Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Redeneren met grenswaarden'.

vwo wiskunde A 14.3 Redeneren met formules

Redeneren met grenswaarden (8)

opgave 1

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(y={300 \over 1+18⋅e^x}\)

Exponentieel (1)
00ka - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

a

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(e^x\) heel groot (want \(e>1\text{)}\)

1p

○

Dus wordt \(18⋅e^x\) heel groot
en dus wordt \(1+18⋅e^x\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({300 \over 1+18⋅e^x}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0\text{.}\)

1p

3p

b

\(y={120 \over 6-21⋅0{,}16^x}\)

Exponentieel (2)
00kb - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}16^x\) naar \(0\) (want \(0{,}16<1\text{)}\)

1p

○

Dus nadert \(-21⋅0{,}16^x\) naar \(0\)
en dus nadert \(6-21⋅0{,}16^x\) naar \(6\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \({120 \over 6-21⋅0{,}16^x}\) naar \({120 \over 6}=20\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(20\text{.}\)

1p

3p

c

\(y=14(5-0{,}71^x)\)

Exponentieel (3)
00kc - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

c

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}71^x\) naar \(0\) (want \(0{,}71<1\text{).}\)

1p

○

Dus nadert \(5-0{,}71^x\) naar \(5\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(14(5-0{,}71^x)\) naar \(14⋅5=70\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(70\text{.}\)

1p

3p

d

\(y=44-{62 \over 1{,}15^x}\)

Exponentieel (4)
00kd - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}15^x\) heel groot (want \(1{,}15>1\text{).}\)

1p

○

Dus nadert \({62 \over 1{,}15^x}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(44-{62 \over 1{,}15^x}\) naar \(44\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(44\text{.}\)

1p

opgave 2

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(y=-2+{5 \over x^9}\)

Gebroken (1)
00on - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

a

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^9\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({5 \over x^9}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(-2+{5 \over x^9}\) naar \(-2\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(-2\text{.}\)

1p

3p

b

\(y={-7x^2-9x+6 \over -8x^2+4}\)

Gebroken (2)
00oo - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepalen de hoogste machten van \(x\) in de teller en de noemer het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \({-7x^2 \over -8x^2}\text{.}\)

1p

○

Er geldt \({-7x^2 \over -8x^2}={-7 \over -8}=\frac{7}{8}\text{.}\)

1p

○

De grenswaarde van \(y\) is dus \(\frac{7}{8}\text{.}\)

1p

3p

c

\(y=90+60⋅x^{-0{,}2}\)

Macht (2)
00oq - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

c

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(x^{-0{,}2}\) naar \(0\text{,}\) want \(x^{-0{,}2}={1 \over x^{0{,}2}}\) en \(x^{0{,}2}\) wordt heel groot als \(x\) heel groot wordt.

1p

○

Dus nadert \(60⋅x^{-0{,}2}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(90+60x^{-0{,}2}\) naar \(90\text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(90\text{.}\)

1p

3p

d

\(y=50-40⋅e^{-0{,}3x}\)

Exponentieel (5)
00or - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Er geldt \(e^{-0{,}3x}={1 \over e^{0{,}3x}}\text{,}\) dus als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(0{,}3x\) heel groot, dus wordt \(e^{0{,}3x}\) heel groot (want \(e>1\text{),}\) en dus nadert \({1 \over e^{0{,}3x}}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(-40⋅e^{-0{,}3x}\) naar \(0\text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(50-40⋅e^{-0{,}3x}\) naar \(50\text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(50\text{.}\)

1p
"