Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A
'Formule bij exponentiële groei opstellen'.
| 3 vwo | 8.2 Tabellen en groei | |||||||||||||||||||||
opgave 1Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y\text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (1) 00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({10{,}42 \over 10{,}12}≈1{,}03\) 1p ○ \({10{,}74 \over 10{,}42}≈1{,}03\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y=b⋅g^x\) met \(g=1{,}03\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=10{,}12\text{.}\) 1p ○ Dus \(y=10{,}12⋅1{,}03^x\text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y\text{.}\) Neem \(x=0\) in \(2\,021\text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (1) 00k3 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({20{,}84 \over 18{,}12}≈1{,}15\) 1p ○ \({23{,}96 \over 20{,}84}≈1{,}15\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y=b⋅g^x\) met \(g=1{,}15\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=18{,}12\text{.}\) 1p ○ Dus \(y=18{,}12⋅1{,}15^x\text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| vwo wiskunde A | 10.vk Lineaire en exponentiële groei | |||||||||||||||||||||
opgave 13p Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe met \(3{,}3\%\) per jaar. Op \(x=0\) is \(y=319\text{.}\) Hierbij is \(x\) in jaren. GegevenGroeifactorEnBeginwaarde 0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables ○ \(y=b⋅g^x\) met \(g_{\text{jaar}}=1+{3{,}3 \over 100}=1{,}033\text{.}\) 1p ○ De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=319\text{.}\) 1p ○ \(y=319⋅1{,}033^x\text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| vwo wiskunde A | 10.2 Groeipercentages en formules | |||||||||||||||||||||
opgave 13p a Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x=3\) is \(y=579\) en bij \(x=5\) is \(y=631\text{.}\) GegevenTweePuntenStijgend 0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables a \(y=b⋅g^x\) met \(g=({631 \over 579})^{{1 \over 5-3}}=1{,}043...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=b⋅1{,}043...^x \\ x=3\text{ en }y=579\end{rcases}\begin{matrix}b⋅1{,}043...^3=579 \\ b={579 \over 1{,}043...^3}≈509\end{matrix}\) 1p ○ \(y=509⋅1{,}044^x\text{.}\) 1p 3p b Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x=3\) is \(y=436\) en bij \(x=6\) is \(y=391\text{.}\) GegevenTweePuntenDalend 0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms - dynamic variables b \(y=b⋅g^x\) met \(g=({391 \over 436})^{{1 \over 6-3}}=0{,}964...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=b⋅0{,}964...^x \\ x=3\text{ en }y=436\end{rcases}\begin{matrix}b⋅0{,}964...^3=436 \\ b={436 \over 0{,}964...^3}≈486\end{matrix}\) 1p ○ \(y=486⋅0{,}964^x\text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y\text{.}\) Neem \(x=0\) in \(2\,009\text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (2) 00k2 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(g=({22{,}00 \over 36{,}68})^{{1 \over 2\,019-2\,015}}≈0{,}88\) 1p ○ \(g=({14{,}99 \over 22{,}00})^{{1 \over 2\,022-2\,019}}≈0{,}88\) 1p ○ De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y=b⋅g^x\) met \(g=0{,}88\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=b⋅0{,}88^x \\ x=6\text{ en }y=36{,}68\end{rcases}\begin{matrix}b⋅0{,}88^6=36{,}68 \\ b={36{,}68 \over 0{,}88^6} \\ b≈78{,}98\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y=78{,}98⋅0{,}88^x\text{.}\) 1p opgave 3Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y\text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (2) 00k4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({\Delta y \over \Delta x}={25{,}17-26{,}38 \over 4-3}=-1{,}21\) 1p ○ \({\Delta y \over \Delta x}={20{,}33-25{,}17 \over 8-4}=-1{,}21\) 1p ○ De gemiddelde verandering is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband. 1p b \(y=ax+b\) met \(a=-1{,}21\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=-1{,}21x+b \\ x=3\text{ en }y=26{,}38\end{rcases}\begin{matrix}-1{,}21⋅3+b=26{,}38 \\ -3{,}63+b=26{,}38 \\ b=30{,}01\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y=-1{,}21x+30{,}01\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| vwo wiskunde A | 10.4 Werken met logaritmen | |||||||||||||||||||||
opgave 14p Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y=b⋅g^x\text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen. Exponentieel 00ke - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables ○ Rasterpunten \((1, 30\,000)\) en \((8, 700)\) aflezen. 1p ○ \(y=b⋅g^x\) met \(g=({700 \over 30\,000})^{{1 \over 8-1}}=0{,}584...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=b⋅0{,}584...^x \\ x=1\text{ en }y=30\,000{,}00\end{rcases}\begin{matrix}b⋅0{,}584...^1=30\,000{,}00 \\ b={30\,000{,}00 \over 0{,}584...^1} \\ b=51317{,}728...\end{matrix}\) 1p ○ \(y=51\,318⋅0{,}585^x\text{.}\) 1p opgave 23p Geef de coördinaten van de punten \(A\text{,}\) \(B\) en \(C\text{.}\) LogaritmischAflezen 00ki - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms ○ Punt \(\text{A}(3, 6\,000)\text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{B}(4, 300)\text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{C}(7, 70\,000)\text{.}\) 1p opgave 33p Teken de punten \(A(3, 500\,000)\text{,}\) \(B(6, 3\,000\,000)\) en \(C(7, 1\,000)\text{.}\) LogaritmischTekenen 00kj - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms ○ 3p |