Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

vwo wiskunde A 10.1 Exponentiële groei

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per uur met \(5{,}3\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{uur}} = {5{,}3 \over 100} + 1 = 1{,}053 \text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}053^{t} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}053^{x}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 13{,}421...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(13{,}4\) uur.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per dag met \(1{,}9\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 1ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{dag}} = {-1{,}9 \over 100} + 1 = 0{,}981 \text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}981^{t} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 0{,}981^{x}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 36{,}133...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(36{,}1\) dagen.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(12{,}4\) jaren.

3p

Bereken de procentuele toename per jaar.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per jaar is de oplossing van de vergelijking \(g^{12{,}4} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{12{,}4}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 1{,}057...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}057... - 1) × 100\% = 5{,}7\%\) per jaar.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(24{,}8\) weken.

3p

Bereken de procentuele afname per week.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 1ms

○

De groeifactor per week is de oplossing van de vergelijking \(g^{24{,}8} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{24{,}8}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 0{,}972...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}972... - 1) × 100\% = -2{,}8\%\) dus een procentuele afname van \(2{,}8\%\) per week.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per uur met \(2{,}6\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(80\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{uur}} = {2{,}6 \over 100} + 1 = 1{,}026 \text{.}\)

1p

○

Een toename van \(80\%\) komt overeen met een factor \({80 \over 100} + 1 = 1{,}8 \text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}026^{t} = 1{,}8 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}026^{x}\)
\(y_{2} = 1{,}8\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 22{,}899...\)

1p

○

Dus duurt het \(22{,}9\) uur voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(80\% \text{.}\)

1p
"