Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Redeneren met grenswaarden'.

vwo wiskunde A 14.3 Redeneren met formules

Redeneren met grenswaarden (8)

opgave 1

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(N={370 \over 19+21⋅1{,}7^t}\)

Exponentieel (1)
00ka - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

a

Als \(t\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}7^t\) heel groot (want \(1{,}7>1\text{)}\)

1p

○

Dus wordt \(21⋅1{,}7^t\) heel groot
en dus wordt \(19+21⋅1{,}7^t\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({370 \over 19+21⋅1{,}7^t}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(N\) is dus \(0\text{.}\)

1p

3p

b

\(y={27 \over 3-17⋅0{,}79^x}\)

Exponentieel (2)
00kb - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}79^x\) naar \(0\) (want \(0{,}79<1\text{)}\)

1p

○

Dus nadert \(-17⋅0{,}79^x\) naar \(0\)
en dus nadert \(3-17⋅0{,}79^x\) naar \(3\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \({27 \over 3-17⋅0{,}79^x}\) naar \({27 \over 3}=9\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(9\text{.}\)

1p

3p

c

\(B=6(3+0{,}54^t)\)

Exponentieel (3)
00kc - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

c

Als \(t\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}54^t\) naar \(0\) (want \(0{,}54<1\text{).}\)

1p

○

Dus nadert \(3+0{,}54^t\) naar \(3\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(6(3+0{,}54^t)\) naar \(6⋅3=18\)
De grenswaarde van \(B\) is dus \(18\text{.}\)

1p

3p

d

\(N=23-{20 \over e^t}\)

Exponentieel (4)
00kd - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Als \(t\) heel groot wordt, dan wordt \(e^t\) heel groot (want \(e>1\text{).}\)

1p

○

Dus nadert \({20 \over e^t}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(23-{20 \over e^t}\) naar \(23\)
De grenswaarde van \(N\) is dus \(23\text{.}\)

1p

opgave 2

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(y=-8-{2 \over x^4}\)

Gebroken (1)
00on - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

a

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^4\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({2 \over x^4}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(-8-{2 \over x^4}\) naar \(-8\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(-8\text{.}\)

1p

3p

b

\(y={5x^3-9x^2+x+2 \over -7x^3-4x^2+8x-3}\)

Gebroken (2)
00oo - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepalen de hoogste machten van \(x\) in de teller en de noemer het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \({5x^3 \over -7x^3}\text{.}\)

1p

○

Er geldt \({5x^3 \over -7x^3}={5 \over -7}=-\frac{5}{7}\text{.}\)

1p

○

De grenswaarde van \(y\) is dus \(-\frac{5}{7}\text{.}\)

1p

3p

c

\(N=20+70⋅t^{-0{,}5}\)

Macht (2)
00oq - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

c

Als \(t\) heel groot wordt, dan nadert \(t^{-0{,}5}\) naar \(0\text{,}\) want \(t^{-0{,}5}={1 \over t^{0{,}5}}\) en \(t^{0{,}5}\) wordt heel groot als \(t\) heel groot wordt.

1p

○

Dus nadert \(70⋅t^{-0{,}5}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(20+70t^{-0{,}5}\) naar \(20\text{.}\)
De grenswaarde van \(N\) is dus \(20\text{.}\)

1p

3p

d

\(y=60+20⋅1{,}75^{-0{,}5x}\)

Exponentieel (5)
00or - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Er geldt \(1{,}75^{-0{,}5x}={1 \over 1{,}75^{0{,}5x}}\text{,}\) dus als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(0{,}5x\) heel groot, dus wordt \(1{,}75^{0{,}5x}\) heel groot (want \(1{,}75>1\text{),}\) en dus nadert \({1 \over 1{,}75^{0{,}5x}}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(20⋅1{,}75^{-0{,}5x}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(60+20⋅1{,}75^{-0{,}5x}\) naar \(60\text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(60\text{.}\)

1p
"