Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Formule bij exponentiële groei opstellen'.

3 vwo 8.2 Tabellen en groei

Formule bij exponentiële groei opstellen (2)

opgave 1

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)

\(2\,021\)

\(2\,022\)

\(2\,023\)

\(2\,024\)

\(y\)

\(12{,}44\)

\(12{,}07\)

\(11{,}70\)

\(11{,}35\)

3p

a

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

3p

b

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,021 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

ExponentieelUitTabel (1)
00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

a

\({12{,}07 \over 12{,}44} ≈ 0{,}97\)

1p

○

\({11{,}70 \over 12{,}07} ≈ 0{,}97\)
\({11{,}35 \over 11{,}70} ≈ 0{,}97\)

1p

○

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

1p

b

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}97\)

1p

○

\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 12{,}44 \text{.}\)

1p

○

Dus \(y = 12{,}44 ⋅ 0{,}97^{x} \text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)

\(0\)

\(1\)

\(2\)

\(3\)

\(4\)

\(y\)

\(14{,}69\)

\(15{,}41\)

\(16{,}13\)

\(16{,}85\)

\(17{,}57\)

3p

a

Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort.

3p

b

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

LineairOfExponentieelUitTabel (1)
00k3 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

a

\(15{,}41 - 14{,}69 = 0{,}72\)

1p

○

\(16{,}13 - 15{,}41 = 0{,}72\)
\(16{,}85 - 16{,}13 = 0{,}72\)
\(17{,}57 - 16{,}85 = 0{,}72\)

1p

○

Het verschil is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

1p

b

\(y = a x + b\) met \(a = 0{,}72\)

1p

○

\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 14{,}69 \text{.}\)

1p

○

Dus \(y = 0{,}72 x + 14{,}69\)

1p
vwo wiskunde B 9.2 Exponentiële en logaritmische functies

Formule bij exponentiële groei opstellen (3)

opgave 1

3p

a

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe met \(3{,}2\%\) per jaar. Op \(x = 0\) is \(y = 258 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in jaren.
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenGroeifactorEnBeginwaarde
0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 2ms - dynamic variables

a

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{jaar}} = 1 + {3{,}2 \over 100} = 1{,}032 \text{.}\)

1p

○

De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 258 \text{.}\)

1p

○

\(y = 258 ⋅ 1{,}032^{x} \text{.}\)

1p

3p

b

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 3\) is \(y = 592\) en bij \(x = 6\) is \(y = 658 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenStijgend
0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

b

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({658 \over 592})^{{1 \over 6 - 3}} = 1{,}035...\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}035...^{x} \\ x = 3 \text{ en } y = 592\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}035...^{3} = 592 \\ b = {592 \over 1{,}035...^{3}} ≈ 533\end{matrix}\)

1p

○

\(y = 533 ⋅ 1{,}036^{x} \text{.}\)

1p

3p

c

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 4\) is \(y = 498\) en bij \(x = 9\) is \(y = 415 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenDalend
0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

c

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({415 \over 498})^{{1 \over 9 - 4}} = 0{,}964...\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}964...^{x} \\ x = 4 \text{ en } y = 498\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}964...^{4} = 498 \\ b = {498 \over 0{,}964...^{4}} ≈ 576\end{matrix}\)

1p

○

\(y = 576 ⋅ 0{,}964^{x} \text{.}\)

1p
"