Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Sinus- en cosinusregel'.

havo wiskunde B	3.2 De sinusregel en de cosinusregel
Sinus- en cosinusregel (10)	opgave 1 3p a Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C = 12 \text{,}\) \(\angle B = 42\degree\) en \(\angle C = 81\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeInScherp 007p - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms a De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)} = {A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)} = {B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)} \text{.}\) 1p ○ Dus \(A\kern{-.8pt}B = {A\kern{-.8pt}C ⋅ \sin(\angle C) \over \sin(\angle B)} = {12 ⋅ \sin(81\degree) \over \sin(42\degree)} \text{.}\) 1p ○ \(A\kern{-.8pt}B ≈ 17{,}7 \text{.}\) 1p 3p b Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(L\kern{-.8pt}M = 48 \text{,}\) \(\angle K = 43\degree\) en \(\angle L = 112\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}M \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeInStomp 007q - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)} = {K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)} = {K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)} \text{.}\) 1p ○ Dus \(K\kern{-.8pt}M = {L\kern{-.8pt}M ⋅ \sin(\angle L) \over \sin(\angle K)} = {48 ⋅ \sin(112\degree) \over \sin(43\degree)} \text{.}\) 1p ○ \(K\kern{-.8pt}M ≈ 65{,}3 \text{.}\) 1p 3p c Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}R = 12 \text{,}\) \(P\kern{-.8pt}Q = 20\) en \(\angle Q = 34\degree \text{.}\) Bereken \(\angle \text{R} \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelHoekInScherp 007r - Sinus- en cosinusregel - basis - 5ms c De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)} = {P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)} = {Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)} \text{.}\) 1p ○ Daaruit volgt \(\sin(\angle R) = {P\kern{-.8pt}Q ⋅ \sin(\angle Q) \over P\kern{-.8pt}R} = {20 ⋅ \sin(34\degree) \over 12} = 0{,}931... \text{.}\) 1p ○ Dit geeft \(\angle R ≈ 68{,}7\degree\) of \(\angle R ≈ 111{,}3\degree \text{.}\) Uit de afbeelding volgt dat \(\angle R\) een scherpe hoek is, dus \(\angle R ≈ 68{,}7\degree \text{.}\) 1p 3p d Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C = 11 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C = 16\) en \(\angle A = 34\degree \text{.}\) Bereken \(\angle \text{B} \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelHoekInStomp 007s - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms d De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)} = {A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)} = {A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)} \text{.}\) 1p ○ Daaruit volgt \(\sin(\angle B) = {A\kern{-.8pt}C ⋅ \sin(\angle A) \over B\kern{-.8pt}C} = {16 ⋅ \sin(34\degree) \over 11} = 0{,}813... \text{.}\) 1p ○ Dit geeft \(\angle B ≈ 54{,}4\degree\) of \(\angle B ≈ 125{,}6\degree \text{.}\) Uit de afbeelding volgt dat \(\angle B\) een stompe hoek is, dus \(\angle B ≈ 125{,}6\degree \text{.}\) 1p opgave 2 4p a Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(Q\kern{-.8pt}R = 19 \text{,}\) \(\angle R = 40\degree\) en \(\angle Q = 61\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(P\kern{-.8pt}Q \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeNaHoekInScherp 007t - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms a Uit \(\angle R + \angle P + \angle Q = 180\degree\) volgt \(\angle P = 180\degree - \angle R - \angle Q = 180\degree - 40\degree - 61\degree = 79\degree \text{.}\) 1p ○ De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)} = {Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)} = {P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)} \text{.}\) 1p ○ Dus \(P\kern{-.8pt}Q = {Q\kern{-.8pt}R ⋅ \sin(\angle R) \over \sin(\angle P)} = {19 ⋅ \sin(40\degree) \over \sin(79\degree)} \text{.}\) 1p ○ \(P\kern{-.8pt}Q ≈ 12{,}4 \text{.}\) 1p 4p b Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B = 52 \text{,}\) \(\angle B = 33\degree\) en \(\angle A = 49\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}C \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. SinusregelZijdeNaHoekInStomp 007u - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b Uit \(\angle B + \angle C + \angle A = 180\degree\) volgt \(\angle C = 180\degree - \angle B - \angle A = 180\degree - 33\degree - 49\degree = 98\degree \text{.}\) 1p ○ De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)} = {A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)} = {B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)} \text{.}\) 1p ○ Dus \(A\kern{-.8pt}C = {A\kern{-.8pt}B ⋅ \sin(\angle B) \over \sin(\angle C)} = {52 ⋅ \sin(33\degree) \over \sin(98\degree)} \text{.}\) 1p ○ \(A\kern{-.8pt}C ≈ 28{,}6 \text{.}\) 1p 3p c Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C = 31 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}B = 20\) en \(\angle A = 85\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(B\kern{-.8pt}C \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelZijdeInScherp 007v - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms c De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(B\kern{-.8pt}C^{2} = A\kern{-.8pt}C^{2} + A\kern{-.8pt}B^{2} - 2 ⋅ A\kern{-.8pt}C ⋅ A\kern{-.8pt}B ⋅ \cos(\angle A) \text{.}\) 1p ○ Dus \(B\kern{-.8pt}C^{2} = 31^{2} + 20^{2} - 2 ⋅ 31 ⋅ 20 ⋅ \cos(85\degree) = 1252{,}926... \text{.}\) 1p ○ \(B\kern{-.8pt}C = \sqrt{1252{,}926...} ≈ 35{,}4 \text{.}\) 1p 3p d Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B = 63 \text{,}\) \(B\kern{-.8pt}C = 30\) en \(\angle B = 91\degree \text{.}\) Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}C \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelZijdeInStomp 007w - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms d De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(A\kern{-.8pt}C^{2} = A\kern{-.8pt}B^{2} + B\kern{-.8pt}C^{2} - 2 ⋅ A\kern{-.8pt}B ⋅ B\kern{-.8pt}C ⋅ \cos(\angle B) \text{.}\) 1p ○ Dus \(A\kern{-.8pt}C^{2} = 63^{2} + 30^{2} - 2 ⋅ 63 ⋅ 30 ⋅ \cos(91\degree) = 4934{,}970... \text{.}\) 1p ○ \(A\kern{-.8pt}C = \sqrt{4934{,}970...} ≈ 70{,}2 \text{.}\) 1p opgave 3 4p a Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C = 16 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C = 15\) en \(A\kern{-.8pt}B = 15 \text{.}\) Bereken \(\angle \text{C} \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelHoekInScherp 007x - Sinus- en cosinusregel - basis - 4ms a De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(A\kern{-.8pt}B^{2} = B\kern{-.8pt}C^{2} + A\kern{-.8pt}C^{2} - 2 ⋅ B\kern{-.8pt}C ⋅ A\kern{-.8pt}C ⋅ \cos(\angle C) \text{.}\) 1p ○ Invullen geeft \(15^{2} = 16^{2} + 15^{2} - 2 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ \cos(\angle C)\) dus \(225 = 481 - 480 ⋅ \cos(\angle C) \text{.}\) 1p ○ Balansmethode geeft \(\cos(\angle C) = {225 - 481 \over -480} = 0{,}533...\) 1p ○ Hieruit volgt \(\angle C = \cos^{-1}(0{,}533...) ≈ 57{,}8\degree \text{.}\) 1p 4p b Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(L\kern{-.8pt}M = 22 \text{,}\) \(K\kern{-.8pt}M = 28\) en \(K\kern{-.8pt}L = 44 \text{.}\) Bereken \(\angle \text{M} \text{.}\) Rond indien nodig af op één decimaal. CosinusregelHoekInStomp 007y - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms b De cosinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \(K\kern{-.8pt}L^{2} = L\kern{-.8pt}M^{2} + K\kern{-.8pt}M^{2} - 2 ⋅ L\kern{-.8pt}M ⋅ K\kern{-.8pt}M ⋅ \cos(\angle M) \text{.}\) 1p ○ Invullen geeft \(44^{2} = 22^{2} + 28^{2} - 2 ⋅ 22 ⋅ 28 ⋅ \cos(\angle M)\) dus \(1\,936 = 1\,268 - 1\,232 ⋅ \cos(\angle M) \text{.}\) 1p ○ Balansmethode geeft \(\cos(\angle M) = {1\,936 - 1\,268 \over -1\,232} = -0{,}542...\) 1p ○ Hieruit volgt \(\angle M = \cos^{-1}(-0{,}542...) ≈ 122{,}8\degree \text{.}\) 1p

3.2 De sinusregel en de cosinusregel

Sinus- en cosinusregel (10)

opgave 1

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C = 12 \text{,}\) \(\angle B = 42\degree\) en \(\angle C = 81\degree \text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeInScherp

007p - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)} = {A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)} = {B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)} \text{.}\)

○

Dus \(A\kern{-.8pt}B = {A\kern{-.8pt}C ⋅ \sin(\angle C) \over \sin(\angle B)} = {12 ⋅ \sin(81\degree) \over \sin(42\degree)} \text{.}\)

○

\(A\kern{-.8pt}B ≈ 17{,}7 \text{.}\)

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(L\kern{-.8pt}M = 48 \text{,}\) \(\angle K = 43\degree\) en \(\angle L = 112\degree \text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(K\kern{-.8pt}M \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeInStomp

007q - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De sinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \({L\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle K)} = {K\kern{-.8pt}M \over \sin(\angle L)} = {K\kern{-.8pt}L \over \sin(\angle M)} \text{.}\)

○

Dus \(K\kern{-.8pt}M = {L\kern{-.8pt}M ⋅ \sin(\angle L) \over \sin(\angle K)} = {48 ⋅ \sin(112\degree) \over \sin(43\degree)} \text{.}\)

○

\(K\kern{-.8pt}M ≈ 65{,}3 \text{.}\)

Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(P\kern{-.8pt}R = 12 \text{,}\) \(P\kern{-.8pt}Q = 20\) en \(\angle Q = 34\degree \text{.}\)
Bereken \(\angle \text{R} \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelHoekInScherp

007r - Sinus- en cosinusregel - basis - 5ms

De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)} = {P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)} = {Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)} \text{.}\)

○

Daaruit volgt \(\sin(\angle R) = {P\kern{-.8pt}Q ⋅ \sin(\angle Q) \over P\kern{-.8pt}R} = {20 ⋅ \sin(34\degree) \over 12} = 0{,}931... \text{.}\)

○

Dit geeft \(\angle R ≈ 68{,}7\degree\) of \(\angle R ≈ 111{,}3\degree \text{.}\)
Uit de afbeelding volgt dat \(\angle R\) een scherpe hoek is, dus \(\angle R ≈ 68{,}7\degree \text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C = 11 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C = 16\) en \(\angle A = 34\degree \text{.}\)
Bereken \(\angle \text{B} \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelHoekInStomp

007s - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)} = {A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)} = {A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)} \text{.}\)

○

Daaruit volgt \(\sin(\angle B) = {A\kern{-.8pt}C ⋅ \sin(\angle A) \over B\kern{-.8pt}C} = {16 ⋅ \sin(34\degree) \over 11} = 0{,}813... \text{.}\)

○

Dit geeft \(\angle B ≈ 54{,}4\degree\) of \(\angle B ≈ 125{,}6\degree \text{.}\)
Uit de afbeelding volgt dat \(\angle B\) een stompe hoek is, dus \(\angle B ≈ 125{,}6\degree \text{.}\)

opgave 2

Gegeven is \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) met \(Q\kern{-.8pt}R = 19 \text{,}\) \(\angle R = 40\degree\) en \(\angle Q = 61\degree \text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(P\kern{-.8pt}Q \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeNaHoekInScherp

007t - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

Uit \(\angle R + \angle P + \angle Q = 180\degree\) volgt \(\angle P = 180\degree - \angle R - \angle Q = 180\degree - 40\degree - 61\degree = 79\degree \text{.}\)

○

De sinusregel in \(\triangle P\kern{-.8pt}Q\kern{-.8pt}R\) geeft \({P\kern{-.8pt}Q \over \sin(\angle R)} = {Q\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle P)} = {P\kern{-.8pt}R \over \sin(\angle Q)} \text{.}\)

○

Dus \(P\kern{-.8pt}Q = {Q\kern{-.8pt}R ⋅ \sin(\angle R) \over \sin(\angle P)} = {19 ⋅ \sin(40\degree) \over \sin(79\degree)} \text{.}\)

○

\(P\kern{-.8pt}Q ≈ 12{,}4 \text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B = 52 \text{,}\) \(\angle B = 33\degree\) en \(\angle A = 49\degree \text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}C \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

SinusregelZijdeNaHoekInStomp

007u - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

Uit \(\angle B + \angle C + \angle A = 180\degree\) volgt \(\angle C = 180\degree - \angle B - \angle A = 180\degree - 33\degree - 49\degree = 98\degree \text{.}\)

○

De sinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \({A\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle B)} = {A\kern{-.8pt}B \over \sin(\angle C)} = {B\kern{-.8pt}C \over \sin(\angle A)} \text{.}\)

○

Dus \(A\kern{-.8pt}C = {A\kern{-.8pt}B ⋅ \sin(\angle B) \over \sin(\angle C)} = {52 ⋅ \sin(33\degree) \over \sin(98\degree)} \text{.}\)

○

\(A\kern{-.8pt}C ≈ 28{,}6 \text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}C = 31 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}B = 20\) en \(\angle A = 85\degree \text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(B\kern{-.8pt}C \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelZijdeInScherp

007v - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(B\kern{-.8pt}C^{2} = A\kern{-.8pt}C^{2} + A\kern{-.8pt}B^{2} - 2 ⋅ A\kern{-.8pt}C ⋅ A\kern{-.8pt}B ⋅ \cos(\angle A) \text{.}\)

○

Dus \(B\kern{-.8pt}C^{2} = 31^{2} + 20^{2} - 2 ⋅ 31 ⋅ 20 ⋅ \cos(85\degree) = 1252{,}926... \text{.}\)

○

\(B\kern{-.8pt}C = \sqrt{1252{,}926...} ≈ 35{,}4 \text{.}\)

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(A\kern{-.8pt}B = 63 \text{,}\) \(B\kern{-.8pt}C = 30\) en \(\angle B = 91\degree \text{.}\)
Bereken de lengte van zijde \(A\kern{-.8pt}C \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelZijdeInStomp

007w - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(A\kern{-.8pt}C^{2} = A\kern{-.8pt}B^{2} + B\kern{-.8pt}C^{2} - 2 ⋅ A\kern{-.8pt}B ⋅ B\kern{-.8pt}C ⋅ \cos(\angle B) \text{.}\)

○

Dus \(A\kern{-.8pt}C^{2} = 63^{2} + 30^{2} - 2 ⋅ 63 ⋅ 30 ⋅ \cos(91\degree) = 4934{,}970... \text{.}\)

○

\(A\kern{-.8pt}C = \sqrt{4934{,}970...} ≈ 70{,}2 \text{.}\)

opgave 3

Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met \(B\kern{-.8pt}C = 16 \text{,}\) \(A\kern{-.8pt}C = 15\) en \(A\kern{-.8pt}B = 15 \text{.}\)
Bereken \(\angle \text{C} \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelHoekInScherp

007x - Sinus- en cosinusregel - basis - 4ms

De cosinusregel in \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) geeft \(A\kern{-.8pt}B^{2} = B\kern{-.8pt}C^{2} + A\kern{-.8pt}C^{2} - 2 ⋅ B\kern{-.8pt}C ⋅ A\kern{-.8pt}C ⋅ \cos(\angle C) \text{.}\)

○

Invullen geeft \(15^{2} = 16^{2} + 15^{2} - 2 ⋅ 16 ⋅ 15 ⋅ \cos(\angle C)\)
dus \(225 = 481 - 480 ⋅ \cos(\angle C) \text{.}\)

○

Balansmethode geeft \(\cos(\angle C) = {225 - 481 \over -480} = 0{,}533...\)

○

Hieruit volgt \(\angle C = \cos^{-1}(0{,}533...) ≈ 57{,}8\degree \text{.}\)

Gegeven is \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) met \(L\kern{-.8pt}M = 22 \text{,}\) \(K\kern{-.8pt}M = 28\) en \(K\kern{-.8pt}L = 44 \text{.}\)
Bereken \(\angle \text{M} \text{.}\)
Rond indien nodig af op één decimaal.

CosinusregelHoekInStomp

007y - Sinus- en cosinusregel - basis - 0ms

De cosinusregel in \(\triangle K\kern{-.8pt}L\kern{-.8pt}M\) geeft \(K\kern{-.8pt}L^{2} = L\kern{-.8pt}M^{2} + K\kern{-.8pt}M^{2} - 2 ⋅ L\kern{-.8pt}M ⋅ K\kern{-.8pt}M ⋅ \cos(\angle M) \text{.}\)

○

Invullen geeft \(44^{2} = 22^{2} + 28^{2} - 2 ⋅ 22 ⋅ 28 ⋅ \cos(\angle M)\)
dus \(1\,936 = 1\,268 - 1\,232 ⋅ \cos(\angle M) \text{.}\)

○

Balansmethode geeft \(\cos(\angle M) = {1\,936 - 1\,268 \over -1\,232} = -0{,}542...\)

○

Hieruit volgt \(\angle M = \cos^{-1}(-0{,}542...) ≈ 122{,}8\degree \text{.}\)