Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Raaklijnen aan cirkels'.

havo wiskunde B 7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels

Raaklijnen aan cirkels (4)

opgave 1

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 6 y - 11 = 0 \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A (2 , 7) \text{.}\)

4p

Stel de vergelijking van \(l\) op.

GegevenRaakpunt
00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft \(x^{2} + (y - 3)^{2} = 20\)
Dus \(M (0 , 3)\) en \(r = \sqrt{20} \text{.}\)

1p

○

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_{m} = {\Delta y \over \Delta x} = {3 - 7 \over 0 - 2} = 2 \text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l \perp m \text{, dus } \text{rc}_{l} ⋅ \text{rc}_{m} = -1 \\ \text{rc}_{m} = 2\end{rcases} \text{rc}_{l} = -\frac{1}{2}\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = -\frac{1}{2} x + b \\ \text{door } A (2 , 7)\end{rcases} \begin{matrix}7 = -\frac{1}{2} ⋅ 2 + b \\ 7 = -1 + b \\ b = 8\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = -\frac{1}{2} x + 8 \text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 2 x - 14 y + 40 = 0 \text{.}\)
Er zijn twee lijnen met richtingscoëfficiënt \(-3\) die \(c\) raken.

5p

Stel van elk van deze lijnen de vergelijking op.

GegevenRichtingscoefficient
00bq - Raaklijnen aan cirkels - basis - 271ms - data pool: #292 (268ms)

○

Stel \(y = -3 x + b \text{.}\)
Substitutie in \(x^{2} + y^{2} + 2 x - 14 y + 40 = 0\) geeft
\(x^{2} + (-3 x + b)^{2} + 2 x - 14 (-3 x + b) + 40 = 0 \text{.}\)

1p

○

Omschrijven naar de vorm \(A x^{2} + B x + C\) geeft
\(x^{2} + 9 x^{2} - 6 b x + b^{2} + 2 x + 42 x - 14 b + 40 = 0\)
\(10 x^{2} + (-6 b + 44) x + (b^{2} - 14 b + 40) = 0\)

1p

○

De discriminant is gelijk aan
\(D = B^{2} - 4 A C\)
\(D = (-6 b + 44)^{2} - 4 ⋅ 10 ⋅ (b^{2} - 14 b + 40)\)
\(D = 36 b^{2} - 528 b + 1\,936 - 40 b^{2} + 560 b - 1\,600\)
\(D = -4 b^{2} + 32 b + 336\)

1p

○

Oplossen van \(D = 0\) geeft
\(-4 b^{2} + 32 b + 336 = 0\)
\(b^{2} - 8 b - 84 = 0\)
\((b + 6) (b - 14) = 0\)
\(b = -6 ∨ b = 14\)

1p

○

De vergelijkingen zijn \(y = -3 x - 6\) en \(y = -3 x + 14 \text{.}\)

1p

opgave 3

Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 2 x - 10 y + 13 = 0\) en het punt \(A (0 , 13) \text{.}\)
Er zijn twee lijnen die door \(A\) gaan en raken aan \(c \text{.}\)

5p

Stel van beide lijnen de vergelijking op.

GegevenSnijpuntYAs
00bv - Raaklijnen aan cirkels - basis - 3ms - data pool: #29 (2ms)

○

Stel \(y = a x + 13 \text{.}\)
Substitutie in \(x^{2} + y^{2} - 2 x - 10 y + 13 = 0\) geeft
\(x^{2} + (a x + 13)^{2} - 2 x - 10 (a x + 13) + 13 = 0 \text{.}\)

1p

○

Omschrijven naar de vorm \(A x^{2} + B x + C\) geeft
\(x^{2} + a^{2} x^{2} + 26 a x + 169 - 2 x - 10 a x - 130 + 13 = 0\)
\((1 + a^{2}) x^{2} + (16 a - 2) x + 52 = 0\)

1p

○

De discriminant is gelijk aan
\(D = B^{2} - 4 A C\)
\(D = (16 a - 2)^{2} - 4 ⋅ (1 + a^{2}) ⋅ 52\)
\(D = 256 a^{2} - 64 a + 4 - 208 - 208 a^{2}\)
\(D = 48 a^{2} - 64 a - 204\)

1p

○

Oplossen van \(D = 0\) geeft
\(48 a^{2} - 64 a - 204 = 0\)
\(12 a^{2} - 16 a - 51 = 0\)
\(D = (-16)^{2} - 4 ⋅ 12 ⋅ -51 = 2\,704\) dus \(\sqrt{D} = 52\)
\(a = {16 - 52 \over 24} = -1\frac{1}{2} ∨ a = {16 + 52 \over 24} = 2\frac{5}{6} \text{.}\)

1p

○

De vergelijkingen zijn \(y = -1\frac{1}{2} x + 13\) en \(y = 2\frac{5}{6} x + 13 \text{.}\)

1p

opgave 4

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 8 x - 4 = 0 \text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_{A} = x_{B} = 6\) en \(y_{A} < y_{B}\) liggen op \(c \text{.}\)
De lijn \(k\) raakt \(c\) in \(A\) en de lijn \(l\) raakt \(c\) in \(B \text{.}\)

6p

Stel de vergelijking op van \(l \text{.}\)

GegevenRaakpunt (2)
00s2 - Raaklijnen aan cirkels - basis - 1ms

○

\(\begin{rcases}c{:}\,x^{2} + y^{2} - 8 x - 4 = 0 \\ x = 6\end{rcases}\) geeft
\(6^{2} + y^{2} - 8 ⋅ 6 - 4 = 0\)
\(1 y^{2} + 0 y + -16 = 0\)
\(1 y^{2} = 16\)
\(y = -4 ∨ y = 4\)

1p

○

\(y_{A} < y_{B} \text{,}\) dus \(A (6 , -4)\) en \(B (6 , 4) \text{.}\)

1p

○

(kwadraatafsplitsen)
\((x - 4)^{2} - 16 + y^{2} - 4 = 0\)
\((x - 4)^{2} + y^{2} = 20\)
Dus \(M (4 , 0) \text{.}\)

1p

○

(voor de lijn door \(B\) en \(M\) geldt)
\(\text{rc}_{\text{BM}} = {\Delta y \over \Delta x} = {0 - 4 \over 4 - 6} = 2 \text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}\text{BM} \perp l \text{, dus } \text{rc}_{\text{BM}} ⋅ \text{rc}_{l} = -1 \\ \text{rc}_{\text{BM}} = 2\end{rcases} \text{rc}_{l} = -\frac{1}{2}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l{:}\,y = -\frac{1}{2} x + b \\ \text{door } B (6 , 4)\end{rcases} \begin{matrix}4 = -\frac{1}{2} ⋅ 6 + b \\ 4 = -3 + b \\ b = 7\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = -\frac{1}{2} x + 7 \text{.}\)

1p
"