Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Redeneren met grenswaarden'.

vwo wiskunde A 14.3 Redeneren met formules

Redeneren met grenswaarden (8)

opgave 1

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(y={210 \over 24+7⋅1{,}52^x}\)

Exponentieel (1)
00ka - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

a

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}52^x\) heel groot (want \(1{,}52>1\text{)}\)

1p

○

Dus wordt \(7⋅1{,}52^x\) heel groot
en dus wordt \(24+7⋅1{,}52^x\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({210 \over 24+7⋅1{,}52^x}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0\text{.}\)

1p

3p

b

\(y={208 \over 4+25⋅0{,}32^x}\)

Exponentieel (2)
00kb - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}32^x\) naar \(0\) (want \(0{,}32<1\text{)}\)

1p

○

Dus nadert \(25⋅0{,}32^x\) naar \(0\)
en dus nadert \(4+25⋅0{,}32^x\) naar \(4\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \({208 \over 4+25⋅0{,}32^x}\) naar \({208 \over 4}=52\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(52\text{.}\)

1p

3p

c

\(y=19(4+0{,}63^x)\)

Exponentieel (3)
00kc - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

c

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}63^x\) naar \(0\) (want \(0{,}63<1\text{).}\)

1p

○

Dus nadert \(4+0{,}63^x\) naar \(4\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(19(4+0{,}63^x)\) naar \(19⋅4=76\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(76\text{.}\)

1p

3p

d

\(y=22+{67 \over e^x}\)

Exponentieel (4)
00kd - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(e^x\) heel groot (want \(e>1\text{).}\)

1p

○

Dus nadert \({67 \over e^x}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(22+{67 \over e^x}\) naar \(22\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(22\text{.}\)

1p

opgave 2

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(y=-1-{2 \over x^5}\)

Gebroken (1)
00on - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

a

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^5\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({2 \over x^5}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(-1-{2 \over x^5}\) naar \(-1\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(-1\text{.}\)

1p

3p

b

\(y={8x^2+9x+2 \over 4x^2+5x-1}\)

Gebroken (2)
00oo - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepalen de hoogste machten van \(x\) in de teller en de noemer het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \({8x^2 \over 4x^2}\text{.}\)

1p

○

Er geldt \({8x^2 \over 4x^2}={8 \over 4}=2\text{.}\)

1p

○

De grenswaarde van \(y\) is dus \(2\text{.}\)

1p

3p

c

\(y=30+10⋅x^{-0{,}3}\)

Macht (2)
00oq - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

c

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(x^{-0{,}3}\) naar \(0\text{,}\) want \(x^{-0{,}3}={1 \over x^{0{,}3}}\) en \(x^{0{,}3}\) wordt heel groot als \(x\) heel groot wordt.

1p

○

Dus nadert \(10⋅x^{-0{,}3}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(30+10x^{-0{,}3}\) naar \(30\text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(30\text{.}\)

1p

3p

d

\(y=90-40⋅e^{-0{,}1x}\)

Exponentieel (5)
00or - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Er geldt \(e^{-0{,}1x}={1 \over e^{0{,}1x}}\text{,}\) dus als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(0{,}1x\) heel groot, dus wordt \(e^{0{,}1x}\) heel groot (want \(e>1\text{),}\) en dus nadert \({1 \over e^{0{,}1x}}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(-40⋅e^{-0{,}1x}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(90-40⋅e^{-0{,}1x}\) naar \(90\text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(90\text{.}\)

1p
"