Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Formule bij exponentiële groei opstellen'.

3 vwo 8.2 Tabellen en groei

Formule bij exponentiële groei opstellen (2)

opgave 1

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)

\(2\,022\)

\(2\,023\)

\(2\,024\)

\(2\,025\)

\(y\)

\(13{,}29\)

\(17{,}01\)

\(21{,}77\)

\(27{,}87\)

3p

a

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

3p

b

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,022 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

ExponentieelUitTabel (1)
00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

a

\({17{,}01 \over 13{,}29} ≈ 1{,}28\)

1p

○

\({21{,}77 \over 17{,}01} ≈ 1{,}28\)
\({27{,}87 \over 21{,}77} ≈ 1{,}28\)

1p

○

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

1p

b

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}28\)

1p

○

\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 13{,}29 \text{.}\)

1p

○

Dus \(y = 13{,}29 ⋅ 1{,}28^{x} \text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)

\(0\)

\(1\)

\(2\)

\(3\)

\(y\)

\(12{,}65\)

\(12{,}32\)

\(11{,}99\)

\(11{,}66\)

3p

a

Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort.

3p

b

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

LineairOfExponentieelUitTabel (1)
00k3 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

a

\(12{,}32 - 12{,}65 = -0{,}33\)

1p

○

\(11{,}99 - 12{,}32 = -0{,}33\)
\(11{,}66 - 11{,}99 = -0{,}33\)

1p

○

Het verschil is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

1p

b

\(y = a x + b\) met \(a = -0{,}33\)

1p

○

\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 12{,}65 \text{.}\)

1p

○

Dus \(y = -0{,}33 x + 12{,}65\)

1p
vwo wiskunde B 9.2 Exponentiële en logaritmische functies

Formule bij exponentiële groei opstellen (3)

opgave 1

3p

a

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af met \(4{,}5\%\) per uur. Op \(x = 0\) is \(y = 324 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in uur.
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenGroeifactorEnBeginwaarde
0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

a

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{uur}} = 1 - {4{,}5 \over 100} = 0{,}955 \text{.}\)

1p

○

De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 324 \text{.}\)

1p

○

\(y = 324 ⋅ 0{,}955^{x} \text{.}\)

1p

3p

b

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 4\) is \(y = 469\) en bij \(x = 9\) is \(y = 557 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenStijgend
0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

b

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({557 \over 469})^{{1 \over 9 - 4}} = 1{,}034...\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}034...^{x} \\ x = 4 \text{ en } y = 469\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}034...^{4} = 469 \\ b = {469 \over 1{,}034...^{4}} ≈ 409\end{matrix}\)

1p

○

\(y = 409 ⋅ 1{,}035^{x} \text{.}\)

1p

3p

c

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 3\) is \(y = 261\) en bij \(x = 6\) is \(y = 234 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenDalend
0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

c

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({234 \over 261})^{{1 \over 6 - 3}} = 0{,}964...\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}964...^{x} \\ x = 3 \text{ en } y = 261\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}964...^{3} = 261 \\ b = {261 \over 0{,}964...^{3}} ≈ 291\end{matrix}\)

1p

○

\(y = 291 ⋅ 0{,}964^{x} \text{.}\)

1p
"