Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Formule bij exponentiële groei opstellen'.

3 vwo 8.2 Tabellen en groei

Formule bij exponentiële groei opstellen (2)

opgave 1

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)

\(0\)

\(1\)

\(2\)

\(3\)

\(y\)

\(23{,}92\)

\(20{,}33\)

\(17{,}28\)

\(14{,}69\)

3p

a

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

3p

b

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

ExponentieelUitTabel (1)
00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

a

\({20{,}33 \over 23{,}92} ≈ 0{,}85\)

1p

○

\({17{,}28 \over 20{,}33} ≈ 0{,}85\)
\({14{,}69 \over 17{,}28} ≈ 0{,}85\)

1p

○

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

1p

b

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}85\)

1p

○

\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 23{,}92 \text{.}\)

1p

○

Dus \(y = 23{,}92 ⋅ 0{,}85^{x} \text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)

\(2\,020\)

\(2\,021\)

\(2\,022\)

\(2\,023\)

\(2\,024\)

\(y\)

\(19{,}08\)

\(21{,}37\)

\(23{,}93\)

\(26{,}81\)

\(30{,}02\)

3p

a

Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort.

3p

b

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,020 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

LineairOfExponentieelUitTabel (1)
00k3 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

a

\({21{,}37 \over 19{,}08} ≈ 1{,}12\)

1p

○

\({23{,}93 \over 21{,}37} ≈ 1{,}12\)
\({26{,}81 \over 23{,}93} ≈ 1{,}12\)
\({30{,}02 \over 26{,}81} ≈ 1{,}12\)

1p

○

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

1p

b

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}12\)

1p

○

\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 19{,}08 \text{.}\)

1p

○

Dus \(y = 19{,}08 ⋅ 1{,}12^{x} \text{.}\)

1p
vwo wiskunde B 9.2 Exponentiële en logaritmische functies

Formule bij exponentiële groei opstellen (3)

opgave 1

3p

a

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af met \(2{,}9\%\) per kwartier. Op \(x = 0\) is \(y = 270 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in kwartier.
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenGroeifactorEnBeginwaarde
0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

a

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{kwartier}} = 1 - {2{,}9 \over 100} = 0{,}971 \text{.}\)

1p

○

De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 270 \text{.}\)

1p

○

\(y = 270 ⋅ 0{,}971^{x} \text{.}\)

1p

3p

b

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 4\) is \(y = 481\) en bij \(x = 8\) is \(y = 578 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenStijgend
0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

b

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({578 \over 481})^{{1 \over 8 - 4}} = 1{,}046...\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}046...^{x} \\ x = 4 \text{ en } y = 481\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}046...^{4} = 481 \\ b = {481 \over 1{,}046...^{4}} ≈ 400\end{matrix}\)

1p

○

\(y = 400 ⋅ 1{,}047^{x} \text{.}\)

1p

3p

c

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 4\) is \(y = 377\) en bij \(x = 7\) is \(y = 343 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenDalend
0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms - dynamic variables

c

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({343 \over 377})^{{1 \over 7 - 4}} = 0{,}968...\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}968...^{x} \\ x = 4 \text{ en } y = 377\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}968...^{4} = 377 \\ b = {377 \over 0{,}968...^{4}} ≈ 428\end{matrix}\)

1p

○

\(y = 428 ⋅ 0{,}969^{x} \text{.}\)

1p
"