Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A
'Formule bij exponentiële groei opstellen'.
| 3 vwo | 8.2 Tabellen en groei | |||||||||||||||||||||||
opgave 1Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (1) 00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({16{,}74 \over 17{,}26} ≈ 0{,}97\) 1p ○ \({16{,}24 \over 16{,}74} ≈ 0{,}97\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}97\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 17{,}26 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = 17{,}26 ⋅ 0{,}97^{x} \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,021 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (1) 00k3 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({33{,}98 \over 46{,}55} ≈ 0{,}73\) 1p ○ \({24{,}81 \over 33{,}98} ≈ 0{,}73\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}73\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 46{,}55 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = 46{,}55 ⋅ 0{,}73^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||||
| vwo wiskunde A | 10.vk Lineaire en exponentiële groei | |||||||||||||||||||||||
opgave 13p Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe met \(3{,}2\%\) per jaar. Op \(x = 0\) is \(y = 204 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in jaren. GegevenGroeifactorEnBeginwaarde 0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{jaar}} = 1 + {3{,}2 \over 100} = 1{,}032 \text{.}\) 1p ○ De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 204 \text{.}\) 1p ○ \(y = 204 ⋅ 1{,}032^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||||
| vwo wiskunde A | 10.2 Groeipercentages en formules | |||||||||||||||||||||||
opgave 13p a Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 3\) is \(y = 266\) en bij \(x = 6\) is \(y = 304 \text{.}\) GegevenTweePuntenStijgend 0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables a \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({304 \over 266})^{{1 \over 6 - 3}} = 1{,}045...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}045...^{x} \\ x = 3 \text{ en } y = 266\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}045...^{3} = 266 \\ b = {266 \over 1{,}045...^{3}} ≈ 233\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 233 ⋅ 1{,}046^{x} \text{.}\) 1p 3p b Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 4\) is \(y = 375\) en bij \(x = 6\) is \(y = 347 \text{.}\) GegevenTweePuntenDalend 0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({347 \over 375})^{{1 \over 6 - 4}} = 0{,}961...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}961...^{x} \\ x = 4 \text{ en } y = 375\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}961...^{4} = 375 \\ b = {375 \over 0{,}961...^{4}} ≈ 438\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 438 ⋅ 0{,}962^{x} \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (2) 00k2 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(g = ({71{,}51 \over 43{,}65})^{{1 \over 6 - 4}} ≈ 1{,}28\) 1p ○ \(g = ({149{,}97 \over 71{,}51})^{{1 \over 9 - 6}} ≈ 1{,}28\) 1p ○ De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}28\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}28^{x} \\ x = 4 \text{ en } y = 43{,}65\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}28^{4} = 43{,}65 \\ b = {43{,}65 \over 1{,}28^{4}} \\ b ≈ 16{,}26\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 16{,}26 ⋅ 1{,}28^{x} \text{.}\) 1p opgave 3Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,006 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (2) 00k4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({\Delta y \over \Delta x} = {25{,}22 - 18{,}50 \over 2\,013 - 2\,007} = 1{,}12\) 1p ○ \({\Delta y \over \Delta x} = {30{,}82 - 25{,}22 \over 2\,018 - 2\,013} = 1{,}12\) 1p ○ De gemiddelde verandering is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband. 1p b \(y = a x + b\) met \(a = 1{,}12\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = 1{,}12 x + b \\ x = 1 \text{ en } y = 18{,}5\end{rcases} \begin{matrix}1{,}12 ⋅ 1 + b = 18{,}5 \\ 1{,}12 + b = 18{,}5 \\ b = 17{,}38\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 1{,}12 x + 17{,}38\) 1p |
||||||||||||||||||||||||
| vwo wiskunde A | 10.4 Werken met logaritmen | |||||||||||||||||||||||
opgave 14p Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen. Exponentieel 00ke - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables ○ Rasterpunten \((2 , 30)\) en \((7 , 8\,000)\) aflezen. 1p ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({8\,000 \over 30})^{{1 \over 7 - 2}} = 3{,}056...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 3{,}056...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 30{,}00\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 3{,}056...^{2} = 30{,}00 \\ b = {30{,}00 \over 3{,}056...^{2}} \\ b = 3{,}211...\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 3 ⋅ 3{,}056^{x} \text{.}\) 1p opgave 23p Geef de coördinaten van de punten \(A \text{,}\) \(B\) en \(C \text{.}\) LogaritmischAflezen 00ki - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms ○ Punt \(\text{A} (3 , 100) \text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{B} (5 , 2) \text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{C} (8 , 70) \text{.}\) 1p opgave 33p Teken de punten \(A (3 , 5) \text{,}\) \(B (5 , 3\,000)\) en \(C (8 , 80) \text{.}\) LogaritmischTekenen 00kj - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms ○ 3p |