Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Exponentiële en logaritmische vergelijkingen'.

vwo wiskunde B 5.3 Exponentiële functies

Exponentiële en logaritmische vergelijkingen (4)

opgave 1

Los exact op.

3p

a

\(4^{2t-1}=16\sqrt[3]{4}\)

ExponentieelGelijkGrondtal (2)
006e - Exponentiële en logaritmische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

a

\(4^{2t-1}=16\sqrt[3]{4}=4^2⋅4^{\frac{1}{3}}=4^{2\frac{1}{3}}\text{.}\)

1p

\(g^A=g^B\) geeft \(A=B\text{,}\) dus \(2t-1=2\frac{1}{3}\text{.}\)

1p

Balansmethode geeft \(t=1\frac{2}{3}\text{.}\)

1p

4p

b

\(3⋅2^{3x+2}-4=2\)

ExponentieelGelijkGrondtal (3)
006f - Exponentiële en logaritmische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

b

Balansmethode geeft \(3⋅2^{3x+2}=6\) dus \(2^{3x+2}=2\text{.}\)

1p

\(2=2^1\text{,}\) dus \(2^{3x+2}=2^1\text{.}\)

1p

\(g^A=g^B\) geeft \(A=B\text{,}\) dus \(3x+2=1\text{.}\)

1p

Balansmethode geeft \(x=-\frac{1}{3}\text{.}\)

1p

4p

c

\(256⋅4^x=16^{x+2}\)

ExponentieelGelijkGrondtal (4)
006g - Exponentiële en logaritmische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

c

Grondtal gelijk maken geeft \(4^4⋅4^x=(4^2)^{x+2}\text{.}\)

1p

Herleiden geeft \(4^{x+4}=4^{2x+4}\text{.}\)

1p

\(g^A=g^B\) geeft \(A=B\text{,}\) dus \(x+4=2x+4\text{.}\)

1p

Balansmethode geeft \(x=0\text{.}\)

1p

2p

d

\(5^{t+3}=25\)

ExponentieelGelijkGrondtal (1)
006i - Exponentiële en logaritmische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

d

\(5^{t+3}=25=5^2\text{.}\)

1p

\(g^A=g^B\) geeft \(A=B\text{,}\) dus \(t+3=2\)
Balansmethode geeft \(t=-1\text{.}\)

1p

vwo wiskunde B 5.4 Logaritmen

Exponentiële en logaritmische vergelijkingen (2)

opgave 1

Los exact op.

4p

a

\(4⋅5^{3x-2}+1=397\)

ExponentieelMetLog (2)
006h - Exponentiële en logaritmische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

a

Balansmethode geeft \(4⋅5^{3x-2}=396\) dus \(5^{3x-2}=99\text{.}\)

1p

\(3x-2={}^{5}\!\log(99)\text{.}\)

1p

Balansmethode geeft \(3x={}^{5}\!\log(99)+2\)

1p

en dus \(x={1 \over 3}⋅{}^{5}\!\log(99)+\frac{2}{3}\text{.}\)

1p

2p

b

\(2^{q+5}=6\)

ExponentieelMetLog (1)
006j - Exponentiële en logaritmische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

b

\(q+5={}^{2}\!\log(6)\text{.}\)

1p

Balansmethode geeft \(q={}^{2}\!\log(6)-5\text{.}\)

1p

vwo wiskunde B 9.1 Rekenregels voor logaritmen

Exponentiële en logaritmische vergelijkingen (5)

opgave 1

Los exact op.

2p

a

\({}^{3}\!\log(2q+3)=2\)

Logaritme (1)
0077 - Exponentiële en logaritmische vergelijkingen - basis - 3ms - dynamic variables

a

Uit de definitie van logaritme volgt \(2q+3=3^2=9\text{.}\)

1p

Balansmethode geeft \(2q=6\) dus \(q=3\text{.}\)

1p

3p

b

\(5+4⋅{}^{5}\!\log(-2x+1)=9\)

Logaritme (2)
0078 - Exponentiële en logaritmische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

b

Balansmethode geeft \({}^{5}\!\log(-2x+1)=1\text{.}\)

1p

Uit de definitie van logaritme volgt \(-2x+1=5^1=5\text{.}\)

1p

Balansmethode geeft \(-2x=4\) dus \(x=-2\text{.}\)

1p

4p

c

\({}^{4}\!\log(2q-4)+{}^{4}\!\log(q)=2\)

LogaritmeOptellen (1)
0079 - Exponentiële en logaritmische vergelijkingen - basis - 3ms - dynamic variables

c

De rekenregels voor logaritme geeft \({}^{4}\!\log(2q^2-4q)=2\text{.}\)

1p

Uit de definitie van logaritme volgt \(2q^2-4q=4^2=16\text{.}\)

1p

Kwadratische vergelijking oplossen geeft \(q=-2∨q=4\text{.}\)

1p

\(q=-2\) voldoet niet.

1p

4p

d

\({}^{3}\!\log(x-5)=1-{}^{3}\!\log(x-3)\)

LogaritmeOptellen (2)
007a - Exponentiële en logaritmische vergelijkingen - basis - 10ms - dynamic variables

d

Balansmethode geeft \({}^{3}\!\log(x-5)+{}^{3}\!\log(x-3)=1\text{.}\)
De rekenregels voor logaritme geeft \({}^{3}\!\log((x-5)(x-3))=1\text{.}\)

1p

Uit de definitie van logaritme volgt \((x-5)(x-3)=3^1=3\text{.}\)

1p

Haakjes uitwerken geeft \(x^2-8x+15=3\text{.}\)
Alle termen naar één kant geeft \(x^2-8x+12=0\text{.}\)
Som-productmethode geeft\((x-2)(x-6)=0\text{.}\)
Dus \(x=2∨x=6\text{.}\)

1p

\(x=2\) voldoet niet.

1p

opgave 2

Los exact op.

4p

\({}^{2}\!\log(-5x-1)-{}^{2}\!\log(x+2)=2\)

LogaritmeOptellen (3)
007b - Exponentiële en logaritmische vergelijkingen - basis - 73ms - dynamic variables

Getal als logaritme schrijven geeft \(2={}^{2}\!\log(2^2)={}^{2}\!\log(4)\text{.}\)

1p

Balansmethode geeft \({}^{2}\!\log(-5x-1)={}^{2}\!\log(4)+{}^{2}\!\log(x+2)\text{.}\)
De rekenregels voor logaritme geeft \({}^{2}\!\log(-5x-1)={}^{2}\!\log(4(x+2))\text{.}\)

1p

\({}^{g}\!\log(A)={}^{g}\!\log(B)\) geeft \(A=B\text{,}\) dus \(-5x-1=4(x+2)\text{.}\)

1p

Haakjes uitwerken geeft \(-5x-1=4x+8\text{.}\)
Balansmethode geeft \(-9x=9\text{,}\) dus \(x=-1\) (en deze voldoet).

1p

"