Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Exponentiële en logaritmische vergelijkingen'.

vwo wiskunde B 5.3 Exponentiële functies

Exponentiële en logaritmische vergelijkingen (4)

opgave 1

Los exact op.

3p

a

\(2^{2x-3}=4\sqrt{2}\)

ExponentieelGelijkGrondtal (2)
006e - Exponentiële en logaritmische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

a

\(2^{2x-3}=4\sqrt{2}=2^2⋅2^{\frac{1}{2}}=2^{2\frac{1}{2}}\text{.}\)

1p

\(g^A=g^B\) geeft \(A=B\text{,}\) dus \(2x-3=2\frac{1}{2}\text{.}\)

1p

Balansmethode geeft \(x=2\frac{3}{4}\text{.}\)

1p

4p

b

\(3⋅2^{3x-1}+2=14\)

ExponentieelGelijkGrondtal (3)
006f - Exponentiële en logaritmische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

b

Balansmethode geeft \(3⋅2^{3x-1}=12\) dus \(2^{3x-1}=4\text{.}\)

1p

\(4=2^2\text{,}\) dus \(2^{3x-1}=2^2\text{.}\)

1p

\(g^A=g^B\) geeft \(A=B\text{,}\) dus \(3x-1=2\text{.}\)

1p

Balansmethode geeft \(x=1\text{.}\)

1p

4p

c

\(2⋅2^q=4^{q+3}\)

ExponentieelGelijkGrondtal (4)
006g - Exponentiële en logaritmische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

c

Grondtal gelijk maken geeft \(2^1⋅2^q=(2^2)^{q+3}\text{.}\)

1p

Herleiden geeft \(2^{q+1}=2^{2q+6}\text{.}\)

1p

\(g^A=g^B\) geeft \(A=B\text{,}\) dus \(q+1=2q+6\text{.}\)

1p

Balansmethode geeft \(q=-5\text{.}\)

1p

2p

d

\(5^{x+2}=625\)

ExponentieelGelijkGrondtal (1)
006i - Exponentiële en logaritmische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

d

\(5^{x+2}=625=5^4\text{.}\)

1p

\(g^A=g^B\) geeft \(A=B\text{,}\) dus \(x+2=4\)
Balansmethode geeft \(x=2\text{.}\)

1p

vwo wiskunde B 5.4 Logaritmen

Exponentiële en logaritmische vergelijkingen (2)

opgave 1

Los exact op.

4p

a

\(3⋅2^{2q+3}+4=19\)

ExponentieelMetLog (2)
006h - Exponentiële en logaritmische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

a

Balansmethode geeft \(3⋅2^{2q+3}=15\) dus \(2^{2q+3}=5\text{.}\)

1p

\(2q+3={}^{2}\!\log(5)\text{.}\)

1p

Balansmethode geeft \(2q={}^{2}\!\log(5)-3\)

1p

en dus \(q={1 \over 2}⋅{}^{2}\!\log(5)-1\frac{1}{2}\text{.}\)

1p

2p

b

\(5^{x+3}=122\)

ExponentieelMetLog (1)
006j - Exponentiële en logaritmische vergelijkingen - basis - 1ms - dynamic variables

b

\(x+3={}^{5}\!\log(122)\text{.}\)

1p

Balansmethode geeft \(x={}^{5}\!\log(122)-3\text{.}\)

1p

vwo wiskunde B 9.1 Rekenregels voor logaritmen

Exponentiële en logaritmische vergelijkingen (5)

opgave 1

Los exact op.

2p

a

\({}^{2}\!\log(-3x-4)=1\)

Logaritme (1)
0077 - Exponentiële en logaritmische vergelijkingen - basis - 3ms - dynamic variables

a

Uit de definitie van logaritme volgt \(-3x-4=2^1=2\text{.}\)

1p

Balansmethode geeft \(-3x=6\) dus \(x=-2\text{.}\)

1p

3p

b

\(2+5⋅{}^{3}\!\log(2t-1)=12\)

Logaritme (2)
0078 - Exponentiële en logaritmische vergelijkingen - basis - 0ms - dynamic variables

b

Balansmethode geeft \({}^{3}\!\log(2t-1)=2\text{.}\)

1p

Uit de definitie van logaritme volgt \(2t-1=3^2=9\text{.}\)

1p

Balansmethode geeft \(2t=10\) dus \(t=5\text{.}\)

1p

4p

c

\({}^{5}\!\log(2x-5)+{}^{5}\!\log(x)=2\)

LogaritmeOptellen (1)
0079 - Exponentiële en logaritmische vergelijkingen - basis - 3ms - dynamic variables

c

De rekenregels voor logaritme geeft \({}^{5}\!\log(2x^2-5x)=2\text{.}\)

1p

Uit de definitie van logaritme volgt \(2x^2-5x=5^2=25\text{.}\)

1p

Kwadratische vergelijking oplossen geeft \(x=-2\frac{1}{2}∨x=5\text{.}\)

1p

\(x=-2\frac{1}{2}\) voldoet niet.

1p

4p

d

\({}^{4}\!\log(q+1)=1-{}^{4}\!\log(q-2)\)

LogaritmeOptellen (2)
007a - Exponentiële en logaritmische vergelijkingen - basis - 10ms - dynamic variables

d

Balansmethode geeft \({}^{4}\!\log(q+1)+{}^{4}\!\log(q-2)=1\text{.}\)
De rekenregels voor logaritme geeft \({}^{4}\!\log((q+1)(q-2))=1\text{.}\)

1p

Uit de definitie van logaritme volgt \((q+1)(q-2)=4^1=4\text{.}\)

1p

Haakjes uitwerken geeft \(q^2-q-2=4\text{.}\)
Alle termen naar één kant geeft \(q^2-q-6=0\text{.}\)
Som-productmethode geeft\((q+2)(q-3)=0\text{.}\)
Dus \(q=-2∨q=3\text{.}\)

1p

\(q=-2\) voldoet niet.

1p

opgave 2

Los exact op.

4p

\({}^{3}\!\log(5x-5)-{}^{3}\!\log(x+1)=1\)

LogaritmeOptellen (3)
007b - Exponentiële en logaritmische vergelijkingen - basis - 73ms - dynamic variables

Getal als logaritme schrijven geeft \(1={}^{3}\!\log(3^1)={}^{3}\!\log(3)\text{.}\)

1p

Balansmethode geeft \({}^{3}\!\log(5x-5)={}^{3}\!\log(3)+{}^{3}\!\log(x+1)\text{.}\)
De rekenregels voor logaritme geeft \({}^{3}\!\log(5x-5)={}^{3}\!\log(3(x+1))\text{.}\)

1p

\({}^{g}\!\log(A)={}^{g}\!\log(B)\) geeft \(A=B\text{,}\) dus \(5x-5=3(x+1)\text{.}\)

1p

Haakjes uitwerken geeft \(5x-5=3x+3\text{.}\)
Balansmethode geeft \(2x=8\text{,}\) dus \(x=4\) (en deze voldoet).

1p

"