Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

vwo wiskunde A 10.1 Exponentiële groei

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per seconde met \(4{,}3\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{seconde}}={4{,}3 \over 100}+1=1{,}043\text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}043^t=2\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=1{,}043^x\)
\(y_2=2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=16{,}463...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(16{,}5\) seconden.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per minuut met \(2{,}4\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{minuut}}={-2{,}4 \over 100}+1=0{,}976\text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}976^t=0{,}5\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=0{,}976^x\)
\(y_2=0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=28{,}533...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(28{,}5\) minuten.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(22{,}9\) dagen.

3p

Bereken de procentuele toename per dag.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per dag is de oplossing van de vergelijking \(g^{22{,}9}=2\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=x^{22{,}9}\)
\(y_2=2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=1{,}030...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}030...-1)×100\%=3{,}1\%\) per dag.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(19{,}9\) minuten.

3p

Bereken de procentuele afname per minuut.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per minuut is de oplossing van de vergelijking \(g^{19{,}9}=0{,}5\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=x^{19{,}9}\)
\(y_2=0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=0{,}965...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}965...-1)×100\%=-3{,}4\%\) dus een procentuele afname van \(3{,}4\%\) per minuut.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per kwartier met \(3{,}8\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(80\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{kwartier}}={3{,}8 \over 100}+1=1{,}038\text{.}\)

1p

○

Een toename van \(80\%\) komt overeen met een factor \({80 \over 100}+1=1{,}8\text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}038^t=1{,}8\text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_1=1{,}038^x\)
\(y_2=1{,}8\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x=15{,}760...\)

1p

○

Dus duurt het \(15{,}8\) kwartier voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(80\%\text{.}\)

1p
"