Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

vwo wiskunde A 10.1 Exponentiële groei

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per uur met \(4{,}2\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{uur}}={4{,}2 \over 100}+1=1{,}042\text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}042^t=2\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=1{,}042^x\)
\(y_2=2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=16{,}847...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(16{,}8\) uur.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per week met \(1{,}5\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{week}}={-1{,}5 \over 100}+1=0{,}985\text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}985^t=0{,}5\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=0{,}985^x\)
\(y_2=0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=45{,}862...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(45{,}9\) weken.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(13{,}5\) kwartier.

3p

Bereken de procentuele toename per kwartier.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per kwartier is de oplossing van de vergelijking \(g^{13{,}5}=2\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=x^{13{,}5}\)
\(y_2=2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=1{,}052...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}052...-1)×100\%=5{,}3\%\) per kwartier.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(23{,}2\) minuten.

3p

Bereken de procentuele afname per minuut.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per minuut is de oplossing van de vergelijking \(g^{23{,}2}=0{,}5\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=x^{23{,}2}\)
\(y_2=0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=0{,}970...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}970...-1)×100\%=-2{,}9\%\) dus een procentuele afname van \(2{,}9\%\) per minuut.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per uur met \(1{,}5\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(76\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{uur}}={1{,}5 \over 100}+1=1{,}015\text{.}\)

1p

○

Een toename van \(76\%\) komt overeen met een factor \({76 \over 100}+1=1{,}76\text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}015^t=1{,}76\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=1{,}015^x\)
\(y_2=1{,}76\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=37{,}969...\)

1p

○

Dus duurt het \(38{,}0\) uur voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(76\%\text{.}\)

1p
"