Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A

'Formule bij tabellen opstellen'.

8.2 Tabellen en groei

Formule bij tabellen opstellen (3)

opgave 1

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(y\)	\(18{,}12\)	\(17{,}50\)	\(16{,}88\)	\(16{,}26\)

Toon aan dat de tabel bij een lineair verband hoort.

Stel de formule op van \(y\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

Lineair (1)

00jz - Formule bij tabellen opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\(17{,}50-18{,}12=-0{,}62\)

○

\(16{,}88-17{,}50=-0{,}62\)
\(16{,}26-16{,}88=-0{,}62\)

○

Het verschil is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

\(y=ax+b\) met \(a=-0{,}62\)

○

\(b\) is de waarde bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=18{,}12\text{.}\)

○

Dus \(y=-0{,}62x+18{,}12\)

opgave 2

Gegeven is de volgende tabel.

\(q\)	\(2\,020\)	\(2\,021\)	\(2\,022\)	\(2\,023\)
\(R\)	\(27{,}97\)	\(19{,}86\)	\(14{,}10\)	\(10{,}01\)

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(R\text{.}\) Neem \(q=0\) in \(2\,020\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

Exponentieel (1)

00k1 - Formule bij tabellen opstellen - gevorderd - 1ms - dynamic variables

\({19{,}86 \over 27{,}97}≈0{,}71\)

○

\({14{,}10 \over 19{,}86}≈0{,}71\)
\({10{,}01 \over 14{,}10}≈0{,}71\)

○

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(R=b⋅g^q\) met \(g=0{,}71\)

○

\(b\) is de waarde bij \(q=0\text{,}\) dus \(b=27{,}97\text{.}\)

○

Dus \(R=27{,}97⋅0{,}71^q\text{.}\)

opgave 3

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(2\,021\)	\(2\,022\)	\(2\,023\)	\(2\,024\)
\(y\)	\(18{,}26\)	\(18{,}81\)	\(19{,}37\)	\(19{,}95\)

Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(y\text{.}\) Neem \(x=0\) in \(2\,021\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

LineairOfExponentieel (1)

00k3 - Formule bij tabellen opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\({18{,}81 \over 18{,}26}≈1{,}03\)

○

\({19{,}37 \over 18{,}81}≈1{,}03\)
\({19{,}95 \over 19{,}37}≈1{,}03\)

○

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y=b⋅g^x\) met \(g=1{,}03\)

○

\(b\) is de waarde bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=18{,}26\text{.}\)

○

Dus \(y=18{,}26⋅1{,}03^x\text{.}\)

vwo wiskunde A

10.2 Groeipercentages en formules

Formule bij tabellen opstellen (3)

opgave 1

Gegeven is de volgende tabel.

\(q\)	\(2\)	\(6\)	\(12\)	\(15\)
\(R\)	\(19{,}72\)	\(22{,}32\)	\(26{,}22\)	\(28{,}17\)

Toon aan dat de tabel bij een lineair verband hoort.

Stel de formule op van \(R\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

Lineair (2)

00k0 - Formule bij tabellen opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\({\Delta R \over \Delta q}={22{,}32-19{,}72 \over 6-2}=0{,}65\)

○

\({\Delta R \over \Delta q}={26{,}22-22{,}32 \over 12-6}=0{,}65\)
\({\Delta R \over \Delta q}={28{,}17-26{,}22 \over 15-12}=0{,}65\)

○

De gemiddelde verandering is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

\(R=aq+b\) met \(a=0{,}65\)

○

\(\begin{rcases}R=0{,}65q+b \\ q=2\text{ en }R=19{,}72\end{rcases}\begin{matrix}0{,}65⋅2+b=19{,}72 \\ 1{,}3+b=19{,}72 \\ b=18{,}42\end{matrix}\)

○

Dus \(R=0{,}65q+18{,}42\)

opgave 2

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(2\,014\)	\(2\,016\)	\(2\,022\)	\(2\,026\)
\(y\)	\(18{,}37\)	\(17{,}29\)	\(14{,}40\)	\(12{,}75\)

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(y\text{.}\) Neem \(x=0\) in \(2\,013\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

Exponentieel (2)

00k2 - Formule bij tabellen opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\(g=({17{,}29 \over 18{,}37})^{{1 \over 2\,016-2\,014}}≈0{,}97\)

○

\(g=({14{,}40 \over 17{,}29})^{{1 \over 2\,022-2\,016}}≈0{,}97\)
\(g=({12{,}75 \over 14{,}40})^{{1 \over 2\,026-2\,022}}≈0{,}97\)

○

De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y=b⋅g^x\) met \(g=0{,}97\)

○

\(\begin{rcases}y=b⋅0{,}97^x \\ x=1\text{ en }y=18{,}37\end{rcases}\begin{matrix}b⋅0{,}97^1=18{,}37 \\ b={18{,}37 \over 0{,}97^1} \\ b≈18{,}94\end{matrix}\)

○

Dus \(y=18{,}94⋅0{,}97^x\text{.}\)

opgave 3

Gegeven is de volgende tabel.

\(q\)	\(6\)	\(9\)	\(10\)	\(15\)
\(K\)	\(18{,}80\)	\(16{,}79\)	\(16{,}12\)	\(12{,}77\)

Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(K\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

LineairOfExponentieel (2)

00k4 - Formule bij tabellen opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\({\Delta K \over \Delta q}={16{,}79-18{,}80 \over 9-6}=-0{,}67\)

○

\({\Delta K \over \Delta q}={16{,}12-16{,}79 \over 10-9}=-0{,}67\)
\({\Delta K \over \Delta q}={12{,}77-16{,}12 \over 15-10}=-0{,}67\)

○

De gemiddelde verandering is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.

\(K=aq+b\) met \(a=-0{,}67\)

○

\(\begin{rcases}K=-0{,}67q+b \\ q=6\text{ en }K=18{,}8\end{rcases}\begin{matrix}-0{,}67⋅6+b=18{,}8 \\ -4{,}02+b=18{,}8 \\ b=22{,}82\end{matrix}\)

○

Dus \(K=-0{,}67q+22{,}82\)