Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

vwo wiskunde A 10.1 Exponentiële groei

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per jaar met \(5{,}5\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{jaar}}={5{,}5 \over 100}+1=1{,}055\text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}055^t=2\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=1{,}055^x\)
\(y_2=2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=12{,}946...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(12{,}9\) jaren.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per seconde met \(5{,}1\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{seconde}}={-5{,}1 \over 100}+1=0{,}949\text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}949^t=0{,}5\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=0{,}949^x\)
\(y_2=0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=13{,}241...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(13{,}2\) seconden.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(19{,}4\) jaren.

3p

Bereken de procentuele toename per jaar.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per jaar is de oplossing van de vergelijking \(g^{19{,}4}=2\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=x^{19{,}4}\)
\(y_2=2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=1{,}036...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}036...-1)×100\%=3{,}6\%\) per jaar.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(17{,}7\) uur.

3p

Bereken de procentuele afname per uur.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per uur is de oplossing van de vergelijking \(g^{17{,}7}=0{,}5\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=x^{17{,}7}\)
\(y_2=0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=0{,}961...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}961...-1)×100\%=-3{,}8\%\) dus een procentuele afname van \(3{,}8\%\) per uur.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per minuut met \(2{,}7\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(62\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{minuut}}={2{,}7 \over 100}+1=1{,}027\text{.}\)

1p

○

Een toename van \(62\%\) komt overeen met een factor \({62 \over 100}+1=1{,}62\text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}027^t=1{,}62\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=1{,}027^x\)
\(y_2=1{,}62\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=18{,}107...\)

1p

○

Dus duurt het \(18{,}1\) minuten voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(62\%\text{.}\)

1p
"