Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Formule bij tabellen opstellen'.

8.2 Tabellen en groei

Formule bij tabellen opstellen (3)

opgave 1

Gegeven is de volgende tabel.

\(q\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(K\)	\(11{,}02\)	\(11{,}99\)	\(12{,}96\)	\(13{,}93\)

Toon aan dat de tabel bij een lineair verband hoort.

Stel de formule op van \(K\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

Lineair (1)

00jz - Formule bij tabellen opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\(11{,}99-11{,}02=0{,}97\)

○

\(12{,}96-11{,}99=0{,}97\)
\(13{,}93-12{,}96=0{,}97\)

○

Het verschil is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

\(K=aq+b\) met \(a=0{,}97\)

○

\(b\) is de waarde bij \(q=0\text{,}\) dus \(b=11{,}02\text{.}\)

○

Dus \(K=0{,}97q+11{,}02\)

opgave 2

Gegeven is de volgende tabel.

\(q\)	\(2\,018\)	\(2\,019\)	\(2\,020\)	\(2\,021\)	\(2\,022\)
\(W\)	\(15{,}73\)	\(18{,}72\)	\(22{,}28\)	\(26{,}51\)	\(31{,}54\)

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(W\text{.}\) Neem \(q=0\) in \(2\,018\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

Exponentieel (1)

00k1 - Formule bij tabellen opstellen - gevorderd - 1ms - dynamic variables

\({18{,}72 \over 15{,}73}≈1{,}19\)

○

\({22{,}28 \over 18{,}72}≈1{,}19\)
\({26{,}51 \over 22{,}28}≈1{,}19\)
\({31{,}54 \over 26{,}51}≈1{,}19\)

○

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(W=b⋅g^q\) met \(g=1{,}19\)

○

\(b\) is de waarde bij \(q=0\text{,}\) dus \(b=15{,}73\text{.}\)

○

Dus \(W=15{,}73⋅1{,}19^q\text{.}\)

opgave 3

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
\(y\)	\(10{,}95\)	\(10{,}92\)	\(10{,}89\)	\(10{,}86\)	\(10{,}83\)

Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(y\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

LineairOfExponentieel (1)

00k3 - Formule bij tabellen opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\(10{,}92-10{,}95=-0{,}03\)

○

\(10{,}89-10{,}92=-0{,}03\)
\(10{,}86-10{,}89=-0{,}03\)
\(10{,}83-10{,}86=-0{,}03\)

○

Het verschil is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

\(y=ax+b\) met \(a=-0{,}03\)

○

\(b\) is de waarde bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=10{,}95\text{.}\)

○

Dus \(y=-0{,}03x+10{,}95\)

vwo wiskunde A

10.2 Groeipercentages en formules

Formule bij tabellen opstellen (3)

opgave 1

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(3\)	\(8\)	\(14\)	\(15\)
\(y\)	\(36{,}29\)	\(27{,}94\)	\(17{,}92\)	\(16{,}25\)

Toon aan dat de tabel bij een lineair verband hoort.

Stel de formule op van \(y\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

Lineair (2)

00k0 - Formule bij tabellen opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\({\Delta y \over \Delta x}={27{,}94-36{,}29 \over 8-3}=-1{,}67\)

○

\({\Delta y \over \Delta x}={17{,}92-27{,}94 \over 14-8}=-1{,}67\)
\({\Delta y \over \Delta x}={16{,}25-17{,}92 \over 15-14}=-1{,}67\)

○

De gemiddelde verandering is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

\(y=ax+b\) met \(a=-1{,}67\)

○

\(\begin{rcases}y=-1{,}67x+b \\ x=3\text{ en }y=36{,}29\end{rcases}\begin{matrix}-1{,}67⋅3+b=36{,}29 \\ -5{,}01+b=36{,}29 \\ b=41{,}3\end{matrix}\)

○

Dus \(y=-1{,}67x+41{,}3\)

opgave 2

Gegeven is de volgende tabel.

\(t\)	\(2\,018\)	\(2\,019\)	\(2\,022\)	\(2\,024\)
\(A\)	\(21{,}66\)	\(20{,}36\)	\(16{,}91\)	\(14{,}94\)

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(A\text{.}\) Neem \(t=0\) in \(2\,012\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

Exponentieel (2)

00k2 - Formule bij tabellen opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\(g=({20{,}36 \over 21{,}66})^{{1 \over 2\,019-2\,018}}≈0{,}94\)

○

\(g=({16{,}91 \over 20{,}36})^{{1 \over 2\,022-2\,019}}≈0{,}94\)
\(g=({14{,}94 \over 16{,}91})^{{1 \over 2\,024-2\,022}}≈0{,}94\)

○

De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(A=b⋅g^t\) met \(g=0{,}94\)

○

\(\begin{rcases}A=b⋅0{,}94^t \\ t=6\text{ en }A=21{,}66\end{rcases}\begin{matrix}b⋅0{,}94^6=21{,}66 \\ b={21{,}66 \over 0{,}94^6} \\ b≈31{,}40\end{matrix}\)

○

Dus \(A=31{,}40⋅0{,}94^t\text{.}\)

opgave 3

Gegeven is de volgende tabel.

\(q\)	\(2\,011\)	\(2\,013\)	\(2\,017\)	\(2\,023\)
\(R\)	\(30{,}21\)	\(39{,}95\)	\(69{,}88\)	\(161{,}63\)

Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(R\text{.}\) Neem \(q=0\) in \(2\,006\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

LineairOfExponentieel (2)

00k4 - Formule bij tabellen opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\(g=({39{,}95 \over 30{,}21})^{{1 \over 2\,013-2\,011}}≈1{,}15\)

○

\(g=({69{,}88 \over 39{,}95})^{{1 \over 2\,017-2\,013}}≈1{,}15\)
\(g=({161{,}63 \over 69{,}88})^{{1 \over 2\,023-2\,017}}≈1{,}15\)

○

De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(R=b⋅g^q\) met \(g=1{,}15\)

○

\(\begin{rcases}R=b⋅1{,}15^q \\ q=5\text{ en }R=30{,}21\end{rcases}\begin{matrix}b⋅1{,}15^5=30{,}21 \\ b={30{,}21 \over 1{,}15^5} \\ b≈15{,}02\end{matrix}\)

○

Dus \(R=15{,}02⋅1{,}15^q\text{.}\)