Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Formule bij exponentiële groei opstellen'.

3 vwo 8.2 Tabellen en groei

Formule bij exponentiële groei opstellen (2)

opgave 1

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)

\(0\)

\(1\)

\(2\)

\(3\)

\(y\)

\(25{,}45\)

\(23{,}41\)

\(21{,}54\)

\(19{,}82\)

3p

a

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

3p

b

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

ExponentieelUitTabel (1)
00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

a

\({23{,}41 \over 25{,}45} ≈ 0{,}92\)

1p

○

\({21{,}54 \over 23{,}41} ≈ 0{,}92\)
\({19{,}82 \over 21{,}54} ≈ 0{,}92\)

1p

○

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

1p

b

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}92\)

1p

○

\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 25{,}45 \text{.}\)

1p

○

Dus \(y = 25{,}45 ⋅ 0{,}92^{x} \text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)

\(2\,022\)

\(2\,023\)

\(2\,024\)

\(2\,025\)

\(2\,026\)

\(y\)

\(18{,}45\)

\(19{,}48\)

\(20{,}51\)

\(21{,}54\)

\(22{,}57\)

3p

a

Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort.

3p

b

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,022 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

LineairOfExponentieelUitTabel (1)
00k3 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

a

\(19{,}48 - 18{,}45 = 1{,}03\)

1p

○

\(20{,}51 - 19{,}48 = 1{,}03\)
\(21{,}54 - 20{,}51 = 1{,}03\)
\(22{,}57 - 21{,}54 = 1{,}03\)

1p

○

Het verschil is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

1p

b

\(y = a x + b\) met \(a = 1{,}03\)

1p

○

\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 18{,}45 \text{.}\)

1p

○

Dus \(y = 1{,}03 x + 18{,}45\)

1p
vwo wiskunde B 9.2 Exponentiële en logaritmische functies

Formule bij exponentiële groei opstellen (3)

opgave 1

3p

a

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af met \(2{,}1\%\) per dag. Op \(x = 0\) is \(y = 480 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in dagen.
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenGroeifactorEnBeginwaarde
0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

a

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{dag}} = 1 - {2{,}1 \over 100} = 0{,}979 \text{.}\)

1p

○

De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 480 \text{.}\)

1p

○

\(y = 480 ⋅ 0{,}979^{x} \text{.}\)

1p

3p

b

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 4\) is \(y = 376\) en bij \(x = 6\) is \(y = 406 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenStijgend
0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

b

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({406 \over 376})^{{1 \over 6 - 4}} = 1{,}039...\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}039...^{x} \\ x = 4 \text{ en } y = 376\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}039...^{4} = 376 \\ b = {376 \over 1{,}039...^{4}} ≈ 322\end{matrix}\)

1p

○

\(y = 322 ⋅ 1{,}039^{x} \text{.}\)

1p

3p

c

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 5\) is \(y = 375\) en bij \(x = 7\) is \(y = 351 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenDalend
0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms - dynamic variables

c

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({351 \over 375})^{{1 \over 7 - 5}} = 0{,}967...\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}967...^{x} \\ x = 5 \text{ en } y = 375\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}967...^{5} = 375 \\ b = {375 \over 0{,}967...^{5}} ≈ 442\end{matrix}\)

1p

○

\(y = 442 ⋅ 0{,}967^{x} \text{.}\)

1p
"