Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Raaklijnen aan cirkels'.

havo wiskunde B 7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels

Raaklijnen aan cirkels (4)

opgave 1

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+8x-2y+7=0\text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A(-1, 2)\text{.}\)

4p

Stel de vergelijking van \(l\) op.

GegevenRaakpunt
00bp - Raaklijnen aan cirkels - basis - 1ms

○

Kwadraatafsplitsen geeft \((x+4)^2+(y-1)^2=10\)
Dus \(M(-4, 1)\) en \(r=\sqrt{10}\text{.}\)

1p

○

De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_m={\Delta y \over \Delta x}={1-2 \over -4--1}=\frac{1}{3}\text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}l\perp m\text{, dus }\text{rc}_l⋅\text{rc}_m=-1 \\ \text{rc}_m=\frac{1}{3}\end{rcases}\text{rc}_l=-3\)

1p

○

\(\begin{rcases}y=-3x+b \\ \text{door }A(-1, 2)\end{rcases}\begin{matrix}2=-3⋅-1+b \\ 2=3+b \\ b=-1\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y=-3x-1\text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+6x+2y+5=0\text{.}\)
Er zijn twee lijnen met richtingscoëfficiënt \(-2\) die \(c\) raken.

5p

Stel van elk van deze lijnen de vergelijking op.

GegevenRichtingscoefficient
00bq - Raaklijnen aan cirkels - basis - 203ms - data pool: #292 (196ms)

○

Stel \(y=-2x+b\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2+6x+2y+5=0\) geeft
\(x^2+(-2x+b)^2+6x+2(-2x+b)+5=0\text{.}\)

1p

○

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+4x^2-4bx+b^2+6x-4x+2b+5=0\)
\(5x^2+(-4b+2)x+(b^2+2b+5)=0\)

1p

○

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(-4b+2)^2-4⋅5⋅(b^2+2b+5)\)
\(D=16b^2-16b+4-20b^2-40b-100\)
\(D=-4b^2-56b-96\)

1p

○

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-4b^2-56b-96=0\)
\(b^2+14b+24=0\)
\((b+12)(b+2)=0\)
\(b=-12∨b=-2\)

1p

○

De vergelijkingen zijn \(y=-2x-12\) en \(y=-2x-2\text{.}\)

1p

opgave 3

Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-10x+4y+11=0\) en het punt \(A(0, -1)\text{.}\)
Er zijn twee lijnen die door \(A\) gaan en raken aan \(c\text{.}\)

5p

Stel van beide lijnen de vergelijking op.

GegevenSnijpuntYAs
00bv - Raaklijnen aan cirkels - basis - 6ms - data pool: #29 (4ms)

○

Stel \(y=ax-1\text{.}\)
Substitutie in \(x^2+y^2-10x+4y+11=0\) geeft
\(x^2+(ax-1)^2-10x+4(ax-1)+11=0\text{.}\)

1p

○

Omschrijven naar de vorm \(Ax^2+Bx+C\) geeft
\(x^2+a^2x^2-2ax+1-10x+4ax-4+11=0\)
\((1+a^2)x^2+(2a-10)x+8=0\)

1p

○

De discriminant is gelijk aan
\(D=B^2-4AC\)
\(D=(2a-10)^2-4⋅(1+a^2)⋅8\)
\(D=4a^2-40a+100-32-32a^2\)
\(D=-28a^2-40a+68\)

1p

○

Oplossen van \(D=0\) geeft
\(-28a^2-40a+68=0\)
\(-7a^2-10a+17=0\)
\(D=(-10)^2-4⋅-7⋅17=576\) dus \(\sqrt{D}=24\)
\(a={10-24 \over -14}=1∨a={10+24 \over -14}=-2\frac{3}{7}\text{.}\)

1p

○

De vergelijkingen zijn \(y=x-1\) en \(y=-2\frac{3}{7}x-1\text{.}\)

1p

opgave 4

Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-10x+6y+17=0\text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=9\) en \(y_A<y_B\) liggen op \(c\text{.}\)
De lijn \(k\) raakt \(c\) in \(A\) en de lijn \(l\) raakt \(c\) in \(B\text{.}\)

6p

Stel de vergelijking op van \(k\text{.}\)

GegevenRaakpunt (2)
00s2 - Raaklijnen aan cirkels - basis - 1ms

○

\(\begin{rcases}c{:}\,x^2+y^2-10x+6y+17=0 \\ x=9\end{rcases}\) geeft
\(9^2+y^2-10⋅9+6y+17=0\)
\(y^2+6y+8=0\)
\((y+4)(y+2)=0\)
\(y=-4∨y=-2\)

1p

○

\(y_A<y_B\text{,}\) dus \(A(9, -4)\) en \(B(9, -2)\text{.}\)

1p

○

(kwadraatafsplitsen)
\((x-5)^2-25+(y+3)^2-9+17=0\)
\((x-5)^2+(y+3)^2=17\)
Dus \(M(5, -3)\text{.}\)

1p

○

(voor de lijn door \(A\) en \(M\) geldt)
\(\text{rc}_{\text{AM}}={\Delta y \over \Delta x}={-3--4 \over 5-9}=-\frac{1}{4}\text{.}\)

1p

○

\(\begin{rcases}\text{AM}\perp k\text{, dus }\text{rc}_{\text{AM}}⋅\text{rc}_k=-1 \\ \text{rc}_{\text{AM}}=-\frac{1}{4}\end{rcases}\text{rc}_k=4\)

1p

○

\(\begin{rcases}k{:}\,y=4x+b \\ \text{door }A(9, -4)\end{rcases}\begin{matrix}-4=4⋅9+b \\ -4=36+b \\ b=-40\end{matrix}\)
Dus \(k{:}\,y=4x-40\text{.}\)

1p
"