Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Raaklijnen aan cirkels'.

havo wiskunde B 7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels

Raaklijnen aan cirkels (3)

opgave 1

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+6x+4y-12=0\text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A(1, 1)\text{.}\)

4p

Stel de vergelijking van \(l\) op.

GegevenRaakpunt
00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft \((x+3)^2+(y+2)^2=25\)
Dus \(M(-3, -2)\) en \(r=\sqrt{25}=5\text{.}\)

1p

○

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_m={\Delta y \over \Delta x}={-2-1 \over -3-1}=\frac{3}{4}\text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l\perp m\text{, dus }\text{rc}_l⋅\text{rc}_m=-1 \\ \text{rc}_m=\frac{3}{4}\end{rcases}\text{rc}_l=-1\frac{1}{3}\)

1p

○

\(\begin{rcases}y=-1\frac{1}{3}x+b \\ \text{door }A(1, 1)\end{rcases}\begin{matrix}1=-1\frac{1}{3}⋅1+b \\ 1=-1\frac{1}{3}+b \\ b=2\frac{1}{3}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-1\frac{1}{3}x+2\frac{1}{3}\text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+2x-6y+5=0\text{.}\)
Er zijn twee lijnen met richtingscoëfficiënt \(-2\) die \(c\) raken.

5p

Stel van elk van deze lijnen de vergelijking op.

GegevenRichtingscoefficient
00bq - Raaklijnen aan cirkels - basis - 195ms - data pool: #292 (190ms)

○

Stel \(y=-2x+b\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+2x-6y+5=0\) geeft
\(x^2+(-2x+b)^2+2x-6(-2x+b)+5=0\text{.}\)

1p

○

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+4x^2-4bx+b^2+2x+12x-6b+5=0\)
\(5x^2+(-4b+14)x+(b^2-6b+5)=0\)

1p

○

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(-4b+14)^2-4⋅5⋅(b^2-6b+5)\)
\(D=16b^2-112b+196-20b^2+120b-100\)
\(D=-4b^2+8b+96\)

1p

○

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-4b^2+8b+96=0\)
\(b^2-2b-24=0\)
\((b+4)(b-6)=0\)
\(b=-4∨b=6\)

1p

○

De vergelijkingen zijn \(y=-2x-4\) en \(y=-2x+6\text{.}\)

1p

opgave 3

Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-10x-4y+19=0\) en het punt \(A(0, -3)\text{.}\)
Er zijn twee lijnen die door \(A\) gaan en raken aan \(c\text{.}\)

5p

Stel van beide lijnen de vergelijking op.

GegevenSnijpuntYAs
00bv - Raaklijnen aan cirkels - basis - 4ms - data pool: #29 (4ms)

○

Stel \(y=ax-3\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2-10x-4y+19=0\) geeft
\(x^2+(ax-3)^2-10x-4(ax-3)+19=0\text{.}\)

1p

○

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+a^2x^2-6ax+9-10x-4ax+12+19=0\)
\((1+a^2)x^2+(-10a-10)x+40=0\)

1p

○

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(-10a-10)^2-4⋅(1+a^2)⋅40\)
\(D=100a^2+200a+100-160-160a^2\)
\(D=-60a^2+200a-60\)

1p

○

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-60a^2+200a-60=0\)
\(-3a^2+10a-3=0\)
\(D=10^2-4⋅-3⋅-3=64\) dus \(\sqrt{D}=8\)
\(a={-10-8 \over -6}=3∨a={-10+8 \over -6}=\frac{1}{3}\text{.}\)

1p

○

De vergelijkingen zijn \(y=3x-3\) en \(y=\frac{1}{3}x-3\text{.}\)

1p
"