Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

vwo wiskunde A 10.1 Exponentiële groei

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per uur met \(1{,}2\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{uur}}={1{,}2 \over 100}+1=1{,}012\text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}012^t=2\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=1{,}012^x\)
\(y_2=2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=58{,}108...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(58{,}1\) uur.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per week met \(4{,}6\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{week}}={-4{,}6 \over 100}+1=0{,}954\text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}954^t=0{,}5\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=0{,}954^x\)
\(y_2=0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=14{,}719...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(14{,}7\) weken.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(12{,}6\) minuten.

3p

Bereken de procentuele toename per minuut.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per minuut is de oplossing van de vergelijking \(g^{12{,}6}=2\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=x^{12{,}6}\)
\(y_2=2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=1{,}056...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}056...-1)×100\%=5{,}7\%\) per minuut.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(22{,}9\) minuten.

3p

Bereken de procentuele afname per minuut.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per minuut is de oplossing van de vergelijking \(g^{22{,}9}=0{,}5\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=x^{22{,}9}\)
\(y_2=0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=0{,}970...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}970...-1)×100\%=-3{,}0\%\) dus een procentuele afname van \(3{,}0\%\) per minuut.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per kwartier met \(3{,}1\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(79\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 1ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{kwartier}}={3{,}1 \over 100}+1=1{,}031\text{.}\)

1p

○

Een toename van \(79\%\) komt overeen met een factor \({79 \over 100}+1=1{,}79\text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}031^t=1{,}79\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=1{,}031^x\)
\(y_2=1{,}79\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=19{,}070...\)

1p

○

Dus duurt het \(19{,}1\) kwartier voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(79\%\text{.}\)

1p
"