Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Gelijkvormige driehoeken'.

vwo wiskunde B	3.1 Berekeningen in driehoeken
Gelijkvormige driehoeken (6)	opgave 1 Gegeven is driehoek \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D=2\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D=4\) en \(B\kern{-.8pt}C=7\text{.}\) 3p Bereken \(D\kern{-.8pt}E\text{.}\) Gelijkvormigheid (1) 00ou - Gelijkvormige driehoeken - basis - 2ms - data pool: #102 (2ms) ○ \(\triangle A\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E∼\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) 1p ○ \({A\kern{-.8pt}D \over A\kern{-.8pt}B}={D\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C}={A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C}\) geeft \({2 \over 6}={D\kern{-.8pt}E \over 7}={A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C}\) 1p ○ \(D\kern{-.8pt}E={2⋅7 \over 6}=2\frac{1}{3}\) 1p opgave 2 Gegeven is rechthoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A\kern{-.8pt}B=2\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}D=9\) en \(C\kern{-.8pt}E=3\text{.}\) 4p Bereken \(B\kern{-.8pt}F\text{.}\) Gelijkvormigheid (3) 00ov - Gelijkvormige driehoeken - basis - 1ms ○ \(B\kern{-.8pt}E=B\kern{-.8pt}C-C\kern{-.8pt}E=9-3=6\text{.}\) 1p ○ \(\triangle C\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E∼\triangle B\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}E\) 1p ○ \({C\kern{-.8pt}D \over B\kern{-.8pt}F}={C\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}E}={D\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}E}\) geeft \({2 \over B\kern{-.8pt}F}={3 \over 6}={D\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}E}\) 1p ○ \(B\kern{-.8pt}F={2⋅6 \over 3}=4\) 1p opgave 3 Gegeven is rechthoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A\kern{-.8pt}B=6\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}D=3\) en \(B\kern{-.8pt}F=4\text{.}\) 4p Bereken \(C\kern{-.8pt}E\text{.}\) Gelijkvormigheid (4) 00ow - Gelijkvormige driehoeken - basis - 0ms ○ \(\triangle B\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}E∼\triangle A\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}D\) 1p ○ \({B\kern{-.8pt}F \over A\kern{-.8pt}F}={F\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}D}={B\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}D}\) geeft \({4 \over 10}={F\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}D}={B\kern{-.8pt}E \over 3}\) 1p ○ \(B\kern{-.8pt}E={4⋅3 \over 10}=1\frac{1}{5}\) 1p ○ \(C\kern{-.8pt}E=B\kern{-.8pt}C-B\kern{-.8pt}E=3-1\frac{1}{5}=1\frac{4}{5}\text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven is driehoek \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C=12\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D=9\) en \(D\kern{-.8pt}E=3\text{.}\) 4p Bereken \(A\kern{-.8pt}D\text{.}\) GelijkvormigheidMetX (1) 00ox - Gelijkvormige driehoeken - basis - 3ms - data pool: #113 (3ms) ○ \(\triangle D\kern{-.8pt}A\kern{-.8pt}E∼\triangle B\kern{-.8pt}A\kern{-.8pt}C\) 1p ○ \({A\kern{-.8pt}D \over A\kern{-.8pt}B}={A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C}={D\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C}\) geeft \({x \over x+9}={A\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C}={3 \over 12}\) 1p ○ \(12x=3(x+9)\) 1p ○ \(12x=3x+27\) \(9x=27\) \(x={27 \over 9}=3\text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is driehoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D=7\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D=8\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C=6\) en \(B\kern{-.8pt}E=10\text{.}\) 3p Bereken \(D\kern{-.8pt}E\text{.}\) Gelijkvormigheid (2) 00pd - Gelijkvormige driehoeken - basis - 26ms - data pool: #201 (26ms) ○ \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C∼\triangle E\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}D\) 1p ○ \({A\kern{-.8pt}B \over B\kern{-.8pt}E}={B\kern{-.8pt}C \over B\kern{-.8pt}D}={A\kern{-.8pt}C \over D\kern{-.8pt}E}\) geeft \({7+8 \over 10}={6 \over D\kern{-.8pt}E}\) 1p ○ \(D\kern{-.8pt}E={10⋅6 \over 15}=4\) 1p opgave 6 Gegeven is driehoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D=8\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D=4\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C=8\) en \(C\kern{-.8pt}E=2\text{.}\) 4p Bereken \(B\kern{-.8pt}E\text{.}\) GelijkvormigheidMetX (2) 00pe - Gelijkvormige driehoeken - basis - 26ms - data pool: #201 (26ms) ○ \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C∼\triangle E\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}D\) 1p ○ \({A\kern{-.8pt}B \over B\kern{-.8pt}E}={B\kern{-.8pt}C \over B\kern{-.8pt}D}={A\kern{-.8pt}C \over D\kern{-.8pt}E}\) geeft \({8+4 \over x}={x+2 \over 4}\) 1p ○ \(x(x+2)=48\) \(x^2+2x-48=0\) \((x-6)(x+8)=0\) \(x=6∨x=-8\) 1p ○ [Een lengte is altijd positief, dus] \(B\kern{-.8pt}E=6\text{.}\) 1p

3.1 Berekeningen in driehoeken

Gelijkvormige driehoeken (6)

opgave 1

Gegeven is driehoek \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D=2\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D=4\) en \(B\kern{-.8pt}C=7\text{.}\)

Bereken \(D\kern{-.8pt}E\text{.}\)

Gelijkvormigheid (1)

00ou - Gelijkvormige driehoeken - basis - 2ms - data pool: #102 (2ms)

○

\(\triangle A\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E∼\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\)

○

\({A\kern{-.8pt}D \over A\kern{-.8pt}B}={D\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C}={A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C}\) geeft \({2 \over 6}={D\kern{-.8pt}E \over 7}={A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C}\)

○

\(D\kern{-.8pt}E={2⋅7 \over 6}=2\frac{1}{3}\)

opgave 2

Gegeven is rechthoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A\kern{-.8pt}B=2\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}D=9\) en \(C\kern{-.8pt}E=3\text{.}\)

Bereken \(B\kern{-.8pt}F\text{.}\)

Gelijkvormigheid (3)

00ov - Gelijkvormige driehoeken - basis - 1ms

○

\(B\kern{-.8pt}E=B\kern{-.8pt}C-C\kern{-.8pt}E=9-3=6\text{.}\)

○

\(\triangle C\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E∼\triangle B\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}E\)

○

\({C\kern{-.8pt}D \over B\kern{-.8pt}F}={C\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}E}={D\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}E}\) geeft \({2 \over B\kern{-.8pt}F}={3 \over 6}={D\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}E}\)

○

\(B\kern{-.8pt}F={2⋅6 \over 3}=4\)

opgave 3

Gegeven is rechthoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A\kern{-.8pt}B=6\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}D=3\) en \(B\kern{-.8pt}F=4\text{.}\)

Bereken \(C\kern{-.8pt}E\text{.}\)

Gelijkvormigheid (4)

00ow - Gelijkvormige driehoeken - basis - 0ms

○

\(\triangle B\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}E∼\triangle A\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}D\)

○

\({B\kern{-.8pt}F \over A\kern{-.8pt}F}={F\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}D}={B\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}D}\) geeft \({4 \over 10}={F\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}D}={B\kern{-.8pt}E \over 3}\)

○

\(B\kern{-.8pt}E={4⋅3 \over 10}=1\frac{1}{5}\)

○

\(C\kern{-.8pt}E=B\kern{-.8pt}C-B\kern{-.8pt}E=3-1\frac{1}{5}=1\frac{4}{5}\text{.}\)

opgave 4

Gegeven is driehoek \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C=12\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D=9\) en \(D\kern{-.8pt}E=3\text{.}\)

Bereken \(A\kern{-.8pt}D\text{.}\)

GelijkvormigheidMetX (1)

00ox - Gelijkvormige driehoeken - basis - 3ms - data pool: #113 (3ms)

○

\(\triangle D\kern{-.8pt}A\kern{-.8pt}E∼\triangle B\kern{-.8pt}A\kern{-.8pt}C\)

○

\({A\kern{-.8pt}D \over A\kern{-.8pt}B}={A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C}={D\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C}\) geeft \({x \over x+9}={A\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C}={3 \over 12}\)

○

\(12x=3(x+9)\)

○

\(12x=3x+27\)
\(9x=27\)
\(x={27 \over 9}=3\text{.}\)

opgave 5

Gegeven is driehoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D=7\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D=8\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C=6\) en \(B\kern{-.8pt}E=10\text{.}\)

Bereken \(D\kern{-.8pt}E\text{.}\)

Gelijkvormigheid (2)

00pd - Gelijkvormige driehoeken - basis - 26ms - data pool: #201 (26ms)

○

\(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C∼\triangle E\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}D\)

○

\({A\kern{-.8pt}B \over B\kern{-.8pt}E}={B\kern{-.8pt}C \over B\kern{-.8pt}D}={A\kern{-.8pt}C \over D\kern{-.8pt}E}\) geeft \({7+8 \over 10}={6 \over D\kern{-.8pt}E}\)

○

\(D\kern{-.8pt}E={10⋅6 \over 15}=4\)

opgave 6

Gegeven is driehoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D=8\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D=4\text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C=8\) en \(C\kern{-.8pt}E=2\text{.}\)

Bereken \(B\kern{-.8pt}E\text{.}\)

GelijkvormigheidMetX (2)

00pe - Gelijkvormige driehoeken - basis - 26ms - data pool: #201 (26ms)

○

\(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C∼\triangle E\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}D\)

○

\({A\kern{-.8pt}B \over B\kern{-.8pt}E}={B\kern{-.8pt}C \over B\kern{-.8pt}D}={A\kern{-.8pt}C \over D\kern{-.8pt}E}\) geeft \({8+4 \over x}={x+2 \over 4}\)

○

\(x(x+2)=48\)
\(x^2+2x-48=0\)
\((x-6)(x+8)=0\)
\(x=6∨x=-8\)

○

[Een lengte is altijd positief, dus] \(B\kern{-.8pt}E=6\text{.}\)