Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Verdubbelings- en halveringstijden'.

havo wiskunde B 9.1 Groeifactoren en groeipercentages

Verdubbelings- en halveringstijden (5)

opgave 1

Een hoeveelheid neemt per jaar met \(1{,}4\%\) toe.

4p

Bereken de verdubbelingstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

VerdubbelingstijdVanPercentageMetGR
000q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{jaar}} = {1{,}4 \over 100} + 1 = 1{,}014 \text{.}\)

1p

○

De verdubbelingstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}014^{t} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}014^{x}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 49{,}856...\)

1p

○

Dus de verdubbelingstijd is \(49{,}9\) jaren.

1p

opgave 2

Een hoeveelheid neemt per jaar met \(2{,}2\%\) af.

4p

Bereken de halveringstijd in 1 decimaal nauwkeurig.

HalveringstijdVanPercentageMetGR
005q - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{jaar}} = {-2{,}2 \over 100} + 1 = 0{,}978 \text{.}\)

1p

○

De halveringstijd is dan de oplossing van de vergelijking \(0{,}978^{t} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 0{,}978^{x}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 31{,}158...\)

1p

○

Dus de halveringstijd is \(31{,}2\) jaren.

1p

opgave 3

Een hoeveelheid verdubbelt elke \(18{,}1\) jaren.

3p

Bereken de procentuele toename per jaar.

PercentageVanVerdubbelingstijdMetGR
005r - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per jaar is de oplossing van de vergelijking \(g^{18{,}1} = 2 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{18{,}1}\)
\(y_{2} = 2\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 1{,}039...\)

1p

○

De procentuele toename is \((1{,}039... - 1) × 100\% = 3{,}9\%\) per jaar.

1p

opgave 4

Een hoeveelheid halveert elke \(10{,}1\) jaren.

3p

Bereken de procentuele afname per jaar.

PercentageVanHalveringstijdMetGR
005s - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor per jaar is de oplossing van de vergelijking \(g^{10{,}1} = 0{,}5 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = x^{10{,}1}\)
\(y_{2} = 0{,}5\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 0{,}933...\)

1p

○

De procentuele toename is \((0{,}933... - 1) × 100\% = -6{,}6\%\) dus een procentuele afname van \(6{,}6\%\) per jaar.

1p

opgave 5

Een hoeveelheid neemt per week met \(2{,}7\%\) toe.

5p

Bereken hoe lang het duurt voordat de hoeveelheid met \(88\%\) is toegenomen.
Geef het antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.

GroeitijdVanPercentageMetGR
005t - Verdubbelings- en halveringstijden - basis - 0ms

○

De groeifactor is \(g_{\text{week}} = {2{,}7 \over 100} + 1 = 1{,}027 \text{.}\)

1p

○

Een toename van \(88\%\) komt overeen met een factor \({88 \over 100} + 1 = 1{,}88 \text{.}\)

1p

○

De gezochte tijd is dan de oplossing van de vergelijking \(1{,}027^{t} = 1{,}88 \text{.}\)

1p

○

Voer in
\(y_{1} = 1{,}027^{x}\)
\(y_{2} = 1{,}88\)
Optie 'snijpunt' geeft \(x = 23{,}694...\)

1p

○

Dus duurt het \(23{,}7\) weken voordat de hoeveelheid is toegenomen met \(88\% \text{.}\)

1p
"