Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Redeneren met grenswaarden'.

vwo wiskunde A 14.3 Redeneren met formules

Redeneren met grenswaarden (8)

opgave 1

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(y={530 \over 11+19⋅1{,}68^x}\)

Exponentieel (1)
00ka - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

a

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}68^x\) heel groot (want \(1{,}68>1\text{)}\)

1p

○

Dus wordt \(19⋅1{,}68^x\) heel groot
en dus wordt \(11+19⋅1{,}68^x\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({530 \over 11+19⋅1{,}68^x}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0\text{.}\)

1p

3p

b

\(y={6 \over 3+6⋅0{,}74^x}\)

Exponentieel (2)
00kb - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}74^x\) naar \(0\) (want \(0{,}74<1\text{)}\)

1p

○

Dus nadert \(6⋅0{,}74^x\) naar \(0\)
en dus nadert \(3+6⋅0{,}74^x\) naar \(3\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \({6 \over 3+6⋅0{,}74^x}\) naar \({6 \over 3}=2\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(2\text{.}\)

1p

3p

c

\(K=9(3+0{,}23^q)\)

Exponentieel (3)
00kc - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

c

Als \(q\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}23^q\) naar \(0\) (want \(0{,}23<1\text{).}\)

1p

○

Dus nadert \(3+0{,}23^q\) naar \(3\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(9(3+0{,}23^q)\) naar \(9⋅3=27\)
De grenswaarde van \(K\) is dus \(27\text{.}\)

1p

3p

d

\(W=49+{32 \over e^q}\)

Exponentieel (4)
00kd - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Als \(q\) heel groot wordt, dan wordt \(e^q\) heel groot (want \(e>1\text{).}\)

1p

○

Dus nadert \({32 \over e^q}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(49+{32 \over e^q}\) naar \(49\)
De grenswaarde van \(W\) is dus \(49\text{.}\)

1p

opgave 2

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(N=9-{6 \over t^2}\)

Gebroken (1)
00on - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

a

Als \(t\) heel groot wordt, dan wordt \(t^2\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({6 \over t^2}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(9-{6 \over t^2}\) naar \(9\)
De grenswaarde van \(N\) is dus \(9\text{.}\)

1p

3p

b

\(N={3t^3+8t+6 \over 9t^3-t^2-7t+5}\)

Gebroken (2)
00oo - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

b

Als \(t\) heel groot wordt, dan bepalen de hoogste machten van \(t\) in de teller en de noemer het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \({3t^3 \over 9t^3}\text{.}\)

1p

○

Er geldt \({3t^3 \over 9t^3}={3 \over 9}=\frac{1}{3}\text{.}\)

1p

○

De grenswaarde van \(N\) is dus \(\frac{1}{3}\text{.}\)

1p

3p

c

\(N=20-50⋅t^{-0{,}1}\)

Macht (2)
00oq - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

c

Als \(t\) heel groot wordt, dan nadert \(t^{-0{,}1}\) naar \(0\text{,}\) want \(t^{-0{,}1}={1 \over t^{0{,}1}}\) en \(t^{0{,}1}\) wordt heel groot als \(t\) heel groot wordt.

1p

○

Dus nadert \(-50⋅t^{-0{,}1}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(20-50t^{-0{,}1}\) naar \(20\text{.}\)
De grenswaarde van \(N\) is dus \(20\text{.}\)

1p

3p

d

\(R=20-90⋅e^{-0{,}6q}\)

Exponentieel (5)
00or - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Er geldt \(e^{-0{,}6q}={1 \over e^{0{,}6q}}\text{,}\) dus als \(q\) heel groot wordt, dan wordt \(0{,}6q\) heel groot, dus wordt \(e^{0{,}6q}\) heel groot (want \(e>1\text{),}\) en dus nadert \({1 \over e^{0{,}6q}}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(-90⋅e^{-0{,}6q}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(20-90⋅e^{-0{,}6q}\) naar \(20\text{.}\)
De grenswaarde van \(R\) is dus \(20\text{.}\)

1p
"