Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

vwo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A(-4, -3)\) en \(B(-5, -1)\text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B\text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(d(A, B)=\sqrt{(-4--5)^2+(-3--1)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A(-4, 3)\) en de lijn \(l{:}\,3x-y=-5\text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms - data pool: #1576 (120ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-x-3y=c \\ A(-4, 3)\end{rcases}c=-1⋅-4-3⋅3=-5\) Dus \(n{:}\,-x-3y=-5\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}3x-y=-5 \\ -x-3y=-5\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 3\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}3x-y=-5 \\ -3x-9y=-15\end{cases}\) Optellen geeft \(-10y=-20\) dus \(y=2\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}3x-y=-5 \\ y=2\end{rcases}\begin{matrix}3x-1⋅2=-5 \\ x=-1\end{matrix}\) Dus \(S(-1, 2)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(-4--1)^2+(3-2)^2}=\sqrt{10}\text{.}\) 1p
vwo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-4x=0\) en het punt \(A(3, 1)\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A\text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x-2)^2+y^2=4\) Dus \(M(2, 0)\) en \(r=\sqrt{4}=2\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(2-3)^2+(0-1)^2}=\sqrt{2}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(\sqrt{2}<\sqrt{4}\text{,}\) dus \(d(M, A)<r\) en dus \(d(c, A)=r-d(M, A)=2-\sqrt{2}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkels \(c_1{:}\,x^2+y^2+4x+10y+19=0\) en \(c_2{:}\,(x-5)^2+(y-2)^2=16\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c_1\) en \(c_2\text{.}\) AfstandTussenTweeCirkels 00bu - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x+2)^2+(y+5)^2=10\) Dus \(M_1(-2, -5)\) en \(r_1=\sqrt{10}\text{.}\) 1p ○ Het middelpunt van cirkel \(c_2\) is \(M_2(5, 2)\text{,}\) dus \(d(M_1, M_2)=\sqrt{(-2-5)^2+(-5-2)^2}=\sqrt{98}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(r_2=\sqrt{16}\text{,}\) dus \(d(c_1, c_2)=d(M_1, M_2)-r_1-r_2=\sqrt{98}-\sqrt{10}-\sqrt{16}\text{.}\) 1p

"