Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'De vergelijking van een cirkel'.

vwo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
De vergelijking van een cirkel (10)	opgave 1 Gegeven is het punt \(M(-5, -4)\text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(2\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (1) 00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(c{:}\,(x+5)^2+(y+4)^2=4\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de punten \(M(2, -3)\) en \(A(4, 1)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat. MiddelpuntDoorPunt 00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(r=d(M, A)=\sqrt{(2-4)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{20}\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x-2)^2+(y+3)^2=20\text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de punten \(A(5, 2)\) en \(B(-6, 3)\text{.}\) 3p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\) Middellijn 00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus \(M({1 \over 2}(5+-6), {1 \over 2}(2+3))=M(-\frac{1}{2}, 2\frac{1}{2})\text{.}\) 1p ○ \(r=d(M, A)=\sqrt{(-\frac{1}{2}-5)^2+(2\frac{1}{2}-2)^2}=\sqrt{30\frac{1}{2}}\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x+\frac{1}{2})^2+(y-2\frac{1}{2})^2=30\frac{1}{2}\text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven is het punt \(M(3, 1)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(y\text{-}\)as. MiddelpuntRaaktAanAs 00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Cirkel \(c\) raakt aan de \(y\text{-}\)as, dus \(r=d(M, y\text{-as})=3\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x-3)^2+(y-1)^2=9\text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is het punt \(M(7, 0)\text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(6\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (2) 00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,(x-7)^2+y^2=36\text{.}\) 1p opgave 6 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+2x+4y-4=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (1) 00ba - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2+2x+4y-4=0\) \((x+1)^2-1+(y+2)^2-4-4=0\) \((x+1)^2+(y+2)^2=9\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(-1, -2)\) en \(r=\sqrt{9}=3\text{.}\) 1p opgave 7 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-7x-4y=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (2) 00bb - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2-7x-4y=0\) \((x-3\frac{1}{2})^2-12\frac{1}{4}+(y-2)^2-4+0=0\) \((x-3\frac{1}{2})^2+(y-2)^2=16\frac{1}{4}\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(3\frac{1}{2}, 2)\) en \(r=\sqrt{16\frac{1}{4}}\text{.}\) 1p opgave 8 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+14y+45=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (3) 00bc - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2+14y+45=0\) \(x^2+(y+7)^2-49+45=0\) \(x^2+(y+7)^2=4\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(0, -7)\) en \(r=\sqrt{4}=2\text{.}\) 1p opgave 9 Gegeven is het punt \(M(0, -1)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(2\text{.}\) Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (3) 00bx - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,x^2+(y+1)^2=4\text{.}\) 1p ○ Haakjes wegwerken geeft \(x^2+y^2+2y+1=4\) en dus \(c{:}\,x^2+y^2+2y-3=0\text{.}\) 1p opgave 10 Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=4x+1\) ligt, die straal \(3\) hebben en die de \(y\text{-}\)as raken. 4p Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op. MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs 00es - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ De cirkels raken de \(y\text{-}\)as en hebben straal \(3\text{,}\) dus \(x_M=3\) of \(x_M=-3\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=4x+1 \\ x_M=3\end{rcases}\text{ geeft }y_M=4⋅3+1=13\) 1p ○ Middelpunt \(M_1(3, 13)\) en straal \(r=3\text{,}\) dus \(c_1{:}\,(x-3)^2+(y-13)^2=9\) 1p ○ Op dezelfde manier geldt dat \(\begin{rcases}y=4x+1 \\ x_M=-3\end{rcases}\text{ geeft }y_M=4⋅-3+1=-11\) Middelpunt \(M_2(-3, -11)\) en straal \(r=3\text{,}\) dus \(c_2{:}\,(x+3)^2+(y+11)^2=9\) 1p

vwo wiskunde B

7.3 Cirkelvergelijkingen

De vergelijking van een cirkel (10)

opgave 1

Gegeven is het punt \(M(-5, -4)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(2\text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (1)

00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms

○

\(c{:}\,(x+5)^2+(y+4)^2=4\text{.}\)

opgave 2

Gegeven zijn de punten \(M(2, -3)\) en \(A(4, 1)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat.

MiddelpuntDoorPunt

00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms

○

\(r=d(M, A)=\sqrt{(2-4)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{20}\text{.}\)

○

\(c{:}\,(x-2)^2+(y+3)^2=20\text{.}\)

opgave 3

Gegeven zijn de punten \(A(5, 2)\) en \(B(-6, 3)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\)

Middellijn

00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus
\(M({1 \over 2}(5+-6), {1 \over 2}(2+3))=M(-\frac{1}{2}, 2\frac{1}{2})\text{.}\)

○

\(r=d(M, A)=\sqrt{(-\frac{1}{2}-5)^2+(2\frac{1}{2}-2)^2}=\sqrt{30\frac{1}{2}}\text{.}\)

○

\(c{:}\,(x+\frac{1}{2})^2+(y-2\frac{1}{2})^2=30\frac{1}{2}\text{.}\)

opgave 4

Gegeven is het punt \(M(3, 1)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(y\text{-}\)as.

MiddelpuntRaaktAanAs

00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Cirkel \(c\) raakt aan de \(y\text{-}\)as, dus \(r=d(M, y\text{-as})=3\text{.}\)

○

\(c{:}\,(x-3)^2+(y-1)^2=9\text{.}\)

opgave 5

Gegeven is het punt \(M(7, 0)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(6\text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (2)

00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

\(c{:}\,(x-7)^2+y^2=36\text{.}\)

opgave 6

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+2x+4y-4=0\text{.}\)

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (1)

00ba - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+2x+4y-4=0\)
\((x+1)^2-1+(y+2)^2-4-4=0\)
\((x+1)^2+(y+2)^2=9\text{.}\)

○

Dus \(M(-1, -2)\) en \(r=\sqrt{9}=3\text{.}\)

opgave 7

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-7x-4y=0\text{.}\)

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (2)

00bb - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2-7x-4y=0\)
\((x-3\frac{1}{2})^2-12\frac{1}{4}+(y-2)^2-4+0=0\)
\((x-3\frac{1}{2})^2+(y-2)^2=16\frac{1}{4}\text{.}\)

○

Dus \(M(3\frac{1}{2}, 2)\) en \(r=\sqrt{16\frac{1}{4}}\text{.}\)

opgave 8

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+14y+45=0\text{.}\)

Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\)

Kwadraatafsplitsen (3)

00bc - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^2+y^2+14y+45=0\)
\(x^2+(y+7)^2-49+45=0\)
\(x^2+(y+7)^2=4\text{.}\)

○

Dus \(M(0, -7)\) en \(r=\sqrt{4}=2\text{.}\)

opgave 9

Gegeven is het punt \(M(0, -1)\text{.}\)

Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(2\text{.}\)
Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\)

MiddelpuntEnStraal (3)

00bx - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms

○

\(c{:}\,x^2+(y+1)^2=4\text{.}\)

○

Haakjes wegwerken geeft
\(x^2+y^2+2y+1=4\)
en dus
\(c{:}\,x^2+y^2+2y-3=0\text{.}\)

opgave 10

Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=4x+1\) ligt, die straal \(3\) hebben en die de \(y\text{-}\)as raken.

Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op.

MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs

00es - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms

○

De cirkels raken de \(y\text{-}\)as en hebben straal \(3\text{,}\) dus \(x_M=3\) of \(x_M=-3\text{.}\)

○

\(\begin{rcases}y=4x+1 \\ x_M=3\end{rcases}\text{ geeft }y_M=4⋅3+1=13\)

○

Middelpunt \(M_1(3, 13)\) en straal \(r=3\text{,}\) dus
\(c_1{:}\,(x-3)^2+(y-13)^2=9\)

○

Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y=4x+1 \\ x_M=-3\end{rcases}\text{ geeft }y_M=4⋅-3+1=-11\)
Middelpunt \(M_2(-3, -11)\) en straal \(r=3\text{,}\) dus
\(c_2{:}\,(x+3)^2+(y+11)^2=9\)