Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Raaklijnen aan cirkels'.

havo wiskunde B 7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels

Raaklijnen aan cirkels (4)

opgave 1

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 4 y - 1 = 0 \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A (2 , -1) \text{.}\)

4p

Stel de vergelijking van \(l\) op.

GegevenRaakpunt
00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis - 0ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft \(x^{2} + (y + 2)^{2} = 5\)
Dus \(M (0 , -2)\) en \(r = \sqrt{5} \text{.}\)

1p

○

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_{m} = {\Delta y \over \Delta x} = {-2 - -1 \over 0 - 2} = \frac{1}{2} \text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l \perp m \text{, dus } \text{rc}_{l} ⋅ \text{rc}_{m} = -1 \\ \text{rc}_{m} = \frac{1}{2}\end{rcases} \text{rc}_{l} = -2\)

1p

○

\(\begin{rcases}y = -2 x + b \\ \text{door } A (2 , -1)\end{rcases} \begin{matrix}-1 = -2 ⋅ 2 + b \\ -1 = -4 + b \\ b = 3\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = -2 x + 3 \text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 4 x + 8 y - 60 = 0 \text{.}\)
Er zijn twee lijnen met richtingscoëfficiënt \(-\frac{1}{2}\) die \(c\) raken.

5p

Stel van elk van deze lijnen de vergelijking op.

GegevenRichtingscoefficient (1)
00bq - Raaklijnen aan cirkels - basis - 121ms - data pool: #292 (118ms)

○

Stel \(y = -\frac{1}{2} x + b \text{.}\)
Substitutie in \(x^{2} + y^{2} + 4 x + 8 y - 60 = 0\) geeft
\(x^{2} + (-\frac{1}{2} x + b)^{2} + 4 x + 8 (-\frac{1}{2} x + b) - 60 = 0 \text{.}\)

1p

○

Omschrijven naar de vorm \(A x^{2} + B x + C\) geeft
\(x^{2} + \frac{1}{4} x^{2} - b x + b^{2} + 4 x - 4 x + 8 b - 60 = 0\)
\(1\frac{1}{4} x^{2} + (-b) x + (b^{2} + 8 b - 60) = 0\)

1p

○

De discriminant is gelijk aan
\(D = B^{2} - 4 A C\)
\(D = (-b)^{2} - 4 ⋅ 1\frac{1}{4} ⋅ (b^{2} + 8 b - 60)\)
\(D = b^{2} + 0 - 5 b^{2} - 40 b + 300\)
\(D = -4 b^{2} - 40 b + 300\)

1p

○

Oplossen van \(D = 0\) geeft
\(-4 b^{2} - 40 b + 300 = 0\)
\(b^{2} + 10 b - 75 = 0\)
\((b + 15) (b - 5) = 0\)
\(b = -15 ∨ b = 5\)

1p

○

De vergelijkingen zijn \(y = -\frac{1}{2} x - 15\) en \(y = -\frac{1}{2} x + 5 \text{.}\)

1p

opgave 3

Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 10 x + 10 y + 37 = 0\) en het punt \(A (0 , -4) \text{.}\)
Er zijn twee lijnen die door \(A\) gaan en raken aan \(c \text{.}\)

5p

Stel van beide lijnen de vergelijking op.

GegevenSnijpuntYAs
00bv - Raaklijnen aan cirkels - basis - 3ms - data pool: #29 (2ms)

○

Stel \(y = a x - 4 \text{.}\)
Substitutie in \(x^{2} + y^{2} - 10 x + 10 y + 37 = 0\) geeft
\(x^{2} + (a x - 4)^{2} - 10 x + 10 (a x - 4) + 37 = 0 \text{.}\)

1p

○

Omschrijven naar de vorm \(A x^{2} + B x + C\) geeft
\(x^{2} + a^{2} x^{2} - 8 a x + 16 - 10 x + 10 a x - 40 + 37 = 0\)
\((1 + a^{2}) x^{2} + (2 a - 10) x + 13 = 0\)

1p

○

De discriminant is gelijk aan
\(D = B^{2} - 4 A C\)
\(D = (2 a - 10)^{2} - 4 ⋅ (1 + a^{2}) ⋅ 13\)
\(D = 4 a^{2} - 40 a + 100 - 52 - 52 a^{2}\)
\(D = -48 a^{2} - 40 a + 48\)

1p

○

Oplossen van \(D = 0\) geeft
\(-48 a^{2} - 40 a + 48 = 0\)
\(-6 a^{2} - 5 a + 6 = 0\)
\(D = (-5)^{2} - 4 ⋅ -6 ⋅ 6 = 169\) dus \(\sqrt{D} = 13\)
\(a = {5 - 13 \over -12} = \frac{2}{3} ∨ a = {5 + 13 \over -12} = -1\frac{1}{2} \text{.}\)

1p

○

De vergelijkingen zijn \(y = \frac{2}{3} x - 4\) en \(y = -1\frac{1}{2} x - 4 \text{.}\)

1p

opgave 4

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 8 x - 10 y - 27 = 0 \text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_{A} = x_{B} = 6\) en \(y_{A} > y_{B}\) liggen op \(c \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt \(c\) in \(A\) en de lijn \(k\) raakt \(c\) in \(B \text{.}\)

6p

Stel de vergelijking op van \(k \text{.}\)

GegevenRaakpunt (2)
00s2 - Raaklijnen aan cirkels - basis - 0ms

○

\(\begin{rcases}c{:}\,x^{2} + y^{2} - 8 x - 10 y - 27 = 0 \\ x = 6\end{rcases}\) geeft
\(6^{2} + y^{2} - 8 ⋅ 6 - 10 y - 27 = 0\)
\(y^{2} - 10 y - 39 = 0\)
\((y + 3) (y - 13) = 0\)
\(y = -3 ∨ y = 13\)

1p

○

\(y_{A} > y_{B} \text{,}\) dus \(A (6 , 13)\) en \(B (6 , -3) \text{.}\)

1p

○

(kwadraatafsplitsen)
\((x - 4)^{2} - 16 + (y - 5)^{2} - 25 - 27 = 0\)
\((x - 4)^{2} + (y - 5)^{2} = 68\)
Dus \(M (4 , 5) \text{.}\)

1p

○

(voor de lijn door \(B\) en \(M\) geldt)
\(\text{rc}_{\text{BM}} = {\Delta y \over \Delta x} = {5 - -3 \over 4 - 6} = -4 \text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}\text{BM} \perp k \text{, dus } \text{rc}_{\text{BM}} ⋅ \text{rc}_{k} = -1 \\ \text{rc}_{\text{BM}} = -4\end{rcases} \text{rc}_{k} = \frac{1}{4}\)

1p

○

\(\begin{rcases}k{:}\,y = \frac{1}{4} x + b \\ \text{door } B (6 , -3)\end{rcases} \begin{matrix}-3 = \frac{1}{4} ⋅ 6 + b \\ -3 = 1\frac{1}{2} + b \\ b = -4\frac{1}{2}\end{matrix}\)
Dus \(k{:}\,y = \frac{1}{4} x - 4\frac{1}{2} \text{.}\)

1p
"