Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Redeneren met grenswaarden'.

vwo wiskunde A 14.3 Redeneren met formules

Redeneren met grenswaarden (8)

opgave 1

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(y = {540 \over 25 + 7 ⋅ 1{,}68^{x}}\)

Exponentieel (1)
00ka - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

a

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}68^{x}\) heel groot (want \(1{,}68 > 1 \text{)}\)

1p

○

Dus wordt \(7 ⋅ 1{,}68^{x}\) heel groot
en dus wordt \(25 + 7 ⋅ 1{,}68^{x}\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({540 \over 25 + 7 ⋅ 1{,}68^{x}}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0 \text{.}\)

1p

3p

b

\(y = {1\,950 \over 25 + 8 ⋅ 0{,}56^{x}}\)

Exponentieel (2)
00kb - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}56^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}56 < 1 \text{)}\)

1p

○

Dus nadert \(8 ⋅ 0{,}56^{x}\) naar \(0\)
en dus nadert \(25 + 8 ⋅ 0{,}56^{x}\) naar \(25 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \({1\,950 \over 25 + 8 ⋅ 0{,}56^{x}}\) naar \({1\,950 \over 25} = 78\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(78 \text{.}\)

1p

3p

c

\(y = 12 (3 + 0{,}12^{x})\)

Exponentieel (3)
00kc - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

c

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}12^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}12 < 1 \text{).}\)

1p

○

Dus nadert \(3 + 0{,}12^{x}\) naar \(3 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(12 (3 + 0{,}12^{x})\) naar \(12 ⋅ 3 = 36\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(36 \text{.}\)

1p

3p

d

\(y = 31 - {45 \over e^{x}}\)

Exponentieel (4)
00kd - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(e^{x}\) heel groot (want \(e > 1 \text{).}\)

1p

○

Dus nadert \({45 \over e^{x}}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(31 - {45 \over e^{x}}\) naar \(31\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(31 \text{.}\)

1p

opgave 2

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(y = 4 + {5 \over x^{8}}\)

Gebroken (1)
00on - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

a

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^{8}\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({5 \over x^{8}}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(4 + {5 \over x^{8}}\) naar \(4\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(4 \text{.}\)

1p

3p

b

\(y = {-2 x^{2} - 7 x \over -4 x^{2} + 3 x + 9}\)

Gebroken (2)
00oo - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepalen de hoogste machten van \(x\) in de teller en de noemer het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \({-2 x^{2} \over -4 x^{2}} \text{.}\)

1p

○

Er geldt \({-2 x^{2} \over -4 x^{2}} = {-2 \over -4} = \frac{1}{2} \text{.}\)

1p

○

De grenswaarde van \(y\) is dus \(\frac{1}{2} \text{.}\)

1p

3p

c

\(y = 20 - 30 ⋅ x^{-0{,}9}\)

Macht (2)
00oq - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

c

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(x^{-0{,}9}\) naar \(0 \text{,}\) want \(x^{-0{,}9} = {1 \over x^{0{,}9}}\) en \(x^{0{,}9}\) wordt heel groot als \(x\) heel groot wordt.

1p

○

Dus nadert \(-30 ⋅ x^{-0{,}9}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(20 - 30 x^{-0{,}9}\) naar \(20 \text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(20 \text{.}\)

1p

3p

d

\(y = 50 - 40 ⋅ 1{,}85^{-0{,}2 x}\)

Exponentieel (5)
00or - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Er geldt \(1{,}85^{-0{,}2 x} = {1 \over 1{,}85^{0{,}2 x}} \text{,}\) dus als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(0{,}2 x\) heel groot, dus wordt \(1{,}85^{0{,}2 x}\) heel groot (want \(1{,}85 > 1 \text{),}\) en dus nadert \({1 \over 1{,}85^{0{,}2 x}}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(-40 ⋅ 1{,}85^{-0{,}2 x}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(50 - 40 ⋅ 1{,}85^{-0{,}2 x}\) naar \(50 \text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(50 \text{.}\)

1p
"