Getal & Ruimte (12e editie) - vwo wiskunde A
'Formule bij exponentiële groei opstellen'.
| 3 vwo | 8.2 Tabellen en groei | |||||||||||||||||||||
opgave 1Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,021 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (1) 00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({18{,}03 \over 20{,}96} ≈ 0{,}86\) 1p ○ \({15{,}50 \over 18{,}03} ≈ 0{,}86\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}86\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 20{,}96 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = 20{,}96 ⋅ 0{,}86^{x} \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (1) 00k3 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(11{,}80 - 11{,}98 = -0{,}18\) 1p ○ \(11{,}62 - 11{,}80 = -0{,}18\) 1p ○ Het verschil is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband. 1p b \(y = a x + b\) met \(a = -0{,}18\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 11{,}98 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = -0{,}18 x + 11{,}98\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| vwo wiskunde A | 10.vk Lineaire en exponentiële groei | |||||||||||||||||||||
opgave 13p Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af met \(3{,}3\%\) per kwartier. Op \(x = 0\) is \(y = 355 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in kwartier. GegevenGroeifactorEnBeginwaarde 0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{kwartier}} = 1 - {3{,}3 \over 100} = 0{,}967 \text{.}\) 1p ○ De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 355 \text{.}\) 1p ○ \(y = 355 ⋅ 0{,}967^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| vwo wiskunde A | 10.2 Groeipercentages en formules | |||||||||||||||||||||
opgave 13p a Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 2\) is \(y = 237\) en bij \(x = 7\) is \(y = 282 \text{.}\) GegevenTweePuntenStijgend 0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables a \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({282 \over 237})^{{1 \over 7 - 2}} = 1{,}035...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}035...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 237\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}035...^{2} = 237 \\ b = {237 \over 1{,}035...^{2}} ≈ 221\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 221 ⋅ 1{,}035^{x} \text{.}\) 1p 3p b Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 4\) is \(y = 307\) en bij \(x = 9\) is \(y = 263 \text{.}\) GegevenTweePuntenDalend 0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms - dynamic variables b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({263 \over 307})^{{1 \over 9 - 4}} = 0{,}969...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}969...^{x} \\ x = 4 \text{ en } y = 307\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}969...^{4} = 307 \\ b = {307 \over 0{,}969...^{4}} ≈ 347\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 347 ⋅ 0{,}970^{x} \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,006 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (2) 00k2 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(g = ({1\,067{,}68 \over 5\,150{,}23})^{{1 \over 2\,013 - 2\,008}} ≈ 0{,}73\) 1p ○ \(g = ({161{,}58 \over 1\,067{,}68})^{{1 \over 2\,019 - 2\,013}} ≈ 0{,}73\) 1p ○ De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}73\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}73^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 5\,150{,}23\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}73^{2} = 5\,150{,}23 \\ b = {5\,150{,}23 \over 0{,}73^{2}} \\ b ≈ 9\,664{,}53\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 9\,664{,}53 ⋅ 0{,}73^{x} \text{.}\) 1p opgave 3Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (2) 00k4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({\Delta y \over \Delta x} = {26{,}60 - 19{,}70 \over 7 - 1} = 1{,}15\) 1p ○ \({\Delta y \over \Delta x} = {28{,}90 - 26{,}60 \over 9 - 7} = 1{,}15\) 1p ○ De gemiddelde verandering is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband. 1p b \(y = a x + b\) met \(a = 1{,}15\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = 1{,}15 x + b \\ x = 1 \text{ en } y = 19{,}7\end{rcases} \begin{matrix}1{,}15 ⋅ 1 + b = 19{,}7 \\ 1{,}15 + b = 19{,}7 \\ b = 18{,}55\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 1{,}15 x + 18{,}55\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| vwo wiskunde A | 10.4 Werken met logaritmen | |||||||||||||||||||||
opgave 14p Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen. Exponentieel 00ke - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables ○ Rasterpunten \((2 , 20)\) en \((7 , 50\,000)\) aflezen. 1p ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({50\,000 \over 20})^{{1 \over 7 - 2}} = 4{,}781...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 4{,}781...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 20{,}00\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 4{,}781...^{2} = 20{,}00 \\ b = {20{,}00 \over 4{,}781...^{2}} \\ b = 0{,}874...\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 1 ⋅ 4{,}782^{x} \text{.}\) 1p opgave 23p Geef de coördinaten van de punten \(A \text{,}\) \(B\) en \(C \text{.}\) LogaritmischAflezen 00ki - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms ○ Punt \(\text{A} (3 , 300\,000) \text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{B} (4 , 800) \text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{C} (9 , 6\,000) \text{.}\) 1p opgave 33p Teken de punten \(A (3 , 500) \text{,}\) \(B (6 , 1)\) en \(C (7 , 70) \text{.}\) LogaritmischTekenen 00kj - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms ○ 3p |