Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

vwo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (4 , -2)\) en \(B (9 , 0) \text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B \text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(d(A , B) = \sqrt{(4 - 9)^{2} + (-2 - 0)^{2}} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A (-4 , -5)\) en de lijn \(l{:}\,x - 3 y = 1 \text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #788 (51ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-3 x - y = c \\ A (-4 , -5)\end{rcases} c = -3 ⋅ -4 - 1 ⋅ -5 = 17\) Dus \(n{:}\,-3 x - y = 17 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}x - 3 y = 1 \\ -3 x - y = 17\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}3 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}3 x - 9 y = 3 \\ -3 x - y = 17\end{cases}\) Optellen geeft \(-10 y = 20\) dus \(y = -2 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}x - 3 y = 1 \\ y = -2\end{rcases} \begin{matrix}x - 3 ⋅ -2 = 1 \\ x = -5\end{matrix}\) Dus \(S (-5 , -2) \text{.}\) 1p ○ \(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(-4 - -5)^{2} + (-5 - -2)^{2}} = \sqrt{10} \text{.}\) 1p
vwo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 6 x + 10 y + 24 = 0\) en het punt \(A (-4 , -6) \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A \text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x + 3)^{2} + (y + 5)^{2} = 10\) Dus \(M (-3 , -5)\) en \(r = \sqrt{10} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(-3 - -4)^{2} + (-5 - -6)^{2}} = \sqrt{2} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(\sqrt{2} < \sqrt{10} \text{,}\) dus \(d(M , A) < r\) en dus \(d(c , A) = r - d(M , A) = \sqrt{10} - \sqrt{2} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkels \(c_{1}{:}\,x^{2} + y^{2} - 8 x - 12 y + 40 = 0\) en \(c_{2}{:}\,(x + 3)^{2} + (y + 3)^{2} = 7 \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c_{1}\) en \(c_{2} \text{.}\) AfstandTussenTweeCirkels 00bu - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x - 4)^{2} + (y - 6)^{2} = 12\) Dus \(M_{1} (4 , 6)\) en \(r_{1} = \sqrt{12} \text{.}\) 1p ○ Het middelpunt van cirkel \(c_{2}\) is \(M_{2} (-3 , -3) \text{,}\) dus \(d(M_{1} , M_{2}) = \sqrt{(4 - -3)^{2} + (6 - -3)^{2}} = \sqrt{130} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(r_{2} = \sqrt{7} \text{,}\) dus \(d(c_{1} , c_{2}) = d(M_{1} , M_{2}) - r_{1} - r_{2} = \sqrt{130} - \sqrt{12} - \sqrt{7} \text{.}\) 1p

"