Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Toepassingen van de afgeleide functie'.

havo wiskunde B	6.1 Raaklijnen en toppen
Toepassingen van de afgeleide functie (1)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} + 2\frac{1}{2} x^{2} + 10 x + 2\frac{1}{6} \text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(4 \text{.}\) 4p Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B \text{.}\) RaaklijnMetGegevenRichtingscoefficient 00a4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 1ms ○ \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} + 2\frac{1}{2} x^{2} + 10 x + 2\frac{1}{6}\) geeft \(f'(x) = x^{2} + 5 x + 10 \text{.}\) 1p ○ \(f'(x) = 4\) geeft \(x^{2} + 5 x + 10 = 4\) \(x^{2} + 5 x + 6 = 0\) \((x + 3) (x + 2) = 0\) \(x = -3 ∨ x = -2 \text{.}\) 1p ○ \(f(-3) = -14\frac{1}{3} \text{,}\) dus \(A (-3 , -14\frac{1}{3}) \text{.}\) 1p ○ \(f(-2) = -10\frac{1}{2} \text{,}\) dus \(B (-2 , -10\frac{1}{2}) \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	6.4 Toepassingen van de afgeleide
Toepassingen van de afgeleide functie (2)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = {-2 \over 6 x + 10}\) en het punt \(A\) met \(x_{A} = -2 \text{.}\) De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A \text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y \text{-}\)as in het punt \(B \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van \(B \text{.}\) LoodrechteLijnOpstellen 00jh - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 23ms - data pool: #536 (23ms) ○ \(f(-2) = 1 \text{,}\) dus \(A (-2 , 1)\) 1p ○ \(f(x) = {-2 \over 6 x + 10} = -2 (6 x + 10)^{-1}\) geeft \(f'(x) = -2 ⋅ -1 ⋅ (6 x + 10)^{-2} ⋅ 6 = {12 \over (6 x + 10)^{2}}\) 2p ○ \(\text{rc}_{k} = f'(-2) = 3\) 1p ○ \(\text{rc}_{k} ⋅ \text{rc}_{l} = -1\) geeft \(\text{rc}_{l} = -\frac{1}{3} \text{,}\) dus \(y = -\frac{1}{3} x + b\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = -\frac{1}{3} x + b \\ \text{door } A (-2 , 1)\end{rcases} \begin{matrix}-\frac{1}{3} ⋅ -2 + b = 1 \\ \frac{2}{3} + b = 1 \\ b = \frac{1}{3}\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = -\frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \text{.}\) 1p ○ \(B (0 , \frac{1}{3})\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de functies \(f(x) = x^{2} + 2 x - 3\) en \(g(x) = -x^{2} - 3 x - 5 \text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B \text{,}\) met \(x_{A} < x_{B} \text{.}\) De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van het punt \(C \text{.}\) RaaklijnAanSnijdendeParabolen 00jq - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 15ms - data pool: #503 (15ms) ○ De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit \(x^{2} + 2 x - 3 = -x^{2} - 3 x - 5\) \(2 x^{2} + 5 x + 2 = 0\) \(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c \text{-}\)formule met \(D = 5^{2} - 4 ⋅ 2 ⋅ 2 = 9\) geeft \(x = {-5 - \sqrt{9} \over 2 ⋅ 2} = -2 ∨ x = {-5 + \sqrt{9} \over 2 ⋅ 2} = -\frac{1}{2}\) 1p ○ \(x_{A} = -2 \text{,}\) dus \(y_{A} = g(-2) = -3\) 1p ○ \(g'(x) = -2 x - 3\) 1p ○ \(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = g'(-2) = 1 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = x + b \\ \text{door } A (-2 , -3)\end{rcases} \begin{matrix}1 ⋅ -2 + b = -3 \\ -2 + b = -3 \\ b = -1\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = x - 1 \text{.}\) 1p ○ Snijpunt \(C\) volgt uit \(x^{2} + 2 x - 3 = x - 1\) \(x^{2} + x - 2 = 0\) \((x + 2) (x - 1) = 0\) \(x = -2 ∨ x = 1\) 1p ○ \(x_{C} = 1 \text{,}\) dus \(y_{C} = f(1) = 0\) en \(C (1 , 0) \text{.}\) 1p

"