Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Goniometrische vergelijkingen'.

vwo wiskunde B 8.3 Goniometrische vergelijkingen

Goniometrische vergelijkingen (7)

opgave 1

Bereken zo mogelijk exact de oplossingen in \([0, 2\pi ]\text{.}\)

3p

a

\(\sin(2t-\frac{3}{5}\pi )=0\)

ExacteWaarde (0)
004f - Goniometrische vergelijkingen - basis - 41ms - dynamic variables

a

De exacte waardencirkel geeft
\(2t-\frac{3}{5}\pi =k⋅\pi \)

1p

○

\(2t=\frac{3}{5}\pi +k⋅\pi \)
\(t=\frac{3}{10}\pi +k⋅\frac{1}{2}\pi \)

1p

○

\(t\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(t=\frac{3}{10}\pi ∨t=\frac{4}{5}\pi ∨t=1\frac{3}{10}\pi ∨t=1\frac{4}{5}\pi \)

1p

4p

b

\(4\cos(\frac{1}{3}\pi q-\frac{1}{3}\pi )=-2\)

ExacteWaarde (1)
004g - Goniometrische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

b

Balansmethode geeft \(\cos(\frac{1}{3}\pi q-\frac{1}{3}\pi )=-\frac{1}{2}\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(\frac{1}{3}\pi q-\frac{1}{3}\pi =\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi ∨\frac{1}{3}\pi q-\frac{1}{3}\pi =-\frac{2}{3}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(\frac{1}{3}\pi q=\pi +k⋅2\pi ∨\frac{1}{3}\pi q=-\frac{1}{3}\pi +k⋅2\pi \)
\(q=3+k⋅6∨q=-1+k⋅6\)

1p

○

\(q\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(q=3∨q=5\)

1p

4p

c

\(5\sin(\frac{3}{4}t-\frac{1}{2}\pi )=2\frac{1}{2}\sqrt{2}\)

ExacteWaarde (2)
004h - Goniometrische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

c

Balansmethode geeft \(\sin(\frac{3}{4}t-\frac{1}{2}\pi )=\frac{1}{2}\sqrt{2}\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(\frac{3}{4}t-\frac{1}{2}\pi =\frac{1}{4}\pi +k⋅2\pi ∨\frac{3}{4}t-\frac{1}{2}\pi =\frac{3}{4}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(\frac{3}{4}t=\frac{3}{4}\pi +k⋅2\pi ∨\frac{3}{4}t=1\frac{1}{4}\pi +k⋅2\pi \)
\(t=\pi +k⋅2\frac{2}{3}\pi ∨t=1\frac{2}{3}\pi +k⋅2\frac{2}{3}\pi \)

1p

○

\(t\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(t=\pi ∨t=1\frac{2}{3}\pi \)

1p

4p

d

\(-3\cos(\frac{2}{5}x-\frac{1}{6}\pi )=-1\frac{1}{2}\sqrt{3}\)

ExacteWaarde (3)
006x - Goniometrische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

d

Balansmethode geeft \(\cos(\frac{2}{5}x-\frac{1}{6}\pi )=\frac{1}{2}\sqrt{3}\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(\frac{2}{5}x-\frac{1}{6}\pi =\frac{1}{6}\pi +k⋅2\pi ∨\frac{2}{5}x-\frac{1}{6}\pi =-\frac{1}{6}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(\frac{2}{5}x=\frac{1}{3}\pi +k⋅2\pi ∨\frac{2}{5}x=k⋅2\pi \)
\(x=\frac{5}{6}\pi +k⋅5\pi ∨x=k⋅5\pi \)

1p

○

\(x\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(x=\frac{5}{6}\pi ∨x=0\)

1p

opgave 2

Bereken zo mogelijk exact de oplossingen in \([0, 2\pi ]\text{.}\)

4p

\(2+4\sin(1\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}\pi )=-2\)

ExacteWaarde (4)
006y - Goniometrische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

○

Balansmethode geeft \(4\sin(1\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}\pi )=-4\) dus \(\sin(1\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}\pi )=-1\text{.}\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(1\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}\pi =1\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(1\frac{1}{2}x=2\frac{1}{4}\pi +k⋅2\pi \)
\(x=1\frac{1}{2}\pi +k⋅1\frac{1}{3}\pi \)

1p

○

\(x\) in \([0, 2\pi ]\) geeft \(x=1\frac{1}{2}\pi ∨x=\frac{1}{6}\pi \)

1p

opgave 3

Los exact op.

3p

a

\(\sin^2(4x+\frac{1}{2}\pi )=1\)

Kwadraat
006z - Goniometrische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

a

\(\sin(4x+\frac{1}{2}\pi )=1∨\sin(4x+\frac{1}{2}\pi )=-1\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(4x+\frac{1}{2}\pi =\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi ∨4x+\frac{1}{2}\pi =1\frac{1}{2}\pi +k⋅2\pi \)

1p

○

\(4x=k⋅2\pi ∨4x=\pi +k⋅2\pi \)
\(x=k⋅\frac{1}{2}\pi ∨x=\frac{1}{4}\pi +k⋅\frac{1}{2}\pi \)

1p

3p

b

\(\frac{4}{5}\sin(\frac{2}{3}x+\frac{4}{5}\pi )\sin(1\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}\pi )=0\)

ProductIsNul
0070 - Goniometrische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

b

\(\sin(\frac{2}{3}x+\frac{4}{5}\pi )=0∨\sin(1\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}\pi )=0\)

1p

○

De exacte waardencirkel geeft
\(\frac{2}{3}x+\frac{4}{5}\pi =k⋅\pi ∨1\frac{1}{2}x-\frac{2}{3}\pi =k⋅\pi \)

1p

○

\(\frac{2}{3}x=-\frac{4}{5}\pi +k⋅\pi ∨1\frac{1}{2}x=\frac{2}{3}\pi +k⋅\pi \)
\(x=-1\frac{1}{5}\pi +k⋅1\frac{1}{2}\pi ∨x=\frac{4}{9}\pi +k⋅\frac{2}{3}\pi \)

1p
"