Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

vwo wiskunde A 10.1 Exponentiële groei

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per jaar met \(1{,}8\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{jaar}} = {1{,}8 \over 100} + 1 = 1{,}018 \text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}018^{t} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}018^{x}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 38{,}853...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(38{,}9\) jaren.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per seconde met \(4{,}1\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 1ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{seconde}} = {-4{,}1 \over 100} + 1 = 0{,}959 \text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}959^{t} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 0{,}959^{x}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 16{,}557...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(16{,}6\) seconden.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(20{,}9\) weken.

3p

Bereken de procentuele toename per week.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per week is de oplossing van de vergelijking \(g^{20{,}9} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{20{,}9}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 1{,}033...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}033... - 1) × 100\% = 3{,}4\%\) per week.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(24{,}9\) weken.

3p

Bereken de procentuele afname per week.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 1ms

○

De groeifactor per week is de oplossing van de vergelijking \(g^{24{,}9} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{24{,}9}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 0{,}972...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}972... - 1) × 100\% = -2{,}7\%\) dus een procentuele afname van \(2{,}7\%\) per week.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per dag met \(3{,}3\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(66\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{dag}} = {3{,}3 \over 100} + 1 = 1{,}033 \text{.}\)

1p

○

Een toename van \(66\%\) komt overeen met een factor \({66 \over 100} + 1 = 1{,}66 \text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}033^{t} = 1{,}66 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}033^{x}\)
\(y_{2} = 1{,}66\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 15{,}610...\)

1p

○

Dus duurt het \(15{,}6\) dagen voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(66\% \text{.}\)

1p
"