Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Rijtjes en roosters'.

vwo wiskunde A	4.3 Rijtjes en roosters
Rijtjes en roosters (7)	opgave 1 1p a Beertje Pol eet \(5\) pannenkoeken, waarvan \(2\) met appel en de rest met spek. Op hoeveel verschillende volgordes kan hij deze eten? Aantal (1) 00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms a \(\text{aantal}=\binom{5}{2}=10\) 1p 1p b Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van zijn er mogelijk met \(2\) korte en \(4\) lange signalen? Aantal (2) 00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms b \(\text{aantal}=\binom{2+4}{2}=15\) 1p 1p c Sara maakt een letterrijtje van \(8\) letters, maar gebruikt alleen de letters A en B. Hoeveel rijtjes zijn er in totaal mogelijk? Totaal 00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms c \(\text{aantal}=2^8=256\) 1p 2p d Willem gooit \(10\) keer met een muntstuk. Hoeveel mogelijkheden zijn er om hoogstens \(2\) keer munt te gooien? Somregel 00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 1ms d Hoogstens \(2\) wil zeggen \(0\text{,}\) \(1\) of \(2\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{10}{0}+\binom{10}{1}+\binom{10}{2}=56\) 1p opgave 2 1p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\) Rooster (1) 00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms ○ \(3\) stappen naar rechts en \(7\) stappen omhoog, dus \(\text{aantal}=\binom{10}{3}=120\) 1p opgave 3 2p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\) Rooster (2) 00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{10}{6}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{10}{3}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{10}{6}⋅\binom{10}{3}=25\,200\) 1p opgave 4 3p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\) Rooster (3) 00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{10}{6}⋅\binom{5}{3}\text{.}\) 1p ○ Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{15}{9}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{15}{9}-\binom{10}{6}⋅\binom{5}{3}=2\,905\) 1p

4.3 Rijtjes en roosters

Rijtjes en roosters (7)

opgave 1

Beertje Pol eet \(5\) pannenkoeken, waarvan \(2\) met appel en de rest met spek. Op hoeveel verschillende volgordes kan hij deze eten?

Aantal (1)

00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms

\(\text{aantal}=\binom{5}{2}=10\)

Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van zijn er mogelijk met \(2\) korte en \(4\) lange signalen?

Aantal (2)

00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=\binom{2+4}{2}=15\)

Sara maakt een letterrijtje van \(8\) letters, maar gebruikt alleen de letters A en B. Hoeveel rijtjes zijn er in totaal mogelijk?

Totaal

00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=2^8=256\)

Willem gooit \(10\) keer met een muntstuk. Hoeveel mogelijkheden zijn er om hoogstens \(2\) keer munt te gooien?

Somregel

00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 1ms

Hoogstens \(2\) wil zeggen \(0\text{,}\) \(1\) of \(2\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{10}{0}+\binom{10}{1}+\binom{10}{2}=56\)

opgave 2

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\)

Rooster (1)

00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

○

\(3\) stappen naar rechts en \(7\) stappen omhoog, dus
\(\text{aantal}=\binom{10}{3}=120\)

opgave 3

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\)

Rooster (2)

00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{10}{6}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{10}{3}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{10}{6}⋅\binom{10}{3}=25\,200\)

opgave 4

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\)

Rooster (3)

00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{10}{6}⋅\binom{5}{3}\text{.}\)

○

Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{15}{9}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{15}{9}-\binom{10}{6}⋅\binom{5}{3}=2\,905\)