Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Toepassingen van de afgeleide functie'.

havo wiskunde B	6.1 Raaklijnen en toppen
Toepassingen van de afgeleide functie (1)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 10 x + 3\frac{1}{2} \text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(-4 \text{.}\) 4p Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B \text{.}\) RaaklijnMetGegevenRichtingscoefficient 00a4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 1ms ○ \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 10 x + 3\frac{1}{2}\) geeft \(f'(x) = x^{2} - x - 10 \text{.}\) 1p ○ \(f'(x) = -4\) geeft \(x^{2} - x - 10 = -4\) \(x^{2} - x - 6 = 0\) \((x + 2) (x - 3) = 0\) \(x = -2 ∨ x = 3 \text{.}\) 1p ○ \(f(-2) = 18\frac{5}{6} \text{,}\) dus \(A (-2 , 18\frac{5}{6}) \text{.}\) 1p ○ \(f(3) = -22 \text{,}\) dus \(B (3 , -22) \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	6.4 Toepassingen van de afgeleide
Toepassingen van de afgeleide functie (2)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = {1 \over 3 x + 5}\) en het punt \(A\) met \(x_{A} = -2 \text{.}\) De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A \text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y \text{-}\)as in het punt \(B \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van \(B \text{.}\) LoodrechteLijnOpstellen 00jh - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 31ms - data pool: #536 (30ms) ○ \(f(-2) = -1 \text{,}\) dus \(A (-2 , -1)\) 1p ○ \(f(x) = {1 \over 3 x + 5} = 1 (3 x + 5)^{-1}\) geeft \(f'(x) = 1 ⋅ -1 ⋅ (3 x + 5)^{-2} ⋅ 3 = {-3 \over (3 x + 5)^{2}}\) 2p ○ \(\text{rc}_{k} = f'(-2) = -3\) 1p ○ \(\text{rc}_{k} ⋅ \text{rc}_{l} = -1\) geeft \(\text{rc}_{l} = \frac{1}{3} \text{,}\) dus \(y = \frac{1}{3} x + b\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = \frac{1}{3} x + b \\ \text{door } A (-2 , -1)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{1}{3} ⋅ -2 + b = -1 \\ -\frac{2}{3} + b = -1 \\ b = -\frac{1}{3}\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = \frac{1}{3} x - \frac{1}{3} \text{.}\) 1p ○ \(B (0 , -\frac{1}{3})\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de functies \(f(x) = x^{2} + 5 x + 2\) en \(g(x) = -x^{2} - 3 x - 4 \text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B \text{,}\) met \(x_{A} < x_{B} \text{.}\) De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van het punt \(C \text{.}\) RaaklijnAanSnijdendeParabolen 00jq - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 20ms - data pool: #503 (20ms) ○ De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit \(x^{2} + 5 x + 2 = -x^{2} - 3 x - 4\) \(2 x^{2} + 8 x + 6 = 0\) \(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c \text{-}\)formule met \(D = 8^{2} - 4 ⋅ 2 ⋅ 6 = 16\) geeft \(x = {-8 - \sqrt{16} \over 2 ⋅ 2} = -3 ∨ x = {-8 + \sqrt{16} \over 2 ⋅ 2} = -1\) 1p ○ \(x_{A} = -3 \text{,}\) dus \(y_{A} = g(-3) = -4\) 1p ○ \(g'(x) = -2 x - 3\) 1p ○ \(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = g'(-3) = 3 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = 3 x + b \\ \text{door } A (-3 , -4)\end{rcases} \begin{matrix}3 ⋅ -3 + b = -4 \\ -9 + b = -4 \\ b = 5\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = 3 x + 5 \text{.}\) 1p ○ Snijpunt \(C\) volgt uit \(x^{2} + 5 x + 2 = 3 x + 5\) \(x^{2} + 2 x - 3 = 0\) \((x + 3) (x - 1) = 0\) \(x = -3 ∨ x = 1\) 1p ○ \(x_{C} = 1 \text{,}\) dus \(y_{C} = f(1) = 8\) en \(C (1 , 8) \text{.}\) 1p

"