Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

havo wiskunde B 9.1 Groeifactoren en groeipercentages

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per kwartier met \(4{,}4\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{kwartier}} = {4{,}4 \over 100} + 1 = 1{,}044 \text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}044^{t} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}044^{x}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 16{,}097...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(16{,}1\) kwartier.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per jaar met \(3{,}5\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 1ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{jaar}} = {-3{,}5 \over 100} + 1 = 0{,}965 \text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}965^{t} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 0{,}965^{x}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 19{,}455...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(19{,}5\) jaren.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(12{,}8\) jaren.

3p

Bereken de procentuele toename per jaar.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per jaar is de oplossing van de vergelijking \(g^{12{,}8} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{12{,}8}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 1{,}055...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}055... - 1) × 100\% = 5{,}6\%\) per jaar.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(17{,}7\) jaren.

3p

Bereken de procentuele afname per jaar.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 1ms

○

De groeifactor per jaar is de oplossing van de vergelijking \(g^{17{,}7} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{17{,}7}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 0{,}961...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}961... - 1) × 100\% = -3{,}8\%\) dus een procentuele afname van \(3{,}8\%\) per jaar.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per jaar met \(3{,}9\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(90\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{jaar}} = {3{,}9 \over 100} + 1 = 1{,}039 \text{.}\)

1p

○

Een toename van \(90\%\) komt overeen met een factor \({90 \over 100} + 1 = 1{,}9 \text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}039^{t} = 1{,}9 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}039^{x}\)
\(y_{2} = 1{,}9\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 16{,}776...\)

1p

○

Dus duurt het \(16{,}8\) jaren voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(90\% \text{.}\)

1p
"