Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

vwo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (2 , 3)\) en \(B (3 , -1) \text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B \text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(d(A , B) = \sqrt{(2 - 3)^{2} + (3 - -1)^{2}} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A (-5 , 2)\) en de lijn \(l{:}\,2 x - y = 3 \text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #788 (58ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-x - 2 y = c \\ A (-5 , 2)\end{rcases} c = -1 ⋅ -5 - 2 ⋅ 2 = 1\) Dus \(n{:}\,-x - 2 y = 1 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}2 x - y = 3 \\ -x - 2 y = 1\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2 x - y = 3 \\ -2 x - 4 y = 2\end{cases}\) Optellen geeft \(-5 y = 5\) dus \(y = -1 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}2 x - y = 3 \\ y = -1\end{rcases} \begin{matrix}2 x - 1 ⋅ -1 = 3 \\ x = 1\end{matrix}\) Dus \(S (1 , -1) \text{.}\) 1p ○ \(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(-5 - 1)^{2} + (2 - -1)^{2}} = \sqrt{45} \text{.}\) 1p
vwo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 4 x - 10 y + 24 = 0\) en het punt \(A (-1 , 2) \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A \text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x - 2)^{2} + (y - 5)^{2} = 5\) Dus \(M (2 , 5)\) en \(r = \sqrt{5} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(2 - -1)^{2} + (5 - 2)^{2}} = \sqrt{18} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(d(M , A) > r \text{,}\) dus \(d(c , A) = d(M , A) - r = \sqrt{18} - \sqrt{5} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkels \(c_{1}{:}\,x^{2} + y^{2} + 2 x + 10 y + 13 = 0\) en \(c_{2}{:}\,(x - 6)^{2} + (y - 3)^{2} = 8 \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c_{1}\) en \(c_{2} \text{.}\) AfstandTussenTweeCirkels 00bu - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x + 1)^{2} + (y + 5)^{2} = 13\) Dus \(M_{1} (-1 , -5)\) en \(r_{1} = \sqrt{13} \text{.}\) 1p ○ Het middelpunt van cirkel \(c_{2}\) is \(M_{2} (6 , 3) \text{,}\) dus \(d(M_{1} , M_{2}) = \sqrt{(-1 - 6)^{2} + (-5 - 3)^{2}} = \sqrt{113} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(r_{2} = \sqrt{8} \text{,}\) dus \(d(c_{1} , c_{2}) = d(M_{1} , M_{2}) - r_{1} - r_{2} = \sqrt{113}-\sqrt{13}-\sqrt{8} = \sqrt{113}-\sqrt{13}-2 \sqrt{2} \text{.}\) 1p

"