Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Formule bij exponentiële groei opstellen'.

3 vwo 8.2 Tabellen en groei

Formule bij exponentiële groei opstellen (2)

opgave 1

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)

\(2\,021\)

\(2\,022\)

\(2\,023\)

\(2\,024\)

\(2\,025\)

\(y\)

\(17{,}71\)

\(20{,}72\)

\(24{,}24\)

\(28{,}36\)

\(33{,}19\)

3p

a

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

3p

b

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,021 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

ExponentieelUitTabel (1)
00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

a

\({20{,}72 \over 17{,}71} ≈ 1{,}17\)

1p

○

\({24{,}24 \over 20{,}72} ≈ 1{,}17\)
\({28{,}36 \over 24{,}24} ≈ 1{,}17\)
\({33{,}19 \over 28{,}36} ≈ 1{,}17\)

1p

○

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

1p

b

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}17\)

1p

○

\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 17{,}71 \text{.}\)

1p

○

Dus \(y = 17{,}71 ⋅ 1{,}17^{x} \text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)

\(0\)

\(1\)

\(2\)

\(3\)

\(y\)

\(11{,}24\)

\(13{,}01\)

\(14{,}78\)

\(16{,}55\)

3p

a

Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort.

3p

b

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

LineairOfExponentieelUitTabel (1)
00k3 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

a

\(13{,}01 - 11{,}24 = 1{,}77\)

1p

○

\(14{,}78 - 13{,}01 = 1{,}77\)
\(16{,}55 - 14{,}78 = 1{,}77\)

1p

○

Het verschil is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

1p

b

\(y = a x + b\) met \(a = 1{,}77\)

1p

○

\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 11{,}24 \text{.}\)

1p

○

Dus \(y = 1{,}77 x + 11{,}24\)

1p
vwo wiskunde B 9.2 Exponentiële en logaritmische functies

Formule bij exponentiële groei opstellen (3)

opgave 1

3p

a

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe met \(3{,}1\%\) per seconde. Op \(x = 0\) is \(y = 487 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in seconden.
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenGroeifactorEnBeginwaarde
0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 5ms - dynamic variables

a

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{seconde}} = 1 + {3{,}1 \over 100} = 1{,}031 \text{.}\)

1p

○

De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 487 \text{.}\)

1p

○

\(y = 487 ⋅ 1{,}031^{x} \text{.}\)

1p

3p

b

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 2\) is \(y = 283\) en bij \(x = 4\) is \(y = 308 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenStijgend
0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

b

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({308 \over 283})^{{1 \over 4 - 2}} = 1{,}043...\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}043...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 283\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}043...^{2} = 283 \\ b = {283 \over 1{,}043...^{2}} ≈ 260\end{matrix}\)

1p

○

\(y = 260 ⋅ 1{,}043^{x} \text{.}\)

1p

3p

c

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 3\) is \(y = 484\) en bij \(x = 8\) is \(y = 410 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenDalend
0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

c

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({410 \over 484})^{{1 \over 8 - 3}} = 0{,}967...\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}967...^{x} \\ x = 3 \text{ en } y = 484\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}967...^{3} = 484 \\ b = {484 \over 0{,}967...^{3}} ≈ 535\end{matrix}\)

1p

○

\(y = 535 ⋅ 0{,}967^{x} \text{.}\)

1p
"