Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Gelijkvormige driehoeken'.

vwo wiskunde B	3.1 Berekeningen in driehoeken
Gelijkvormige driehoeken (6)	opgave 1 Gegeven is driehoek \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D = 2 \text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D = 2\) en \(B\kern{-.8pt}C = 3 \text{.}\) 3p Bereken \(D\kern{-.8pt}E \text{.}\) Gelijkvormigheid (1) 00ou - Gelijkvormige driehoeken - basis - 2ms - data pool: #102 (1ms) ○ \(\triangle A\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E ∼ \triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}D \over A\kern{-.8pt}B} = {D\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C} = {A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C}\) 1p ○ \({2 \over 4} = {D\kern{-.8pt}E \over 3} = {A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C}\) 1p ○ [Kruislings vermenigvuldigen geeft] \(D\kern{-.8pt}E = {2 ⋅ 3 \over 4} = 1\frac{1}{2}\) 1p opgave 2 Gegeven is rechthoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A\kern{-.8pt}B = 4 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}D = 8\) en \(C\kern{-.8pt}E = 5 \text{.}\) 4p Bereken \(B\kern{-.8pt}F \text{.}\) Gelijkvormigheid (3) 00ov - Gelijkvormige driehoeken - basis - 0ms ○ \(B\kern{-.8pt}E = B\kern{-.8pt}C - C\kern{-.8pt}E = 8 - 5 = 3 \text{.}\) 1p ○ \(\triangle C\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E ∼ \triangle B\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}E\) geeft \({C\kern{-.8pt}D \over B\kern{-.8pt}F} = {C\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}E} = {D\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}E}\) 1p ○ \({4 \over B\kern{-.8pt}F} = {5 \over 3} = {D\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}E}\) 1p ○ [Kruislings vermenigvuldigen geeft] \(B\kern{-.8pt}F = {4 ⋅ 3 \over 5} = 2\frac{2}{5}\) 1p opgave 3 Gegeven is rechthoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A\kern{-.8pt}B = 4 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}D = 2\) en \(B\kern{-.8pt}F = 6 \text{.}\) 4p Bereken \(C\kern{-.8pt}E \text{.}\) Gelijkvormigheid (4) 00ow - Gelijkvormige driehoeken - basis - 0ms ○ \(\triangle B\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}E ∼ \triangle A\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}D\) geeft \({B\kern{-.8pt}F \over A\kern{-.8pt}F} = {F\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}D} = {B\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}D}\) 1p ○ \({6 \over 10} = {F\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}D} = {B\kern{-.8pt}E \over 2}\) 1p ○ [Kruislings vermenigvuldigen geeft] \(B\kern{-.8pt}E = {6 ⋅ 2 \over 10} = 1\frac{1}{5}\) 1p ○ \(C\kern{-.8pt}E = B\kern{-.8pt}C - B\kern{-.8pt}E = 2 - 1\frac{1}{5} = \frac{4}{5} \text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven is driehoek \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C = 11 \text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D = 5\) en \(D\kern{-.8pt}E = 7 \text{.}\) 4p Bereken \(A\kern{-.8pt}D \text{.}\) GelijkvormigheidMetX (1) 00ox - Gelijkvormige driehoeken - basis - 3ms - data pool: #113 (2ms) ○ \(\triangle D\kern{-.8pt}A\kern{-.8pt}E ∼ \triangle B\kern{-.8pt}A\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}D \over A\kern{-.8pt}B} = {A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C} = {D\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C}\) 1p ○ Neem \(A\kern{-.8pt}D = x \text{,}\) dan geldt \(A\kern{-.8pt}B = x + 5\) en dus \({x \over x + 5} = {A\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C} = {7 \over 11}\) 1p ○ [Kruislings vermenigvuldigen geeft] \(11 x = 7 (x + 5)\) 1p ○ \(11 x = 7 x + 35\) \(4 x = 35\) \(x = {35 \over 4} = 8\frac{3}{4} \text{,}\) dus \(A\kern{-.8pt}D = 8\frac{3}{4} \text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is driehoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D = 2 \text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D = 2 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C = 5\) en \(B\kern{-.8pt}E = 1 \text{.}\) 3p Bereken \(D\kern{-.8pt}E \text{.}\) Gelijkvormigheid (2) 00pd - Gelijkvormige driehoeken - basis - 15ms - data pool: #201 (15ms) ○ \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C ∼ \triangle E\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}D\) geeft \({A\kern{-.8pt}B \over B\kern{-.8pt}E} = {B\kern{-.8pt}C \over B\kern{-.8pt}D} = {A\kern{-.8pt}C \over D\kern{-.8pt}E}\) 1p ○ \({4 \over 1} = {5 \over D\kern{-.8pt}E}\) 1p ○ [Kruislings vermenigvuldigen geeft] \(D\kern{-.8pt}E = {1 ⋅ 5 \over 4} = 1\frac{1}{4}\) 1p opgave 6 Gegeven is driehoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D = 3 \text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D = 5 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C = 11\) en \(C\kern{-.8pt}E = 6 \text{.}\) 5p Bereken \(B\kern{-.8pt}E \text{.}\) GelijkvormigheidMetX (2) 00pe - Gelijkvormige driehoeken - basis - 12ms - data pool: #201 (12ms) ○ \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C ∼ \triangle E\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}D\) geeft \({A\kern{-.8pt}B \over B\kern{-.8pt}E} = {B\kern{-.8pt}C \over B\kern{-.8pt}D} = {A\kern{-.8pt}C \over D\kern{-.8pt}E}\) 1p ○ Neem \(B\kern{-.8pt}E = x \text{,}\) dan geldt \(B\kern{-.8pt}C = x + 6\) en dus \({8 \over x} = {x + 6 \over 5}\) 1p ○ [Kruislings vermenigvuldigen geeft] \(x (x + 6) = 40\) 1p ○ \(x^{2} + 6 x - 40 = 0\) \((x - 4) (x + 10) = 0\) \(x = 4 ∨ x = -10\) 1p ○ [Een lengte is altijd positief, dus] \(B\kern{-.8pt}E = 4 \text{.}\) 1p

3.1 Berekeningen in driehoeken

Gelijkvormige driehoeken (6)

opgave 1

Gegeven is driehoek \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D = 2 \text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D = 2\) en \(B\kern{-.8pt}C = 3 \text{.}\)

Bereken \(D\kern{-.8pt}E \text{.}\)

Gelijkvormigheid (1)

00ou - Gelijkvormige driehoeken - basis - 2ms - data pool: #102 (1ms)

○

\(\triangle A\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E ∼ \triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}D \over A\kern{-.8pt}B} = {D\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C} = {A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C}\)

○

\({2 \over 4} = {D\kern{-.8pt}E \over 3} = {A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C}\)

○

[Kruislings vermenigvuldigen geeft]
\(D\kern{-.8pt}E = {2 ⋅ 3 \over 4} = 1\frac{1}{2}\)

opgave 2

Gegeven is rechthoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A\kern{-.8pt}B = 4 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}D = 8\) en \(C\kern{-.8pt}E = 5 \text{.}\)

Bereken \(B\kern{-.8pt}F \text{.}\)

Gelijkvormigheid (3)

00ov - Gelijkvormige driehoeken - basis - 0ms

○

\(B\kern{-.8pt}E = B\kern{-.8pt}C - C\kern{-.8pt}E = 8 - 5 = 3 \text{.}\)

○

\(\triangle C\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E ∼ \triangle B\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}E\) geeft \({C\kern{-.8pt}D \over B\kern{-.8pt}F} = {C\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}E} = {D\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}E}\)

○

\({4 \over B\kern{-.8pt}F} = {5 \over 3} = {D\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}E}\)

○

[Kruislings vermenigvuldigen geeft]
\(B\kern{-.8pt}F = {4 ⋅ 3 \over 5} = 2\frac{2}{5}\)

opgave 3

Gegeven is rechthoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A\kern{-.8pt}B = 4 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}D = 2\) en \(B\kern{-.8pt}F = 6 \text{.}\)

Bereken \(C\kern{-.8pt}E \text{.}\)

Gelijkvormigheid (4)

00ow - Gelijkvormige driehoeken - basis - 0ms

○

\(\triangle B\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}E ∼ \triangle A\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}D\) geeft \({B\kern{-.8pt}F \over A\kern{-.8pt}F} = {F\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}D} = {B\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}D}\)

○

\({6 \over 10} = {F\kern{-.8pt}E \over F\kern{-.8pt}D} = {B\kern{-.8pt}E \over 2}\)

○

[Kruislings vermenigvuldigen geeft]
\(B\kern{-.8pt}E = {6 ⋅ 2 \over 10} = 1\frac{1}{5}\)

○

\(C\kern{-.8pt}E = B\kern{-.8pt}C - B\kern{-.8pt}E = 2 - 1\frac{1}{5} = \frac{4}{5} \text{.}\)

opgave 4

Gegeven is driehoek \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C = 11 \text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D = 5\) en \(D\kern{-.8pt}E = 7 \text{.}\)

Bereken \(A\kern{-.8pt}D \text{.}\)

GelijkvormigheidMetX (1)

00ox - Gelijkvormige driehoeken - basis - 3ms - data pool: #113 (2ms)

○

\(\triangle D\kern{-.8pt}A\kern{-.8pt}E ∼ \triangle B\kern{-.8pt}A\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}D \over A\kern{-.8pt}B} = {A\kern{-.8pt}E \over A\kern{-.8pt}C} = {D\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C}\)

○

Neem \(A\kern{-.8pt}D = x \text{,}\) dan geldt \(A\kern{-.8pt}B = x + 5\) en dus
\({x \over x + 5} = {A\kern{-.8pt}E \over B\kern{-.8pt}C} = {7 \over 11}\)

○

[Kruislings vermenigvuldigen geeft]
\(11 x = 7 (x + 5)\)

○

\(11 x = 7 x + 35\)
\(4 x = 35\)
\(x = {35 \over 4} = 8\frac{3}{4} \text{,}\) dus \(A\kern{-.8pt}D = 8\frac{3}{4} \text{.}\)

opgave 5

Gegeven is driehoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D = 2 \text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D = 2 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C = 5\) en \(B\kern{-.8pt}E = 1 \text{.}\)

Bereken \(D\kern{-.8pt}E \text{.}\)

Gelijkvormigheid (2)

00pd - Gelijkvormige driehoeken - basis - 15ms - data pool: #201 (15ms)

○

\(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C ∼ \triangle E\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}D\) geeft \({A\kern{-.8pt}B \over B\kern{-.8pt}E} = {B\kern{-.8pt}C \over B\kern{-.8pt}D} = {A\kern{-.8pt}C \over D\kern{-.8pt}E}\)

○

\({4 \over 1} = {5 \over D\kern{-.8pt}E}\)

○

[Kruislings vermenigvuldigen geeft]
\(D\kern{-.8pt}E = {1 ⋅ 5 \over 4} = 1\frac{1}{4}\)

opgave 6

Gegeven is driehoek \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}D = 3 \text{,}\) \(B\kern{-.8pt}D = 5 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C = 11\) en \(C\kern{-.8pt}E = 6 \text{.}\)

Bereken \(B\kern{-.8pt}E \text{.}\)

GelijkvormigheidMetX (2)

00pe - Gelijkvormige driehoeken - basis - 12ms - data pool: #201 (12ms)

○

Neem \(B\kern{-.8pt}E = x \text{,}\) dan geldt \(B\kern{-.8pt}C = x + 6\) en dus
\({8 \over x} = {x + 6 \over 5}\)

○

[Kruislings vermenigvuldigen geeft]
\(x (x + 6) = 40\)

○

\(x^{2} + 6 x - 40 = 0\)
\((x - 4) (x + 10) = 0\)
\(x = 4 ∨ x = -10\)

○

[Een lengte is altijd positief, dus] \(B\kern{-.8pt}E = 4 \text{.}\)