Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Redeneren met grenswaarden'.

vwo wiskunde A 14.3 Redeneren met formules

Redeneren met grenswaarden (8)

opgave 1

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(y = {890 \over 15 + 25 ⋅ e^{x}}\)

Exponentieel (1)
00ka - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

a

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(e^{x}\) heel groot (want \(e > 1 \text{)}\)

1p

○

Dus wordt \(25 ⋅ e^{x}\) heel groot
en dus wordt \(15 + 25 ⋅ e^{x}\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({890 \over 15 + 25 ⋅ e^{x}}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0 \text{.}\)

1p

3p

b

\(y = {30 \over 10 + 20 ⋅ 0{,}36^{x}}\)

Exponentieel (2)
00kb - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}36^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}36 < 1 \text{)}\)

1p

○

Dus nadert \(20 ⋅ 0{,}36^{x}\) naar \(0\)
en dus nadert \(10 + 20 ⋅ 0{,}36^{x}\) naar \(10 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \({30 \over 10 + 20 ⋅ 0{,}36^{x}}\) naar \({30 \over 10} = 3\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(3 \text{.}\)

1p

3p

c

\(y = 2 (1 - 0{,}71^{x})\)

Exponentieel (3)
00kc - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

c

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}71^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}71 < 1 \text{).}\)

1p

○

Dus nadert \(1 - 0{,}71^{x}\) naar \(1 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(2 (1 - 0{,}71^{x})\) naar \(2 ⋅ 1 = 2\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(2 \text{.}\)

1p

3p

d

\(y = 15 + {77 \over e^{x}}\)

Exponentieel (4)
00kd - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(e^{x}\) heel groot (want \(e > 1 \text{).}\)

1p

○

Dus nadert \({77 \over e^{x}}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(15 + {77 \over e^{x}}\) naar \(15\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(15 \text{.}\)

1p

opgave 2

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(y = 8 - {9 \over x^{6}}\)

Gebroken (1)
00on - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

a

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^{6}\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({9 \over x^{6}}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(8 - {9 \over x^{6}}\) naar \(8\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(8 \text{.}\)

1p

3p

b

\(y = {3 x^{2} - 6 x \over -5 x^{2} + 8 x - 2}\)

Gebroken (2)
00oo - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepalen de hoogste machten van \(x\) in de teller en de noemer het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \({3 x^{2} \over -5 x^{2}} \text{.}\)

1p

○

Er geldt \({3 x^{2} \over -5 x^{2}} = {3 \over -5} = -\frac{3}{5} \text{.}\)

1p

○

De grenswaarde van \(y\) is dus \(-\frac{3}{5} \text{.}\)

1p

3p

c

\(y = 60 - 90 ⋅ x^{-0{,}3}\)

Macht (2)
00oq - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

c

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(x^{-0{,}3}\) naar \(0 \text{,}\) want \(x^{-0{,}3} = {1 \over x^{0{,}3}}\) en \(x^{0{,}3}\) wordt heel groot als \(x\) heel groot wordt.

1p

○

Dus nadert \(-90 ⋅ x^{-0{,}3}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(60 - 90 x^{-0{,}3}\) naar \(60 \text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(60 \text{.}\)

1p

3p

d

\(y = 10 - 90 ⋅ 1{,}47^{-0{,}7 x}\)

Exponentieel (5)
00or - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Er geldt \(1{,}47^{-0{,}7 x} = {1 \over 1{,}47^{0{,}7 x}} \text{,}\) dus als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(0{,}7 x\) heel groot, dus wordt \(1{,}47^{0{,}7 x}\) heel groot (want \(1{,}47 > 1 \text{),}\) en dus nadert \({1 \over 1{,}47^{0{,}7 x}}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(-90 ⋅ 1{,}47^{-0{,}7 x}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(10 - 90 ⋅ 1{,}47^{-0{,}7 x}\) naar \(10 \text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(10 \text{.}\)

1p
"