Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Toepassingen van de afgeleide functie'.

havo wiskunde B	6.1 Raaklijnen en toppen
Toepassingen van de afgeleide functie (1)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} + 3\frac{1}{2} x^{2} + 10 x + 3\frac{1}{3} \text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(-2 \text{.}\) 4p Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B \text{.}\) RaaklijnMetGegevenRichtingscoefficient 00a4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 1ms ○ \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} + 3\frac{1}{2} x^{2} + 10 x + 3\frac{1}{3}\) geeft \(f'(x) = x^{2} + 7 x + 10 \text{.}\) 1p ○ \(f'(x) = -2\) geeft \(x^{2} + 7 x + 10 = -2\) \(x^{2} + 7 x + 12 = 0\) \((x + 4) (x + 3) = 0\) \(x = -4 ∨ x = -3 \text{.}\) 1p ○ \(f(-4) = -2 \text{,}\) dus \(A (-4 , -2) \text{.}\) 1p ○ \(f(-3) = -4\frac{1}{6} \text{,}\) dus \(B (-3 , -4\frac{1}{6}) \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	6.4 Toepassingen van de afgeleide
Toepassingen van de afgeleide functie (2)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = {1 \over 2 x + 6}\) en het punt \(A\) met \(x_{A} = -2 \text{.}\) De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A \text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y \text{-}\)as in het punt \(B \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van \(B \text{.}\) LoodrechteLijnOpstellen 00jh - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 34ms - data pool: #536 (33ms) ○ \(f(-2) = \frac{1}{2} \text{,}\) dus \(A (-2 , \frac{1}{2})\) 1p ○ \(f(x) = {1 \over 2 x + 6} = 1 (2 x + 6)^{-1}\) geeft \(f'(x) = 1 ⋅ -1 ⋅ (2 x + 6)^{-2} ⋅ 2 = {-2 \over (2 x + 6)^{2}}\) 2p ○ \(\text{rc}_{k} = f'(-2) = -\frac{1}{2}\) 1p ○ \(\text{rc}_{k} ⋅ \text{rc}_{l} = -1\) geeft \(\text{rc}_{l} = 2 \text{,}\) dus \(y = 2 x + b\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = 2 x + b \\ \text{door } A (-2 , \frac{1}{2})\end{rcases} \begin{matrix}2 ⋅ -2 + b = \frac{1}{2} \\ -4 + b = \frac{1}{2} \\ b = 4\frac{1}{2}\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = 2 x + 4\frac{1}{2} \text{.}\) 1p ○ \(B (0 , 4\frac{1}{2})\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de functies \(f(x) = x^{2} + 3 x + 3\) en \(g(x) = -x^{2} - 2 x + 1 \text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B \text{,}\) met \(x_{A} < x_{B} \text{.}\) De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van het punt \(C \text{.}\) RaaklijnAanSnijdendeParabolen 00jq - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 26ms - data pool: #503 (26ms) ○ De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit \(x^{2} + 3 x + 3 = -x^{2} - 2 x + 1\) \(2 x^{2} + 5 x + 2 = 0\) \(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c \text{-}\)formule met \(D = 5^{2} - 4 ⋅ 2 ⋅ 2 = 9\) geeft \(x = {-5 - \sqrt{9} \over 2 ⋅ 2} = -2 ∨ x = {-5 + \sqrt{9} \over 2 ⋅ 2} = -\frac{1}{2}\) 1p ○ \(x_{A} = -2 \text{,}\) dus \(y_{A} = g(-2) = 1\) 1p ○ \(g'(x) = -2 x - 2\) 1p ○ \(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = g'(-2) = 2 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = 2 x + b \\ \text{door } A (-2 , 1)\end{rcases} \begin{matrix}2 ⋅ -2 + b = 1 \\ -4 + b = 1 \\ b = 5\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = 2 x + 5 \text{.}\) 1p ○ Snijpunt \(C\) volgt uit \(x^{2} + 3 x + 3 = 2 x + 5\) \(x^{2} + x - 2 = 0\) \((x + 2) (x - 1) = 0\) \(x = -2 ∨ x = 1\) 1p ○ \(x_{C} = 1 \text{,}\) dus \(y_{C} = f(1) = 7\) en \(C (1 , 7) \text{.}\) 1p

"