Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Raaklijnen aan cirkels'.

havo wiskunde B 7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels

Raaklijnen aan cirkels (4)

opgave 1

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-2x-12=0\text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A(3, 3)\text{.}\)

4p

Stel de vergelijking van \(l\) op.

GegevenRaakpunt
00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft \((x-1)^2+y^2=13\)
Dus \(M(1, 0)\) en \(r=\sqrt{13}\text{.}\)

1p

○

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_m={\Delta y \over \Delta x}={0-3 \over 1-3}=1\frac{1}{2}\text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l\perp m\text{, dus }\text{rc}_l⋅\text{rc}_m=-1 \\ \text{rc}_m=1\frac{1}{2}\end{rcases}\text{rc}_l=-\frac{2}{3}\)

1p

○

\(\begin{rcases}y=-\frac{2}{3}x+b \\ \text{door }A(3, 3)\end{rcases}\begin{matrix}3=-\frac{2}{3}⋅3+b \\ 3=-2+b \\ b=5\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-\frac{2}{3}x+5\text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+4x+14y+33=0\text{.}\)
Er zijn twee lijnen met richtingscoëfficiënt \(\frac{1}{2}\) die \(c\) raken.

5p

Stel van elk van deze lijnen de vergelijking op.

GegevenRichtingscoefficient
00bq - Raaklijnen aan cirkels - basis - 109ms - data pool: #292 (105ms)

○

Stel \(y=\frac{1}{2}x+b\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+4x+14y+33=0\) geeft
\(x^2+(\frac{1}{2}x+b)^2+4x+14(\frac{1}{2}x+b)+33=0\text{.}\)

1p

○

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+\frac{1}{4}x^2+bx+b^2+4x+7x+14b+33=0\)
\(1\frac{1}{4}x^2+(b+11)x+(b^2+14b+33)=0\)

1p

○

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(b+11)^2-4⋅1\frac{1}{4}⋅(b^2+14b+33)\)
\(D=b^2+22b+121-5b^2-70b-165\)
\(D=-4b^2-48b-44\)

1p

○

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-4b^2-48b-44=0\)
\(b^2+12b+11=0\)
\((b+11)(b+1)=0\)
\(b=-11∨b=-1\)

1p

○

De vergelijkingen zijn \(y=\frac{1}{2}x-11\) en \(y=\frac{1}{2}x-1\text{.}\)

1p

opgave 3

Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-12x-2y+29=0\) en het punt \(A(0, -1)\text{.}\)
Er zijn twee lijnen die door \(A\) gaan en raken aan \(c\text{.}\)

5p

Stel van beide lijnen de vergelijking op.

GegevenSnijpuntYAs
00bv - Raaklijnen aan cirkels - basis - 3ms - data pool: #29 (3ms)

○

Stel \(y=ax-1\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2-12x-2y+29=0\) geeft
\(x^2+(ax-1)^2-12x-2(ax-1)+29=0\text{.}\)

1p

○

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+a^2x^2-2ax+1-12x-2ax+2+29=0\)
\((1+a^2)x^2+(-4a-12)x+32=0\)

1p

○

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(-4a-12)^2-4⋅(1+a^2)⋅32\)
\(D=16a^2+96a+144-128-128a^2\)
\(D=-112a^2+96a+16\)

1p

○

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-112a^2+96a+16=0\)
\(-7a^2+6a+1=0\)
\(D=6^2-4⋅-7⋅1=64\) dus \(\sqrt{D}=8\)
\(a={-6-8 \over -14}=1∨a={-6+8 \over -14}=-\frac{1}{7}\text{.}\)

1p

○

De vergelijkingen zijn \(y=x-1\) en \(y=-\frac{1}{7}x-1\text{.}\)

1p

opgave 4

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-8y-18=0\text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=3\) en \(y_A>y_B\) liggen op \(c\text{.}\)
De lijn \(k\) raakt \(c\) in \(A\) en de lijn \(l\) raakt \(c\) in \(B\text{.}\)

6p

Stel de vergelijking op van \(l\text{.}\)

GegevenRaakpunt (2)
00s2 - Raaklijnen aan cirkels - basis - 1ms

○

\(\begin{rcases}c{:}\,x^2+y^2-8y-18=0 \\ x=3\end{rcases}\) geeft
\(3^2+y^2+0⋅3-8y-18=0\)
\(y^2-8y-9=0\)
\((y+1)(y-9)=0\)
\(y=-1∨y=9\)

1p

○

\(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(3, 9)\) en \(B(3, -1)\text{.}\)

1p

○

(kwadraatafsplitsen)
\(x^2+(y-4)^2-16-18=0\)
\(x^2+(y-4)^2=34\)
Dus \(M(0, 4)\text{.}\)

1p

○

(voor de lijn door \(B\) en \(M\) geldt)
\(\text{rc}_{\text{BM}}={\Delta y \over \Delta x}={4--1 \over 0-3}=-1\frac{2}{3}\text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}\text{BM}\perp l\text{, dus }\text{rc}_{\text{BM}}⋅\text{rc}_l=-1 \\ \text{rc}_{\text{BM}}=-1\frac{2}{3}\end{rcases}\text{rc}_l=\frac{3}{5}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l{:}\,y=\frac{3}{5}x+b \\ \text{door }B(3, -1)\end{rcases}\begin{matrix}-1=\frac{3}{5}⋅3+b \\ -1=1\frac{4}{5}+b \\ b=-2\frac{4}{5}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=\frac{3}{5}x-2\frac{4}{5}\text{.}\)

1p
"