Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Toepassingen van de afgeleide functie'.

havo wiskunde B	6.1 Raaklijnen en toppen
Toepassingen van de afgeleide functie (1)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2-13x+2\text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(2\text{.}\) 4p Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B\text{.}\) RaaklijnMetGegevenRichtingscoefficient 00a4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 1ms ○ \(f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2-13x+2\) geeft \(f'(x)=x^2-2x-13\text{.}\) 1p ○ \(f'(x)=2\) geeft \(x^2-2x-13=2\) \(x^2-2x-15=0\) \((x+3)(x-5)=0\) \(x=-3∨x=5\text{.}\) 1p ○ \(f(-3)=23\text{,}\) dus \(A(-3, 23)\text{.}\) 1p ○ \(f(5)=-46\frac{1}{3}\text{,}\) dus \(B(5, -46\frac{1}{3})\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	6.4 Toepassingen van de afgeleide
Toepassingen van de afgeleide functie (2)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x)={8 \over 3x+2}\) en het punt \(A\) met \(x_A=-2\text{.}\) De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A\text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y\text{-}\)as in het punt \(B\text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van \(B\text{.}\) LoodrechteLijnOpstellen 00jh - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 48ms - data pool: #536 (48ms) ○ \(f(-2)=-2\text{,}\) dus \(A(-2, -2)\) 1p ○ \(f(x)={8 \over 3x+2}=8(3x+2)^{-1}\) geeft \(f'(x)=8⋅-1⋅(3x+2)^{-2}⋅3={-24 \over (3x+2)^2}\) 2p ○ \(\text{rc}_k=f'(-2)=-\frac{3}{2}\) 1p ○ \(\text{rc}_k⋅\text{rc}_l=-1\) geeft \(\text{rc}_l=\frac{2}{3}\text{,}\) dus \(y=\frac{2}{3}x+b\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=\frac{2}{3}x+b \\ \text{door }A(-2, -2)\end{rcases}\begin{matrix}\frac{2}{3}⋅-2+b=-2 \\ -1\frac{1}{3}+b=-2 \\ b=-\frac{2}{3}\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y=\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}\text{.}\) 1p ○ \(B(0, -\frac{2}{3})\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de functies \(f(x)=x^2+4x+5\) en \(g(x)=-x^2-5x+1\text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B\text{,}\) met \(x_A<x_B\text{.}\) De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C\text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van het punt \(C\text{.}\) RaaklijnAanSnijdendeParabolen 00jq - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 24ms - data pool: #503 (23ms) ○ De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit \(x^2+4x+5=-x^2-5x+1\) \(2x^2+9x+4=0\) \(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c\text{-}\)formule met \(D=9^2-4⋅2⋅4=49\) geeft \(x={-9-\sqrt{49} \over 2⋅2}=-4∨x={-9+\sqrt{49} \over 2⋅2}=-\frac{1}{2}\) 1p ○ \(x_A=-4\text{,}\) dus \(y_A=g(-4)=5\) 1p ○ \(g'(x)=-2x-5\) 1p ○ \(l{:}\,y=ax+b\) met \(a=g'(-4)=3\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=3x+b \\ \text{door }A(-4, 5)\end{rcases}\begin{matrix}3⋅-4+b=5 \\ -12+b=5 \\ b=17\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y=3x+17\text{.}\) 1p ○ Snijpunt \(C\) volgt uit \(x^2+4x+5=3x+17\) \(x^2+x-12=0\) \((x+4)(x-3)=0\) \(x=-4∨x=3\) 1p ○ \(x_C=3\text{,}\) dus \(y_C=f(3)=26\) en \(C(3, 26)\text{.}\) 1p

"