Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

vwo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (3 , -2)\) en \(B (6 , 2) \text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B \text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(d(A , B) = \sqrt{(3 - 6)^{2} + (-2 - 2)^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A (2 , 5)\) en de lijn \(l{:}\,4 x + 2 y = -2 \text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #788 (57ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,2 x - 4 y = c \\ A (2 , 5)\end{rcases} c = 2 ⋅ 2 - 4 ⋅ 5 = -16\) Dus \(n{:}\,2 x - 4 y = -16 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}4 x + 2 y = -2 \\ 2 x - 4 y = -16\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4 x + 2 y = -2 \\ 4 x - 8 y = -32\end{cases}\) Aftrekken geeft \(10 y = 30\) dus \(y = 3 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}4 x + 2 y = -2 \\ y = 3\end{rcases} \begin{matrix}4 x + 2 ⋅ 3 = -2 \\ x = -2\end{matrix}\) Dus \(S (-2 , 3) \text{.}\) 1p ○ \(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(2 - -2)^{2} + (5 - 3)^{2}} = \sqrt{20} \text{.}\) 1p
vwo wiskunde B	7.4 Afstanden en raaklijnen bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 8 x + 4 = 0\) en het punt \(A (-3 , 1) \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A \text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x + 4)^{2} + y^{2} = 12\) Dus \(M (-4 , 0)\) en \(r = \sqrt{12} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(-4 - -3)^{2} + (0 - 1)^{2}} = \sqrt{2} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(\sqrt{2} < \sqrt{12} \text{,}\) dus \(d(M , A) < r\) en dus \(d(c , A) = r - d(M , A) = \sqrt{12} - \sqrt{2} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkels \(c_{1}{:}\,x^{2} + y^{2} + 14 x + 2 y + 37 = 0\) en \(c_{2}{:}\,(x - 2)^{2} + (y - 7)^{2} = 16 \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c_{1}\) en \(c_{2} \text{.}\) AfstandTussenTweeCirkels 00bu - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x + 7)^{2} + (y + 1)^{2} = 13\) Dus \(M_{1} (-7 , -1)\) en \(r_{1} = \sqrt{13} \text{.}\) 1p ○ Het middelpunt van cirkel \(c_{2}\) is \(M_{2} (2 , 7) \text{,}\) dus \(d(M_{1} , M_{2}) = \sqrt{(-7 - 2)^{2} + (-1 - 7)^{2}} = \sqrt{145} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(r_{2} = \sqrt{16} \text{,}\) dus \(d(c_{1} , c_{2}) = d(M_{1} , M_{2}) - r_{1} - r_{2} = \sqrt{145} - \sqrt{13} - \sqrt{16} \text{.}\) 1p

"