3x-\frac{1}{4}\pi )=4\) dus \(\cos(3x-\frac{1}{4}\pi )=1\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(3x-\frac{1}{4}\pi =k⋅2\pi \)

1p

○

\(3x=\frac{1}{4}\pi +k⋅2\pi \)
\(x=\frac{1}{12}\pi +k⋅\frac{2}{3}\pi \)

1p

○

\(x\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(x=\frac{1}{12}\pi ∨x=\frac{3}{4}\pi ∨x=1\frac{5}{12}\pi \)

1p

opgave 3

Los exact op.

3p

a

\(\sin^2(3t-\frac{5}{6}\pi )=1\)

Kwadraat
006z - Goniometrische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

a

\(\sin(3t-\frac{5}{6}\pi )=1∨\sin(3t-\frac{5}{6}\pi )=-1\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(3t-\frac{5}{6}\pi =\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi ∨3t-\frac{5}{6}\pi =1\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(3t=1\frac{1}{3}\pi +k⋅2\pi ∨3t=2\frac{1}{3}\pi +k⋅2\pi \)
\(t=\frac{4}{9}\pi +k⋅\frac{2}{3}\pi ∨t=\frac{7}{9}\pi +k⋅\frac{2}{3}\pi \)

1p

3p

b

\(1\frac{2}{3}\sin(4x+\frac{2}{3}\pi )\cos(2x+\frac{1}{2}\pi )=0\)

ProductIsNul
0070 - Goniometrische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

b

\(\sin(4x+\frac{2}{3}\pi )=0∨\cos(2x+\frac{1}{2}\pi )=0\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(4x+\frac{2}{3}\pi =k⋅\pi ∨2x+\frac{1}{2}\pi =\frac{1}{2}\pi +k⋅\pi \)

1p

○

\(4x=-\frac{2}{3}\pi +k⋅\pi ∨2x=k⋅\pi \)
\(x=-\frac{1}{6}\pi +k⋅\frac{1}{4}\pi ∨x=k⋅\frac{1}{2}\pi \)

1p
"