Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Redeneren met grenswaarden'.

vwo wiskunde A 14.3 Redeneren met formules

Redeneren met grenswaarden (8)

opgave 1

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(y = {330 \over 1 + 15 ⋅ 1{,}7^{x}}\)

Exponentieel (1)
00ka - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

a

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}7^{x}\) heel groot (want \(1{,}7 > 1 \text{)}\)

1p

○

Dus wordt \(15 ⋅ 1{,}7^{x}\) heel groot
en dus wordt \(1 + 15 ⋅ 1{,}7^{x}\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({330 \over 1 + 15 ⋅ 1{,}7^{x}}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0 \text{.}\)

1p

3p

b

\(y = {216 \over 12 - 16 ⋅ 0{,}86^{x}}\)

Exponentieel (2)
00kb - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}86^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}86 < 1 \text{)}\)

1p

○

Dus nadert \(-16 ⋅ 0{,}86^{x}\) naar \(0\)
en dus nadert \(12 - 16 ⋅ 0{,}86^{x}\) naar \(12 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \({216 \over 12 - 16 ⋅ 0{,}86^{x}}\) naar \({216 \over 12} = 18\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(18 \text{.}\)

1p

3p

c

\(y = 8 (2 + 0{,}7^{x})\)

Exponentieel (3)
00kc - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

c

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}7^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}7 < 1 \text{).}\)

1p

○

Dus nadert \(2 + 0{,}7^{x}\) naar \(2 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(8 (2 + 0{,}7^{x})\) naar \(8 ⋅ 2 = 16\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(16 \text{.}\)

1p

3p

d

\(y = 85 - {24 \over e^{x}}\)

Exponentieel (4)
00kd - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(e^{x}\) heel groot (want \(e > 1 \text{).}\)

1p

○

Dus nadert \({24 \over e^{x}}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(85 - {24 \over e^{x}}\) naar \(85\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(85 \text{.}\)

1p

opgave 2

Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.

3p

a

\(y = -6 + {5 \over x^{9}}\)

Gebroken (1)
00on - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

a

Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^{9}\) heel groot.

1p

○

Dus nadert \({5 \over x^{9}}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(-6 + {5 \over x^{9}}\) naar \(-6\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(-6 \text{.}\)

1p

3p

b

\(y = {-9 x^{3} + 3 x + 5 \over 7 x^{3} - 6 x^{2} + 2 x + 4}\)

Gebroken (2)
00oo - Redeneren met grenswaarden - basis - 1ms - dynamic variables

b

Als \(x\) heel groot wordt, dan bepalen de hoogste machten van \(x\) in de teller en de noemer het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \({-9 x^{3} \over 7 x^{3}} \text{.}\)

1p

○

Er geldt \({-9 x^{3} \over 7 x^{3}} = {-9 \over 7} = -1\frac{2}{7} \text{.}\)

1p

○

De grenswaarde van \(y\) is dus \(-1\frac{2}{7} \text{.}\)

1p

3p

c

\(y = 60 + 50 ⋅ x^{-0{,}9}\)

Macht (2)
00oq - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

c

Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(x^{-0{,}9}\) naar \(0 \text{,}\) want \(x^{-0{,}9} = {1 \over x^{0{,}9}}\) en \(x^{0{,}9}\) wordt heel groot als \(x\) heel groot wordt.

1p

○

Dus nadert \(50 ⋅ x^{-0{,}9}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(60 + 50 x^{-0{,}9}\) naar \(60 \text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(60 \text{.}\)

1p

3p

d

\(y = 30 + 60 ⋅ 1{,}85^{-0{,}5 x}\)

Exponentieel (5)
00or - Redeneren met grenswaarden - basis - 0ms - dynamic variables

d

Er geldt \(1{,}85^{-0{,}5 x} = {1 \over 1{,}85^{0{,}5 x}} \text{,}\) dus als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(0{,}5 x\) heel groot, dus wordt \(1{,}85^{0{,}5 x}\) heel groot (want \(1{,}85 > 1 \text{),}\) en dus nadert \({1 \over 1{,}85^{0{,}5 x}}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(60 ⋅ 1{,}85^{-0{,}5 x}\) naar \(0 \text{.}\)

1p

○

Dus nadert \(30 + 60 ⋅ 1{,}85^{-0{,}5 x}\) naar \(30 \text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(30 \text{.}\)

1p
"