Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Redeneren met grenswaarden'.

vwo wiskunde A 14.3 Redeneren met formules

Redeneren met grenswaarden (8)

opgave 1

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(y = {460 \over 22 + 17 ⋅ e^{x}}\)

Exponentieel (1)
00ka - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

a

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(e^{x}\) heel groot (want \(e > 1 \text{)}\)

1p

○

Dus wordt \(17 ⋅ e^{x}\) heel groot
en dus wordt \(22 + 17 ⋅ e^{x}\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({460 \over 22 + 17 ⋅ e^{x}}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0 \text{.}\)

1p

3p

b

\(y = {1\,056 \over 22 + 18 ⋅ 0{,}81^{x}}\)

Exponentieel (2)
00kb - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}81^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}81 < 1 \text{)}\)

1p

○

Dus nadert \(18 ⋅ 0{,}81^{x}\) naar \(0\)
en dus nadert \(22 + 18 ⋅ 0{,}81^{x}\) naar \(22 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \({1\,056 \over 22 + 18 ⋅ 0{,}81^{x}}\) naar \({1\,056 \over 22} = 48\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(48 \text{.}\)

1p

3p

c

\(y = 13 (2 + 0{,}68^{x})\)

Exponentieel (3)
00kc - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

c

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}68^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}68 < 1 \text{).}\)

1p

○

Dus nadert \(2 + 0{,}68^{x}\) naar \(2 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(13 (2 + 0{,}68^{x})\) naar \(13 ⋅ 2 = 26\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(26 \text{.}\)

1p

3p

d

\(y = 61 + {20 \over e^{x}}\)

Exponentieel (4)
00kd - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(e^{x}\) heel groot (want \(e > 1 \text{).}\)

1p

○

Dus nadert \({20 \over e^{x}}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(61 + {20 \over e^{x}}\) naar \(61\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(61 \text{.}\)

1p

opgave 2

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(y = 8 + {7 \over x^{6}}\)

Gebroken (1)
00on - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

a

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^{6}\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({7 \over x^{6}}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(8 + {7 \over x^{6}}\) naar \(8\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(8 \text{.}\)

1p

3p

b

\(y = {5 x^{3} - x^{2} + 2 x - 9 \over -6 x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 8}\)

Gebroken (2)
00oo - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepalen de hoogste machten van \(x\) in de teller en de noemer het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \({5 x^{3} \over -6 x^{3}} \text{.}\)

1p

○

Er geldt \({5 x^{3} \over -6 x^{3}} = {5 \over -6} = -\frac{5}{6} \text{.}\)

1p

○

De grenswaarde van \(y\) is dus \(-\frac{5}{6} \text{.}\)

1p

3p

c

\(y = 50 + 30 ⋅ x^{-0{,}2}\)

Macht (2)
00oq - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

c

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(x^{-0{,}2}\) naar \(0 \text{,}\) want \(x^{-0{,}2} = {1 \over x^{0{,}2}}\) en \(x^{0{,}2}\) wordt heel groot als \(x\) heel groot wordt.

1p

○

Dus nadert \(30 ⋅ x^{-0{,}2}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(50 + 30 x^{-0{,}2}\) naar \(50 \text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(50 \text{.}\)

1p

3p

d

\(y = 40 - 60 ⋅ 1{,}69^{-0{,}1 x}\)

Exponentieel (5)
00or - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Er geldt \(1{,}69^{-0{,}1 x} = {1 \over 1{,}69^{0{,}1 x}} \text{,}\) dus als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(0{,}1 x\) heel groot, dus wordt \(1{,}69^{0{,}1 x}\) heel groot (want \(1{,}69 > 1 \text{),}\) en dus nadert \({1 \over 1{,}69^{0{,}1 x}}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(-60 ⋅ 1{,}69^{-0{,}1 x}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(40 - 60 ⋅ 1{,}69^{-0{,}1 x}\) naar \(40 \text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(40 \text{.}\)

1p
"