Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

vwo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (-1 , 4)\) en \(B (2 , 5) \text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B \text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(d(A , B) = \sqrt{(-1 - 2)^{2} + (4 - 5)^{2}} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A (5 , -4)\) en de lijn \(l{:}\,3 x + y = 1 \text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #788 (57ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,x - 3 y = c \\ A (5 , -4)\end{rcases} c = 1 ⋅ 5 - 3 ⋅ -4 = 17\) Dus \(n{:}\,x - 3 y = 17 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}3 x + y = 1 \\ x - 3 y = 17\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 3\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}3 x + y = 1 \\ 3 x - 9 y = 51\end{cases}\) Aftrekken geeft \(10 y = -50\) dus \(y = -5 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}3 x + y = 1 \\ y = -5\end{rcases} \begin{matrix}3 x + 1 ⋅ -5 = 1 \\ x = 2\end{matrix}\) Dus \(S (2 , -5) \text{.}\) 1p ○ \(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(5 - 2)^{2} + (-4 - -5)^{2}} = \sqrt{10} \text{.}\) 1p
vwo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 8 x - 10 y + 33 = 0\) en het punt \(A (-3 , 6) \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A \text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x + 4)^{2} + (y - 5)^{2} = 8\) Dus \(M (-4 , 5)\) en \(r = \sqrt{8} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(-4 - -3)^{2} + (5 - 6)^{2}} = \sqrt{2} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(\sqrt{2} < \sqrt{8} \text{,}\) dus \(d(M , A) < r\) en dus \(d(c , A) = r - d(M , A) = \sqrt{8} - \sqrt{2} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkels \(c_{1}{:}\,x^{2} + y^{2} - 16 x + 4 y + 57 = 0\) en \(c_{2}{:}\,(x - 1)^{2} + (y - 4)^{2} = 3 \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c_{1}\) en \(c_{2} \text{.}\) AfstandTussenTweeCirkels 00bu - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x - 8)^{2} + (y + 2)^{2} = 11\) Dus \(M_{1} (8 , -2)\) en \(r_{1} = \sqrt{11} \text{.}\) 1p ○ Het middelpunt van cirkel \(c_{2}\) is \(M_{2} (1 , 4) \text{,}\) dus \(d(M_{1} , M_{2}) = \sqrt{(8 - 1)^{2} + (-2 - 4)^{2}} = \sqrt{85} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(r_{2} = \sqrt{3} \text{,}\) dus \(d(c_{1} , c_{2}) = d(M_{1} , M_{2}) - r_{1} - r_{2} = \sqrt{85} - \sqrt{11} - \sqrt{3} \text{.}\) 1p

"