Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

vwo wiskunde A 10.1 Exponentiële groei

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per jaar met \(1{,}6\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{jaar}} = {1{,}6 \over 100} + 1 = 1{,}016 \text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}016^{t} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}016^{x}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 43{,}667...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(43{,}7\) jaren.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per minuut met \(4{,}8\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{minuut}} = {-4{,}8 \over 100} + 1 = 0{,}952 \text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}952^{t} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 0{,}952^{x}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 14{,}091...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(14{,}1\) minuten.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(23{,}4\) dagen.

3p

Bereken de procentuele toename per dag.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per dag is de oplossing van de vergelijking \(g^{23{,}4} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{23{,}4}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 1{,}030...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}030... - 1) × 100\% = 3{,}0\%\) per dag.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(11{,}3\) dagen.

3p

Bereken de procentuele afname per dag.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per dag is de oplossing van de vergelijking \(g^{11{,}3} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{11{,}3}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 0{,}940...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}940... - 1) × 100\% = -5{,}9\%\) dus een procentuele afname van \(5{,}9\%\) per dag.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per seconde met \(2{,}3\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(60\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{seconde}} = {2{,}3 \over 100} + 1 = 1{,}023 \text{.}\)

1p

○

Een toename van \(60\%\) komt overeen met een factor \({60 \over 100} + 1 = 1{,}6 \text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}023^{t} = 1{,}6 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}023^{x}\)
\(y_{2} = 1{,}6\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 20{,}669...\)

1p

○

Dus duurt het \(20{,}7\) seconden voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(60\% \text{.}\)

1p
"