Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

vwo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A(2, -1)\) en \(B(-3, 2)\text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B\text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(d(A, B)=\sqrt{(2--3)^2+(-1-2)^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A(5, 2)\) en de lijn \(l{:}\,3x-y=3\text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #788 (97ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-x-3y=c \\ A(5, 2)\end{rcases}c=-1⋅5-3⋅2=-11\) Dus \(n{:}\,-x-3y=-11\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}3x-y=3 \\ -x-3y=-11\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 3\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}3x-y=3 \\ -3x-9y=-33\end{cases}\) Optellen geeft \(-10y=-30\) dus \(y=3\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}3x-y=3 \\ y=3\end{rcases}\begin{matrix}3x-1⋅3=3 \\ x=2\end{matrix}\) Dus \(S(2, 3)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(5-2)^2+(2-3)^2}=\sqrt{10}\text{.}\) 1p
vwo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+10y+9=0\) en het punt \(A(4, -1)\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A\text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 4ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+(y+5)^2=16\) Dus \(M(0, -5)\) en \(r=\sqrt{16}=4\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(0-4)^2+(-5--1)^2}=\sqrt{32}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(d(M, A)>r\text{,}\) dus \(d(c, A)=d(M, A)-r=\sqrt{32}-4\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkels \(c_1{:}\,x^2+y^2-6x+4y+1=0\) en \(c_2{:}\,(x+2)^2+(y-5)^2=5\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c_1\) en \(c_2\text{.}\) AfstandTussenTweeCirkels 00bu - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 4ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x-3)^2+(y+2)^2=12\) Dus \(M_1(3, -2)\) en \(r_1=\sqrt{12}\text{.}\) 1p ○ Het middelpunt van cirkel \(c_2\) is \(M_2(-2, 5)\text{,}\) dus \(d(M_1, M_2)=\sqrt{(3--2)^2+(-2-5)^2}=\sqrt{74}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(r_2=\sqrt{5}\text{,}\) dus \(d(c_1, c_2)=d(M_1, M_2)-r_1-r_2=\sqrt{74}-\sqrt{12}-\sqrt{5}\text{.}\) 1p

"