Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'De vergelijking van een cirkel'.

vwo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
De vergelijking van een cirkel (10)	opgave 1 Gegeven is het punt \(M(-4, 1)\text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(3\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (1) 00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(c{:}\,(x+4)^2+(y-1)^2=9\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de punten \(M(2, -4)\) en \(A(6, -2)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat. MiddelpuntDoorPunt 00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(r=d(M, A)=\sqrt{(2-6)^2+(-4--2)^2}=\sqrt{20}\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x-2)^2+(y+4)^2=20\text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de punten \(A(-6, 5)\) en \(B(-4, 7)\text{.}\) 3p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\) Middellijn 00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus \(M({1 \over 2}(-6+-4), {1 \over 2}(5+7))=M(-5, 6)\text{.}\) 1p ○ \(r=d(M, A)=\sqrt{(-5--6)^2+(6-5)^2}=\sqrt{2}\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x+5)^2+(y-6)^2=2\text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven is het punt \(M(-1, -2)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(x\text{-}\)as. MiddelpuntRaaktAanAs 00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Cirkel \(c\) raakt aan de \(x\text{-}\)as, dus \(r=d(M, x\text{-as})=2\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x+1)^2+(y+2)^2=4\text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is het punt \(M(0, -5)\text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(6\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (2) 00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,x^2+(y+5)^2=36\text{.}\) 1p opgave 6 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-14x+12y+81=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (1) 00ba - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2-14x+12y+81=0\) \((x-7)^2-49+(y+6)^2-36+81=0\) \((x-7)^2+(y+6)^2=4\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(7, -6)\) en \(r=\sqrt{4}=2\text{.}\) 1p opgave 7 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-2x+3y=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (2) 00bb - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2-2x+3y=0\) \((x-1)^2-1+(y+1\frac{1}{2})^2-2\frac{1}{4}+0=0\) \((x-1)^2+(y+1\frac{1}{2})^2=3\frac{1}{4}\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(1, -1\frac{1}{2})\) en \(r=\sqrt{3\frac{1}{4}}\text{.}\) 1p opgave 8 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+4x-21=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (3) 00bc - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2+4x-21=0\) \((x+2)^2-4+y^2-21=0\) \((x+2)^2+y^2=25\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(-2, 0)\) en \(r=\sqrt{25}=5\text{.}\) 1p opgave 9 Gegeven is het punt \(M(-5, 4)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(6\text{.}\) Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (3) 00bx - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,(x+5)^2+(y-4)^2=36\text{.}\) 1p ○ Haakjes wegwerken geeft \(x^2+10x+25+y^2-8y+16=36\) en dus \(c{:}\,x^2+y^2+10x-8y+5=0\text{.}\) 1p opgave 10 Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=5x+4\) ligt, die straal \(2\) hebben en die de \(y\text{-}\)as raken. 4p Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op. MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs 00es - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ De cirkels raken de \(y\text{-}\)as en hebben straal \(2\text{,}\) dus \(x_M=2\) of \(x_M=-2\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=5x+4 \\ x_M=2\end{rcases}\text{ geeft }y_M=5⋅2+4=14\) 1p ○ Middelpunt \(M_1(2, 14)\) en straal \(r=2\text{,}\) dus \(c_1{:}\,(x-2)^2+(y-14)^2=4\) 1p ○ Op dezelfde manier geldt dat \(\begin{rcases}y=5x+4 \\ x_M=-2\end{rcases}\text{ geeft }y_M=5⋅-2+4=-6\) Middelpunt \(M_2(-2, -6)\) en straal \(r=2\text{,}\) dus \(c_2{:}\,(x+2)^2+(y+6)^2=4\) 1p

vwo wiskunde B

7.3 Cirkelvergelijkingen

De vergelijking van een cirkel (10)

opgave 1

Gegeven is het punt \(M(-4, 1)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(3\text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (1)

00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms

○

\(c{:}\,(x+4)^2+(y-1)^2=9\text{.}\)

opgave 2

Gegeven zijn de punten \(M(2, -4)\) en \(A(6, -2)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat.

MiddelpuntDoorPunt

00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

\(r=d(M, A)=\sqrt{(2-6)^2+(-4--2)^2}=\sqrt{20}\text{.}\)

○

\(c{:}\,(x-2)^2+(y+4)^2=20\text{.}\)

opgave 3

Gegeven zijn de punten \(A(-6, 5)\) en \(B(-4, 7)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\)

Middellijn

00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus
\(M({1 \over 2}(-6+-4), {1 \over 2}(5+7))=M(-5, 6)\text{.}\)

○

\(r=d(M, A)=\sqrt{(-5--6)^2+(6-5)^2}=\sqrt{2}\text{.}\)

○

\(c{:}\,(x+5)^2+(y-6)^2=2\text{.}\)

opgave 4

Gegeven is het punt \(M(-1, -2)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(x\text{-}\)as.

MiddelpuntRaaktAanAs

00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Cirkel \(c\) raakt aan de \(x\text{-}\)as, dus \(r=d(M, x\text{-as})=2\text{.}\)

○

\(c{:}\,(x+1)^2+(y+2)^2=4\text{.}\)

opgave 5

Gegeven is het punt \(M(0, -5)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(6\text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (2)

00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

\(c{:}\,x^2+(y+5)^2=36\text{.}\)

opgave 6

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-14x+12y+81=0\text{.}\)

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (1)

00ba - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-14x+12y+81=0\)
\((x-7)^2-49+(y+6)^2-36+81=0\)
\((x-7)^2+(y+6)^2=4\text{.}\)

○

Dus \(M(7, -6)\) en \(r=\sqrt{4}=2\text{.}\)

opgave 7

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-2x+3y=0\text{.}\)

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (2)

00bb - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-2x+3y=0\)
\((x-1)^2-1+(y+1\frac{1}{2})^2-2\frac{1}{4}+0=0\)
\((x-1)^2+(y+1\frac{1}{2})^2=3\frac{1}{4}\text{.}\)

○

Dus \(M(1, -1\frac{1}{2})\) en \(r=\sqrt{3\frac{1}{4}}\text{.}\)

opgave 8

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+4x-21=0\text{.}\)

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (3)

00bc - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+4x-21=0\)
\((x+2)^2-4+y^2-21=0\)
\((x+2)^2+y^2=25\text{.}\)

○

Dus \(M(-2, 0)\) en \(r=\sqrt{25}=5\text{.}\)

opgave 9

Gegeven is het punt \(M(-5, 4)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(6\text{.}\)
Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (3)

00bx - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

\(c{:}\,(x+5)^2+(y-4)^2=36\text{.}\)

○

Haakjes wegwerken geeft
\(x^2+10x+25+y^2-8y+16=36\)
en dus
\(c{:}\,x^2+y^2+10x-8y+5=0\text{.}\)

opgave 10

Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=5x+4\) ligt, die straal \(2\) hebben en die de \(y\text{-}\)as raken.

Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op.

MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs

00es - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms

○

De cirkels raken de \(y\text{-}\)as en hebben straal \(2\text{,}\) dus \(x_M=2\) of \(x_M=-2\text{.}\)

○

\(\begin{rcases}y=5x+4 \\ x_M=2\end{rcases}\text{ geeft }y_M=5⋅2+4=14\)

○

Middelpunt \(M_1(2, 14)\) en straal \(r=2\text{,}\) dus
\(c_1{:}\,(x-2)^2+(y-14)^2=4\)

○

Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y=5x+4 \\ x_M=-2\end{rcases}\text{ geeft }y_M=5⋅-2+4=-6\)
Middelpunt \(M_2(-2, -6)\) en straal \(r=2\text{,}\) dus
\(c_2{:}\,(x+2)^2+(y+6)^2=4\)