Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

vwo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (4 , 3)\) en \(B (8 , 6) \text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B \text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(d(A , B) = \sqrt{(4 - 8)^{2} + (3 - 6)^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A (-4 , 5)\) en de lijn \(l{:}\,2 x - 4 y = 2 \text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #788 (49ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-4 x - 2 y = c \\ A (-4 , 5)\end{rcases} c = -4 ⋅ -4 - 2 ⋅ 5 = 6\) Dus \(n{:}\,-4 x - 2 y = 6 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}2 x - 4 y = 2 \\ -4 x - 2 y = 6\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4 x - 8 y = 4 \\ -4 x - 2 y = 6\end{cases}\) Optellen geeft \(-10 y = 10\) dus \(y = -1 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}2 x - 4 y = 2 \\ y = -1\end{rcases} \begin{matrix}2 x - 4 ⋅ -1 = 2 \\ x = -1\end{matrix}\) Dus \(S (-1 , -1) \text{.}\) 1p ○ \(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(-4 - -1)^{2} + (5 - -1)^{2}} = \sqrt{45} \text{.}\) 1p
vwo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y - 5 = 0\) en het punt \(A (4 , 3) \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A \text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 3ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 10\) Dus \(M (2 , 1)\) en \(r = \sqrt{10} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(2 - 4)^{2} + (1 - 3)^{2}} = \sqrt{8} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(\sqrt{8} < \sqrt{10} \text{,}\) dus \(d(M , A) < r\) en dus \(d(c , A) = r - d(M , A) = \sqrt{10} - \sqrt{8} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkels \(c_{1}{:}\,x^{2} + y^{2} - 10 x + 4 y + 21 = 0\) en \(c_{2}{:}\,(x + 1)^{2} + (y - 6)^{2} = 9 \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c_{1}\) en \(c_{2} \text{.}\) AfstandTussenTweeCirkels 00bu - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x - 5)^{2} + (y + 2)^{2} = 8\) Dus \(M_{1} (5 , -2)\) en \(r_{1} = \sqrt{8} \text{.}\) 1p ○ Het middelpunt van cirkel \(c_{2}\) is \(M_{2} (-1 , 6) \text{,}\) dus \(d(M_{1} , M_{2}) = \sqrt{(5 - -1)^{2} + (-2 - 6)^{2}} = \sqrt{100} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(r_{2} = \sqrt{9} \text{,}\) dus \(d(c_{1} , c_{2}) = d(M_{1} , M_{2}) - r_{1} - r_{2} = \sqrt{100} - \sqrt{8} - \sqrt{9} \text{.}\) 1p

"