Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Toepassingen van de afgeleide functie'.

havo wiskunde B	6.1 Raaklijnen en toppen
Toepassingen van de afgeleide functie (1)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} - 1\frac{1}{2} x^{2} - 14 x + 1\frac{1}{2} \text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(-4 \text{.}\) 4p Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B \text{.}\) RaaklijnMetGegevenRichtingscoefficient 00a4 - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 1ms ○ \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} - 1\frac{1}{2} x^{2} - 14 x + 1\frac{1}{2}\) geeft \(f'(x) = x^{2} - 3 x - 14 \text{.}\) 1p ○ \(f'(x) = -4\) geeft \(x^{2} - 3 x - 14 = -4\) \(x^{2} - 3 x - 10 = 0\) \((x + 2) (x - 5) = 0\) \(x = -2 ∨ x = 5 \text{.}\) 1p ○ \(f(-2) = 20\frac{5}{6} \text{,}\) dus \(A (-2 , 20\frac{5}{6}) \text{.}\) 1p ○ \(f(5) = -64\frac{1}{3} \text{,}\) dus \(B (5 , -64\frac{1}{3}) \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	6.4 Toepassingen van de afgeleide
Toepassingen van de afgeleide functie (2)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = {5 \over 4 x + 7}\) en het punt \(A\) met \(x_{A} = -3 \text{.}\) De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A \text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y \text{-}\)as in het punt \(B \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van \(B \text{.}\) LoodrechteLijnOpstellen 00jh - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 24ms - data pool: #536 (24ms) ○ \(f(-3) = -1 \text{,}\) dus \(A (-3 , -1)\) 1p ○ \(f(x) = {5 \over 4 x + 7} = 5 (4 x + 7)^{-1}\) geeft \(f'(x) = 5 ⋅ -1 ⋅ (4 x + 7)^{-2} ⋅ 4 = {-20 \over (4 x + 7)^{2}}\) 2p ○ \(\text{rc}_{k} = f'(-3) = -\frac{4}{5}\) 1p ○ \(\text{rc}_{k} ⋅ \text{rc}_{l} = -1\) geeft \(\text{rc}_{l} = \frac{5}{4} \text{,}\) dus \(y = 1\frac{1}{4} x + b\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = 1\frac{1}{4} x + b \\ \text{door } A (-3 , -1)\end{rcases} \begin{matrix}1\frac{1}{4} ⋅ -3 + b = -1 \\ -3\frac{3}{4} + b = -1 \\ b = 2\frac{3}{4}\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = 1\frac{1}{4} x + 2\frac{3}{4} \text{.}\) 1p ○ \(B (0 , 2\frac{3}{4})\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de functies \(f(x) = x^{2} - x - 2\) en \(g(x) = -x^{2} + 4 x + 5 \text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B \text{,}\) met \(x_{A} < x_{B} \text{.}\) De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C \text{.}\) 7p Bereken exact de coördinaten van het punt \(C \text{.}\) RaaklijnAanSnijdendeParabolen 00jq - Toepassingen van de afgeleide functie - basis - 17ms - data pool: #503 (16ms) ○ De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit \(x^{2} - x - 2 = -x^{2} + 4 x + 5\) \(2 x^{2} - 5 x - 7 = 0\) \(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c \text{-}\)formule met \(D = (-5)^{2} - 4 ⋅ 2 ⋅ -7 = 81\) geeft \(x = {5 - \sqrt{81} \over 2 ⋅ 2} = -1 ∨ x = {5 + \sqrt{81} \over 2 ⋅ 2} = 3\frac{1}{2}\) 1p ○ \(x_{A} = -1 \text{,}\) dus \(y_{A} = g(-1) = 0\) 1p ○ \(g'(x) = -2 x + 4\) 1p ○ \(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = g'(-1) = 6 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = 6 x + b \\ \text{door } A (-1 , 0)\end{rcases} \begin{matrix}6 ⋅ -1 + b = 0 \\ -6 + b = 0 \\ b = 6\end{matrix}\) Dus \(l{:}\,y = 6 x + 6 \text{.}\) 1p ○ Snijpunt \(C\) volgt uit \(x^{2} - x - 2 = 6 x + 6\) \(x^{2} - 7 x - 8 = 0\) \((x + 1) (x - 8) = 0\) \(x = -1 ∨ x = 8\) 1p ○ \(x_{C} = 8 \text{,}\) dus \(y_{C} = f(8) = 54\) en \(C (8 , 54) \text{.}\) 1p

"