Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Raaklijnen aan cirkels'.

havo wiskunde B 7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels

Raaklijnen aan cirkels (4)

opgave 1

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 6 x - 11 = 0 \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A (7 , 2) \text{.}\)

4p

Stel de vergelijking van \(l\) op.

GegevenRaakpunt
00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft \((x - 3)^{2} + y^{2} = 20\)
Dus \(M (3 , 0)\) en \(r = \sqrt{20} \text{.}\)

1p

○

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_{m} = {\Delta y \over \Delta x} = {0 - 2 \over 3 - 7} = \frac{1}{2} \text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l \perp m \text{, dus } \text{rc}_{l} ⋅ \text{rc}_{m} = -1 \\ \text{rc}_{m} = \frac{1}{2}\end{rcases} \text{rc}_{l} = -2\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = -2 x + b \\ \text{door } A (7 , 2)\end{rcases} \begin{matrix}2 = -2 ⋅ 7 + b \\ 2 = -14 + b \\ b = 16\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = -2 x + 16 \text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 2 x + 8 y + 12 = 0 \text{.}\)
Er zijn twee lijnen met richtingscoëfficiënt \(5\frac{1}{2}\) die \(c\) raken.

5p

Stel van elk van deze lijnen de vergelijking op.

GegevenRichtingscoefficient
00bq - Raaklijnen aan cirkels - basis - 142ms - data pool: #292 (137ms)

○

Stel \(y = 5\frac{1}{2} x + b \text{.}\)
Substitutie in \(x^{2} + y^{2} + 2 x + 8 y + 12 = 0\) geeft
\(x^{2} + (5\frac{1}{2} x + b)^{2} + 2 x + 8 (5\frac{1}{2} x + b) + 12 = 0 \text{.}\)

1p

○

Omschrijven naar de vorm \(A x^{2} + B x + C\) geeft
\(x^{2} + 30\frac{1}{4} x^{2} + 11 b x + b^{2} + 2 x + 44 x + 8 b + 12 = 0\)
\(31\frac{1}{4} x^{2} + (11 b + 46) x + (b^{2} + 8 b + 12) = 0\)

1p

○

De discriminant is gelijk aan
\(D = B^{2} - 4 A C\)
\(D = (11 b + 46)^{2} - 4 ⋅ 31\frac{1}{4} ⋅ (b^{2} + 8 b + 12)\)
\(D = 121 b^{2} + 1\,012 b + 2\,116 - 125 b^{2} - 1\,000 b - 1\,500\)
\(D = -4 b^{2} + 12 b + 616\)

1p

○

Oplossen van \(D = 0\) geeft
\(-4 b^{2} + 12 b + 616 = 0\)
\(b^{2} - 3 b - 154 = 0\)
\((b + 11) (b - 14) = 0\)
\(b = -11 ∨ b = 14\)

1p

○

De vergelijkingen zijn \(y = 5\frac{1}{2} x - 11\) en \(y = 5\frac{1}{2} x + 14 \text{.}\)

1p

opgave 3

Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 10 x - 4 y + 16 = 0\) en het punt \(A (0 , 3) \text{.}\)
Er zijn twee lijnen die door \(A\) gaan en raken aan \(c \text{.}\)

5p

Stel van beide lijnen de vergelijking op.

GegevenSnijpuntYAs
00bv - Raaklijnen aan cirkels - basis - 5ms - data pool: #29 (4ms)

○

Stel \(y = a x + 3 \text{.}\)
Substitutie in \(x^{2} + y^{2} - 10 x - 4 y + 16 = 0\) geeft
\(x^{2} + (a x + 3)^{2} - 10 x - 4 (a x + 3) + 16 = 0 \text{.}\)

1p

○

Omschrijven naar de vorm \(A x^{2} + B x + C\) geeft
\(x^{2} + a^{2} x^{2} + 6 a x + 9 - 10 x - 4 a x - 12 + 16 = 0\)
\((1 + a^{2}) x^{2} + (2 a - 10) x + 13 = 0\)

1p

○

De discriminant is gelijk aan
\(D = B^{2} - 4 A C\)
\(D = (2 a - 10)^{2} - 4 ⋅ (1 + a^{2}) ⋅ 13\)
\(D = 4 a^{2} - 40 a + 100 - 52 - 52 a^{2}\)
\(D = -48 a^{2} - 40 a + 48\)

1p

○

Oplossen van \(D = 0\) geeft
\(-48 a^{2} - 40 a + 48 = 0\)
\(-6 a^{2} - 5 a + 6 = 0\)
\(D = (-5)^{2} - 4 ⋅ -6 ⋅ 6 = 169\) dus \(\sqrt{D} = 13\)
\(a = {5 - 13 \over -12} = \frac{2}{3} ∨ a = {5 + 13 \over -12} = -1\frac{1}{2} \text{.}\)

1p

○

De vergelijkingen zijn \(y = \frac{2}{3} x + 3\) en \(y = -1\frac{1}{2} x + 3 \text{.}\)

1p

opgave 4

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 2 x + 8 y - 12 = 0 \text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_{A} = x_{B} = 1\) en \(y_{A} < y_{B}\) liggen op \(c \text{.}\)
De lijn \(k\) raakt \(c\) in \(A\) en de lijn \(l\) raakt \(c\) in \(B \text{.}\)

6p

Stel de vergelijking op van \(l \text{.}\)

GegevenRaakpunt (2)
00s2 - Raaklijnen aan cirkels - basis - 1ms

○

\(\begin{rcases}c{:}\,x^{2} + y^{2} + 2 x + 8 y - 12 = 0 \\ x = 1\end{rcases}\) geeft
\(1^{2} + y^{2} + 2 ⋅ 1 + 8 y - 12 = 0\)
\(1 y^{2} + 8 y + -9 = 0\)
\((y + 9) (y + -1) = 0\)
\(y = -9 ∨ y = 1\)

1p

○

\(y_{A} < y_{B} \text{,}\) dus \(A (1 , -9)\) en \(B (1 , 1) \text{.}\)

1p

○

(kwadraatafsplitsen)
\((x + 1)^{2} - 1 + (y + 4)^{2} - 16 - 12 = 0\)
\((x + 1)^{2} + (y + 4)^{2} = 29\)
Dus \(M (-1 , -4) \text{.}\)

1p

○

(voor de lijn door \(B\) en \(M\) geldt)
\(\text{rc}_{\text{BM}} = {\Delta y \over \Delta x} = {-4 - 1 \over -1 - 1} = 2\frac{1}{2} \text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}\text{BM} \perp l \text{, dus } \text{rc}_{\text{BM}} ⋅ \text{rc}_{l} = -1 \\ \text{rc}_{\text{BM}} = 2\frac{1}{2}\end{rcases} \text{rc}_{l} = -\frac{2}{5}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l{:}\,y = -\frac{2}{5} x + b \\ \text{door } B (1 , 1)\end{rcases} \begin{matrix}1 = -\frac{2}{5} ⋅ 1 + b \\ 1 = -\frac{2}{5} + b \\ b = 1\frac{2}{5}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = -\frac{2}{5} x + 1\frac{2}{5} \text{.}\)

1p
"