Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Sinus- en cosinusregel'.

havo wiskunde B	3.2 De sinusregel en de cosinusregel
Sinus- en cosinusregel (10)	opgave 1 3p a Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C=15\text{,}\) \(\angle A=55\degree\) en \(\angle B=69\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}C\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeInScherp 007p - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms a De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)}={A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)}={A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)}\text{.}\) 1p ○ Dus \(A\kern{-.8pt}C={B\kern{-.8pt}C⋅\sin(\angle B) \over \sin(\angle A)}={15⋅\sin(69\degree) \over \sin(55\degree)}\text{.}\) 1p ○ \(A\kern{-.8pt}C≈17{,}1\text{.}\) 1p 3p b Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B=24\text{,}\) \(\angle C=25\degree\) en \(\angle A=98\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(B\kern{-.8pt}C\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeInStomp 007q - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)}={B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)}={A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)}\text{.}\) 1p ○ Dus \(B\kern{-.8pt}C={A\kern{-.8pt}B⋅\sin(\angle A) \over \sin(\angle C)}={24⋅\sin(98\degree) \over \sin(25\degree)}\text{.}\) 1p ○ \(B\kern{-.8pt}C≈56{,}2\text{.}\) 1p 3p c Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(Q\kern{-.8pt}R=16\text{,}\) \(P\kern{-.8pt}R=28\) en \(\angle P=33\degree\text{.}\) Bereken \(\angle \text{Q}\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelHoekInScherp 007r - Sinus- en cosinusregel - basis - 9ms c De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)}={P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)}={P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)}\text{.}\) 1p ○ Daaruit volgt \(\sin(\angle Q)={P\kern{-.8pt}R⋅\sin(\angle P) \over Q\kern{-.8pt}R}={28⋅\sin(33\degree) \over 16}=0{,}953...\text{.}\) 1p ○ Dit geeft \(\angle Q≈72{,}4\degree\) of \(\angle Q≈107{,}6\degree\text{.}\) Uit de afbeelding volgt dat \(\angle Q\) een scherpe hoek is, dus \(\angle Q≈72{,}4\degree\text{.}\) 1p 3p d Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B=7\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}C=15\) en \(\angle C=26\degree\text{.}\) Bereken \(\angle \text{A}\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelHoekInStomp 007s - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms d De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)}={B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)}={A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)}\text{.}\) 1p ○ Daaruit volgt \(\sin(\angle A)={B\kern{-.8pt}C⋅\sin(\angle C) \over A\kern{-.8pt}B}={15⋅\sin(26\degree) \over 7}=0{,}939...\text{.}\) 1p ○ Dit geeft \(\angle A≈69{,}9\degree\) of \(\angle A≈110{,}1\degree\text{.}\) Uit de afbeelding volgt dat \(\angle A\) een stompe hoek is, dus \(\angle A≈110{,}1\degree\text{.}\) 1p opgave 2 4p a Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(L\kern{-.8pt}M=18\text{,}\) \(\angle M=62\degree\) en \(\angle L=55\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}L\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeNaHoekInScherp 007t - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms a Uit \(\angle M+\angle K+\angle L=180\degree\) volgt \(\angle K=180\degree-\angle M-\angle L=180\degree-62\degree-55\degree=63\degree\text{.}\) 1p ○ De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}={L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}={K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}\text{.}\) 1p ○ Dus \(K\kern{-.8pt}L={L\kern{-.8pt}M⋅\sin(\angle M) \over \sin(\angle K)}={18⋅\sin(62\degree) \over \sin(63\degree)}\text{.}\) 1p ○ \(K\kern{-.8pt}L≈17{,}8\text{.}\) 1p 4p b Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}L=56\text{,}\) \(\angle L=25\degree\) en \(\angle K=58\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}M\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeNaHoekInStomp 007u - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b Uit \(\angle L+\angle M+\angle K=180\degree\) volgt \(\angle M=180\degree-\angle L-\angle K=180\degree-25\degree-58\degree=97\degree\text{.}\) 1p ○ De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}={K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}={L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}\text{.}\) 1p ○ Dus \(K\kern{-.8pt}M={K\kern{-.8pt}L⋅\sin(\angle L) \over \sin(\angle M)}={56⋅\sin(25\degree) \over \sin(97\degree)}\text{.}\) 1p ○ \(K\kern{-.8pt}M≈23{,}8\text{.}\) 1p 3p c Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}L=19\text{,}\) \(L\kern{-.8pt}M=19\) en \(\angle L=64\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}M\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelZijdeInScherp 007v - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms c De cosinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \(K\kern{-.8pt}M^2=K\kern{-.8pt}L^2+L\kern{-.8pt}M^2-2⋅K\kern{-.8pt}L⋅L\kern{-.8pt}M⋅\cos(\angle L)\text{.}\) 1p ○ Dus \(K\kern{-.8pt}M^2=19^2+19^2-2⋅19⋅19⋅\cos(64\degree)=405{,}496...\text{.}\) 1p ○ \(K\kern{-.8pt}M=\sqrt{405{,}496...}≈20{,}1\text{.}\) 1p 3p d Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B=16\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}C=15\) en \(\angle B=124\degree\text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}C\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelZijdeInStomp 007w - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms d De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(A\kern{-.8pt}C^2=A\kern{-.8pt}B^2+B\kern{-.8pt}C^2-2⋅A\kern{-.8pt}B⋅B\kern{-.8pt}C⋅\cos(\angle B)\text{.}\) 1p ○ Dus \(A\kern{-.8pt}C^2=16^2+15^2-2⋅16⋅15⋅\cos(124\degree)=749{,}412...\text{.}\) 1p ○ \(A\kern{-.8pt}C=\sqrt{749{,}412...}≈27{,}4\text{.}\) 1p opgave 3 4p a Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(Q\kern{-.8pt}R=20\text{,}\) \(P\kern{-.8pt}R=19\) en \(P\kern{-.8pt}Q=21\text{.}\) Bereken \(\angle \text{R}\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelHoekInScherp 007x - Sinus- en cosinusregel - basis - 8ms a De cosinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \(P\kern{-.8pt}Q^2=Q\kern{-.8pt}R^2+P\kern{-.8pt}R^2-2⋅Q\kern{-.8pt}R⋅P\kern{-.8pt}R⋅\cos(\angle R)\text{.}\) 1p ○ Invullen geeft \(21^2=20^2+19^2-2⋅20⋅19⋅\cos(\angle R)\) dus \(441=761-760⋅\cos(\angle R)\text{.}\) 1p ○ Balansmethode geeft \(\cos(\angle R)={441-761 \over -760}=0{,}421...\) 1p ○ Hieruit volgt \(\angle R=\cos^{-1}(0{,}421...)≈65{,}1\degree\text{.}\) 1p 4p b Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B=30\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}C=31\) en \(A\kern{-.8pt}C=50\text{.}\) Bereken \(\angle \text{B}\text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelHoekInStomp 007y - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(A\kern{-.8pt}C^2=A\kern{-.8pt}B^2+B\kern{-.8pt}C^2-2⋅A\kern{-.8pt}B⋅B\kern{-.8pt}C⋅\cos(\angle B)\text{.}\) 1p ○ Invullen geeft \(50^2=30^2+31^2-2⋅30⋅31⋅\cos(\angle B)\) dus \(2\,500=1\,861-1\,860⋅\cos(\angle B)\text{.}\) 1p ○ Balansmethode geeft \(\cos(\angle B)={2\,500-1\,861 \over -1\,860}=-0{,}343...\) 1p ○ Hieruit volgt \(\angle B=\cos^{-1}(-0{,}343...)≈110{,}1\degree\text{.}\) 1p

3.2 De sinusregel en de cosinusregel

Sinus- en cosinusregel (10)

opgave 1

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C=15\text{,}\) \(\angle A=55\degree\) en \(\angle B=69\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}C\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeInScherp

007p - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms

De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)}={A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)}={A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)}\text{.}\)

○

Dus \(A\kern{-.8pt}C={B\kern{-.8pt}C⋅\sin(\angle B) \over \sin(\angle A)}={15⋅\sin(69\degree) \over \sin(55\degree)}\text{.}\)

○

\(A\kern{-.8pt}C≈17{,}1\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B=24\text{,}\) \(\angle C=25\degree\) en \(\angle A=98\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(B\kern{-.8pt}C\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeInStomp

007q - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)}={B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)}={A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)}\text{.}\)

○

Dus \(B\kern{-.8pt}C={A\kern{-.8pt}B⋅\sin(\angle A) \over \sin(\angle C)}={24⋅\sin(98\degree) \over \sin(25\degree)}\text{.}\)

○

\(B\kern{-.8pt}C≈56{,}2\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(Q\kern{-.8pt}R=16\text{,}\) \(P\kern{-.8pt}R=28\) en \(\angle P=33\degree\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{Q}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelHoekInScherp

007r - Sinus- en cosinusregel - basis - 9ms

De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)}={P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)}={P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)}\text{.}\)

○

Daaruit volgt \(\sin(\angle Q)={P\kern{-.8pt}R⋅\sin(\angle P) \over Q\kern{-.8pt}R}={28⋅\sin(33\degree) \over 16}=0{,}953...\text{.}\)

○

Dit geeft \(\angle Q≈72{,}4\degree\) of \(\angle Q≈107{,}6\degree\text{.}\)
Uit de afbeelding volgt dat \(\angle Q\) een scherpe hoek is, dus \(\angle Q≈72{,}4\degree\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B=7\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}C=15\) en \(\angle C=26\degree\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{A}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelHoekInStomp

007s - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)}={B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)}={A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)}\text{.}\)

○

Daaruit volgt \(\sin(\angle A)={B\kern{-.8pt}C⋅\sin(\angle C) \over A\kern{-.8pt}B}={15⋅\sin(26\degree) \over 7}=0{,}939...\text{.}\)

○

Dit geeft \(\angle A≈69{,}9\degree\) of \(\angle A≈110{,}1\degree\text{.}\)
Uit de afbeelding volgt dat \(\angle A\) een stompe hoek is, dus \(\angle A≈110{,}1\degree\text{.}\)

opgave 2

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(L\kern{-.8pt}M=18\text{,}\) \(\angle M=62\degree\) en \(\angle L=55\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}L\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeNaHoekInScherp

007t - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms

Uit \(\angle M+\angle K+\angle L=180\degree\) volgt \(\angle K=180\degree-\angle M-\angle L=180\degree-62\degree-55\degree=63\degree\text{.}\)

○

De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}={L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}={K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}\text{.}\)

○

Dus \(K\kern{-.8pt}L={L\kern{-.8pt}M⋅\sin(\angle M) \over \sin(\angle K)}={18⋅\sin(62\degree) \over \sin(63\degree)}\text{.}\)

○

\(K\kern{-.8pt}L≈17{,}8\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}L=56\text{,}\) \(\angle L=25\degree\) en \(\angle K=58\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}M\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeNaHoekInStomp

007u - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

Uit \(\angle L+\angle M+\angle K=180\degree\) volgt \(\angle M=180\degree-\angle L-\angle K=180\degree-25\degree-58\degree=97\degree\text{.}\)

○

De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)}={K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)}={L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)}\text{.}\)

○

Dus \(K\kern{-.8pt}M={K\kern{-.8pt}L⋅\sin(\angle L) \over \sin(\angle M)}={56⋅\sin(25\degree) \over \sin(97\degree)}\text{.}\)

○

\(K\kern{-.8pt}M≈23{,}8\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(K\kern{-.8pt}L=19\text{,}\) \(L\kern{-.8pt}M=19\) en \(\angle L=64\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}M\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelZijdeInScherp

007v - Sinus- en cosinusregel - basis - 1ms

De cosinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \(K\kern{-.8pt}M^2=K\kern{-.8pt}L^2+L\kern{-.8pt}M^2-2⋅K\kern{-.8pt}L⋅L\kern{-.8pt}M⋅\cos(\angle L)\text{.}\)

○

Dus \(K\kern{-.8pt}M^2=19^2+19^2-2⋅19⋅19⋅\cos(64\degree)=405{,}496...\text{.}\)

○

\(K\kern{-.8pt}M=\sqrt{405{,}496...}≈20{,}1\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B=16\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}C=15\) en \(\angle B=124\degree\text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}C\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelZijdeInStomp

007w - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(A\kern{-.8pt}C^2=A\kern{-.8pt}B^2+B\kern{-.8pt}C^2-2⋅A\kern{-.8pt}B⋅B\kern{-.8pt}C⋅\cos(\angle B)\text{.}\)

○

Dus \(A\kern{-.8pt}C^2=16^2+15^2-2⋅16⋅15⋅\cos(124\degree)=749{,}412...\text{.}\)

○

\(A\kern{-.8pt}C=\sqrt{749{,}412...}≈27{,}4\text{.}\)

opgave 3

Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(Q\kern{-.8pt}R=20\text{,}\) \(P\kern{-.8pt}R=19\) en \(P\kern{-.8pt}Q=21\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{R}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelHoekInScherp

007x - Sinus- en cosinusregel - basis - 8ms

De cosinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \(P\kern{-.8pt}Q^2=Q\kern{-.8pt}R^2+P\kern{-.8pt}R^2-2⋅Q\kern{-.8pt}R⋅P\kern{-.8pt}R⋅\cos(\angle R)\text{.}\)

○

Invullen geeft \(21^2=20^2+19^2-2⋅20⋅19⋅\cos(\angle R)\)
dus \(441=761-760⋅\cos(\angle R)\text{.}\)

○

Balansmethode geeft \(\cos(\angle R)={441-761 \over -760}=0{,}421...\)

○

Hieruit volgt \(\angle R=\cos^{-1}(0{,}421...)≈65{,}1\degree\text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B=30\text{,}\) \(B\kern{-.8pt}C=31\) en \(A\kern{-.8pt}C=50\text{.}\)
Bereken \(\angle \text{B}\text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelHoekInStomp

007y - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(A\kern{-.8pt}C^2=A\kern{-.8pt}B^2+B\kern{-.8pt}C^2-2⋅A\kern{-.8pt}B⋅B\kern{-.8pt}C⋅\cos(\angle B)\text{.}\)

○

Invullen geeft \(50^2=30^2+31^2-2⋅30⋅31⋅\cos(\angle B)\)
dus \(2\,500=1\,861-1\,860⋅\cos(\angle B)\text{.}\)

○

Balansmethode geeft \(\cos(\angle B)={2\,500-1\,861 \over -1\,860}=-0{,}343...\)

○

Hieruit volgt \(\angle B=\cos^{-1}(-0{,}343...)≈110{,}1\degree\text{.}\)