Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Extremen met een parameter'.

vwo wiskunde B 1.3 Werken met parameters

Extremen met een parameter (3)

opgave 1

Voor elke waarde van \(p\) is de functie \(f_{p}\) gegeven door \(f_{p} (x) = \frac{1}{4} x^{2} + p x - 3 \text{.}\)

3p

Bereken exact voor welke \(p\) het minimum \(-4\) is.

TopVanParabool (1)
00sr - Extremen met een parameter - basis - 2ms - data pool: #306 (2ms)

○

\(x_{\text{top}} = {-p \over 2 ⋅ \frac{1}{4}} = -2 p\)

1p

○

\(y_{\text{top}} = f_{p} (-2 p)\)
\(\text{} = \frac{1}{4} ⋅ (-2 p)^{2} + p ⋅ -2 p - 3\)
\(\text{} = \frac{1}{4} ⋅ 4 p^{2} - 2 p^{2} - 3\)
\(\text{} = -p^{2} - 3\)

1p

○

(Het minimum is \(-4\) geeft)
\(-p^{2} - 3 = -4\)
\(-p^{2} = -1\)
\(p^{2} = 1\)
\(p = 1 ∨ p = -1\)

1p

opgave 2

Voor elke waarde van \(p\) is de functie \(f_{p}\) gegeven door \(f_{p} (x) = -4 x^{2} + p x + 2 \text{.}\)

4p

Bereken exact voor welke \(p\) de top van de grafiek van \(f_{p}\) op de lijn \(y = x + 2\) ligt.

TopVanParabool (2)
00ss - Extremen met een parameter - basis - 17ms - data pool: #2639 (17ms)

○

\(x_{\text{top}} = {-p \over 2 ⋅ -4} = \frac{1}{8} p\)

1p

○

\(y_{\text{top}} = f_{p} (\frac{1}{8} p)\)
\(\text{} = -4 ⋅ (\frac{1}{8} p)^{2} + p ⋅ \frac{1}{8} p + 2\)
\(\text{} = -4 ⋅ \frac{1}{64} p^{2} + \frac{1}{8} p^{2} + 2\)
\(\text{} = \frac{1}{16} p^{2} + 2\)

1p

○

\(\begin{rcases}(\frac{1}{8} p , \frac{1}{16} p^{2} + 2) \\ y = x + 2\end{rcases} \begin{matrix}\frac{1}{16} p^{2} + 2 = \frac{1}{8} p + 2\end{matrix}\)

1p

○

\(\frac{1}{16} p^{2} - \frac{1}{8} p = 0\)
\(p^{2} - 2 p = 0\)
\(p (p - 2) = 0\)
\(p = 0 ∨ p = 2\)

1p

opgave 3

Van de functie \(f_{p} (x) = p x^{2} + 3 x - 3\) is de extreme waarde \(6 \text{.}\)

3p

a

Bereken exact de waarde van \(p \text{.}\)

1p

b

Is de extreme waarde een maximum of een minimum? Licht toe.

TopVanParabool (3)
00st - Extremen met een parameter - basis - 2ms - data pool: #364 (2ms)

a

\(x_{\text{top}} = {-3 \over 2 ⋅ p} = -{3 \over 2 p}\)

1p

○

\(y_{\text{top}} = f_{p} (-{3 \over 2 p})\)
\(\text{} = p ⋅ (-{3 \over 2 p})^{2} + 3 ⋅ -{3 \over 2 p} - 3\)
\(\text{} = p ⋅ {9 \over 4 p^{2}} - {9 \over 2 p} - 3\)
\(\text{} = {9 \over 4 p} - {9 \over 2 p} - 3\)
\(\text{} = -{9 \over 4 p} - 3\)

1p

○

(De extreme waarde is \(6\) geeft)
\(-{9 \over 4 p} - 3 = 6\)
\(-{9 \over 4 p} = 9\)
\(4 p = {-9 \over 9} = -1\)
\(p = -\frac{1}{4}\)

1p

b

\(f_{-\frac{1}{4}} (x) = -\frac{1}{4} x^{2} + 3 x - 3\)
De grafiek is een bergparabool, dus de extreme waarde is een maximum.

1p
"