Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Redeneren met grenswaarden'.

vwo wiskunde A 14.3 Redeneren met formules

Redeneren met grenswaarden (8)

opgave 1

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(y = {720 \over 25 + 9 ⋅ e^{x}}\)

Exponentieel (1)
00ka - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

a

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(e^{x}\) heel groot (want \(e > 1 \text{)}\)

1p

○

Dus wordt \(9 ⋅ e^{x}\) heel groot
en dus wordt \(25 + 9 ⋅ e^{x}\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({720 \over 25 + 9 ⋅ e^{x}}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0 \text{.}\)

1p

3p

b

\(y = {1\,482 \over 19 + 8 ⋅ 0{,}63^{x}}\)

Exponentieel (2)
00kb - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}63^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}63 < 1 \text{)}\)

1p

○

Dus nadert \(8 ⋅ 0{,}63^{x}\) naar \(0\)
en dus nadert \(19 + 8 ⋅ 0{,}63^{x}\) naar \(19 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \({1\,482 \over 19 + 8 ⋅ 0{,}63^{x}}\) naar \({1\,482 \over 19} = 78\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(78 \text{.}\)

1p

3p

c

\(y = 9 (4 - 0{,}86^{x})\)

Exponentieel (3)
00kc - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

c

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}86^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}86 < 1 \text{).}\)

1p

○

Dus nadert \(4 - 0{,}86^{x}\) naar \(4 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(9 (4 - 0{,}86^{x})\) naar \(9 ⋅ 4 = 36\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(36 \text{.}\)

1p

3p

d

\(y = 68 + {6 \over 1{,}21^{x}}\)

Exponentieel (4)
00kd - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}21^{x}\) heel groot (want \(1{,}21 > 1 \text{).}\)

1p

○

Dus nadert \({6 \over 1{,}21^{x}}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(68 + {6 \over 1{,}21^{x}}\) naar \(68\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(68 \text{.}\)

1p

opgave 2

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(y = 5 + {9 \over x^{3}}\)

Gebroken (1)
00on - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

a

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^{3}\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({9 \over x^{3}}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(5 + {9 \over x^{3}}\) naar \(5\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(5 \text{.}\)

1p

3p

b

\(y = {9 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 5 \over x^{3} + 7 x - 4}\)

Gebroken (2)
00oo - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepalen de hoogste machten van \(x\) in de teller en de noemer het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \({9 x^{3} \over x^{3}} \text{.}\)

1p

○

Er geldt \({9 x^{3} \over x^{3}} = {9 \over 1} = 9 \text{.}\)

1p

○

De grenswaarde van \(y\) is dus \(9 \text{.}\)

1p

3p

c

\(y = 10 + 20 ⋅ x^{-0{,}9}\)

Macht (2)
00oq - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

c

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(x^{-0{,}9}\) naar \(0 \text{,}\) want \(x^{-0{,}9} = {1 \over x^{0{,}9}}\) en \(x^{0{,}9}\) wordt heel groot als \(x\) heel groot wordt.

1p

○

Dus nadert \(20 ⋅ x^{-0{,}9}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(10 + 20 x^{-0{,}9}\) naar \(10 \text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(10 \text{.}\)

1p

3p

d

\(y = 40 + 30 ⋅ 1{,}4^{-0{,}9 x}\)

Exponentieel (5)
00or - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Er geldt \(1{,}4^{-0{,}9 x} = {1 \over 1{,}4^{0{,}9 x}} \text{,}\) dus als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(0{,}9 x\) heel groot, dus wordt \(1{,}4^{0{,}9 x}\) heel groot (want \(1{,}4 > 1 \text{),}\) en dus nadert \({1 \over 1{,}4^{0{,}9 x}}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(30 ⋅ 1{,}4^{-0{,}9 x}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(40 + 30 ⋅ 1{,}4^{-0{,}9 x}\) naar \(40 \text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(40 \text{.}\)

1p
"