Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Formule van een parabool opstellen'.

havo wiskunde B	4.1 Kwadratische formules
Formule van een parabool opstellen (9)	opgave 1 De parabool \(p\) heeft top \((2 , 3)\) en gaat door het punt \(A (-2 , 1) \text{.}\) 3p Stel de formule van \(p\) op. GegevenTop (1) 005i - Formule van een parabool opstellen - basis - 37ms ○ De top is \((2 , 3) \text{,}\) dus \(y = a (x - 2)^{2} + 3 \text{.}\) 1p ○ Door \(A (-2 , 1)\) dus \(a ⋅ (-2 - 2)^{2} + 3 = 1\) 1p ○ Dus \(a = -\frac{1}{8}\) en \(p \text{:}\) \(y = -\frac{1}{8} (x - 2)^{2} + 3 \text{.}\) 1p opgave 2 De parabool \(p\) heeft top \((-5 , 9)\) en gaat door het punt \(A (-2 , 5) \text{.}\) 3p Stel de formule van \(p\) op. GegevenTop (2) 005j - Formule van een parabool opstellen - basis - 1ms ○ De top is \((-5 , 9) \text{,}\) dus \(y = a (x + 5)^{2} + 9 \text{.}\) 1p ○ Door \(A (-2 , 5)\) dus \(a ⋅ (-2 + 5)^{2} + 9 = 5\) 1p ○ Dus \(a = -\frac{4}{9}\) en \(p \text{:}\) \(y = -\frac{4}{9} (x + 5)^{2} + 9 \text{.}\) 1p opgave 3 De parabool \(p\) heeft top \((4 , 3)\) en gaat door het punt \(A (2 , 2) \text{.}\) 4p Stel de formule van \(p\) op. Geef het antwoord in de vorm \(y = a x^{2} + b x + c \text{.}\) GegevenTop (4) 005k - Formule van een parabool opstellen - basis - 2ms ○ De top is \((4 , 3) \text{,}\) dus \(y = a (x - 4)^{2} + 3 \text{.}\) 1p ○ Door \(A (2 , 2)\) dus \(a ⋅ (2 - 4)^{2} + 3 = 2\) 1p ○ Dus \(a = -\frac{1}{4}\) en \(p \text{:}\) \(y = -\frac{1}{4} (x - 4)^{2} + 3 \text{.}\) 1p ○ Haakjes wegwerken geeft \(p \text{:}\) \(y = -\frac{1}{4} x^{2} + 2 x - 1 \text{.}\) 1p opgave 4 De parabool \(p\) snijdt de \(x \text{-}\)as in de punten \((2 , 0)\) en \((3 , 0)\) en gaat door het punt \(A (-2 , 5) \text{.}\) 3p Stel de formule van \(p\) op. GegevenNulpunten (1) 005l - Formule van een parabool opstellen - basis - 11ms ○ De snijpunten met de \(x \text{-}\)as zijn \((2 , 0)\) en \((3 , 0) \text{,}\) dus \(y = a (x - 2) (x - 3) \text{.}\) 1p ○ Door \(A (-2 , 5) \text{,}\) dus \(5 = a (-2 - 2) (-2 - 3) \text{.}\) 1p ○ Dus \(a = \frac{1}{4}\) en \(p \text{:}\) \(y = \frac{1}{4} (x - 2) (x - 3) \text{.}\) 1p opgave 5 De parabool \(p\) snijdt de \(x \text{-}\)as in de punten \((-1 , 0)\) en \((6 , 0)\) en snijdt de \(y \text{-}\)as in het punt \(A\) met \(y_{A} = 4 \text{.}\) 3p Stel de formule van \(p\) op. GegevenNulpunten (2) 005m - Formule van een parabool opstellen - basis - 1ms ○ De snijpunten met de \(x \text{-}\)as zijn \((-1 , 0)\) en \((6 , 0) \text{,}\) dus \(y = a (x + 1) (x - 6) \text{.}\) 1p ○ Door \(A (0 , 4) \text{,}\) dus \(4 = a (0 + 1) (0 - 6) \text{.}\) 1p ○ Dus \(a = -\frac{2}{3}\) en \(p \text{:}\) \(y = -\frac{2}{3} (x + 1) (x - 6) \text{.}\) 1p opgave 6 De parabool \(p\) snijdt de \(x \text{-}\)as in de punten \((-6 , 0)\) en \((-2 , 0)\) en gaat door het punt \(A (-8 , 9) \text{.}\) 4p Stel de formule van \(p\) op. Geef het antwoord in de vorm \(y = a x^{2} + b x + c \text{.}\) GegevenNulpunten (4) 005n - Formule van een parabool opstellen - basis - 2ms ○ De snijpunten met de \(x \text{-}\)as zijn \((-6 , 0)\) en \((-2 , 0) \text{,}\) dus \(y = a (x + 6) (x + 2) \text{.}\) 1p ○ Door \(A (-8 , 9) \text{,}\) dus \(9 = a (-8 + 6) (-8 + 2) \text{.}\) 1p ○ Dus \(a = \frac{3}{4}\) en \(p \text{:}\) \(y = \frac{3}{4} (x + 6) (x + 2) \text{.}\) 1p ○ Haakjes wegwerken geeft \(p \text{:}\) \(y = \frac{3}{4} x^{2} + 6 x + 9 \text{.}\) 1p opgave 7 De parabool \(p\) snijdt de \(x \text{-}\)as in de punten \((0 , 0)\) en \((3 , 0)\) en gaat door het punt \(A (-4 , -7) \text{.}\) 3p Stel de formule van \(p\) op. GegevenNulpunten (3) 005o - Formule van een parabool opstellen - basis - 1ms ○ De snijpunten met de \(x \text{-}\)as zijn \((0 , 0)\) en \((3 , 0) \text{,}\) dus \(y = a (x + 0) (x - 3) \text{.}\) 1p ○ Door \(A (-4 , -7) \text{,}\) dus \(-7 = a (-4 + 0) (-4 - 3) \text{.}\) 1p ○ Dus \(a = -\frac{1}{4}\) en \(p \text{:}\) \(y = -\frac{1}{4} x (x - 3) \text{.}\) 1p opgave 8 De parabool \(p\) heeft top \((0 , -4)\) en gaat door het punt \(A (5 , -9) \text{.}\) 3p Stel de formule van \(p\) op. GegevenTop (3) 005p - Formule van een parabool opstellen - basis - 1ms ○ De top is \((0 , -4) \text{,}\) dus \(y = a (x + 0)^{2} - 4 \text{.}\) 1p ○ Door \(A (5 , -9)\) dus \(a ⋅ (5 + 0)^{2} - 4 = -9\) 1p ○ Dus \(a = -\frac{1}{5}\) en \(p \text{:}\) \(y = -\frac{1}{5} x^{2} - 4 \text{.}\) 1p opgave 9 Zie de onderstaande figuur. 4p a Stel van parabool \(p_{1}\) de formule op in de vorm \(y = a x^{2} + b x + c \text{.}\) 4p b Stel van parabool \(p_{2}\) de formule op in de vorm \(y = a x^{2} + b x + c \text{.}\) Grafiek 00o8 - Formule van een parabool opstellen - basis - 104ms - data pool: #919 (103ms) a De snijpunten met de \(x \text{-}\)as zijn \((-4 , 0)\) en \((1 , 0) \text{,}\) dus \(y = a (x + 4) (x - 1) \text{.}\) 1p ○ Door \((-3 , -3) \text{,}\) dus \(a (-3 + 4) (-3 - 1) = -3 \text{.}\) 1p ○ \(-4 a = -3\) geeft \(a = \frac{3}{4} \text{.}\) 1p ○ Haakjes wegwerken geeft \(p_{1} \text{:}\) \(y = \frac{3}{4} (x + 4) (x - 1)\) \(\text{} = \frac{3}{4} (x^{2} + 3 x - 4)\) \(\text{} = \frac{3}{4} x^{2} + 2\frac{1}{4} x - 3 \text{.}\) 1p b De top is \((5 , 1) \text{,}\) dus \(y = a (x - 5)^{2} + 1 \text{.}\) 1p ○ Door \((2 , -2)\) dus \(a (2 - 5)^{2} + 1 = -2\) 1p ○ \(9 a = -3\) geeft \(a = -\frac{1}{3} \text{.}\) 1p ○ Haakjes wegwerken geeft \(p_{2} \text{:}\) \(y = -\frac{1}{3} (x - 5)^{2} + 1\) \(\text{} = -\frac{1}{3} (x^{2} - 10 x + 25) + 1\) \(\text{} = -\frac{1}{3} x^{2} + 3\frac{1}{3} x - 8\frac{1}{3} + 1\) \(\text{} = -\frac{1}{3} x^{2} + 3\frac{1}{3} x - 7\frac{1}{3} \text{.}\) 1p

havo wiskunde B

4.1 Kwadratische formules

Formule van een parabool opstellen (9)

opgave 1

De parabool \(p\) heeft top \((2 , 3)\) en gaat door het punt \(A (-2 , 1) \text{.}\)

Stel de formule van \(p\) op.

GegevenTop (1)

005i - Formule van een parabool opstellen - basis - 37ms

○

De top is \((2 , 3) \text{,}\) dus \(y = a (x - 2)^{2} + 3 \text{.}\)

○

Door \(A (-2 , 1)\) dus \(a ⋅ (-2 - 2)^{2} + 3 = 1\)

○

Dus \(a = -\frac{1}{8}\) en \(p \text{:}\) \(y = -\frac{1}{8} (x - 2)^{2} + 3 \text{.}\)

opgave 2

De parabool \(p\) heeft top \((-5 , 9)\) en gaat door het punt \(A (-2 , 5) \text{.}\)

Stel de formule van \(p\) op.

GegevenTop (2)

005j - Formule van een parabool opstellen - basis - 1ms

○

De top is \((-5 , 9) \text{,}\) dus \(y = a (x + 5)^{2} + 9 \text{.}\)

○

Door \(A (-2 , 5)\) dus \(a ⋅ (-2 + 5)^{2} + 9 = 5\)

○

Dus \(a = -\frac{4}{9}\) en \(p \text{:}\) \(y = -\frac{4}{9} (x + 5)^{2} + 9 \text{.}\)

opgave 3

De parabool \(p\) heeft top \((4 , 3)\) en gaat door het punt \(A (2 , 2) \text{.}\)

Stel de formule van \(p\) op. Geef het antwoord in de vorm \(y = a x^{2} + b x + c \text{.}\)

GegevenTop (4)

005k - Formule van een parabool opstellen - basis - 2ms

○

De top is \((4 , 3) \text{,}\) dus \(y = a (x - 4)^{2} + 3 \text{.}\)

○

Door \(A (2 , 2)\) dus \(a ⋅ (2 - 4)^{2} + 3 = 2\)

○

Dus \(a = -\frac{1}{4}\) en \(p \text{:}\) \(y = -\frac{1}{4} (x - 4)^{2} + 3 \text{.}\)

○

Haakjes wegwerken geeft \(p \text{:}\) \(y = -\frac{1}{4} x^{2} + 2 x - 1 \text{.}\)

opgave 4

De parabool \(p\) snijdt de \(x \text{-}\)as in de punten \((2 , 0)\) en \((3 , 0)\) en gaat door het punt \(A (-2 , 5) \text{.}\)

Stel de formule van \(p\) op.

GegevenNulpunten (1)

005l - Formule van een parabool opstellen - basis - 11ms

○

De snijpunten met de \(x \text{-}\)as zijn \((2 , 0)\) en \((3 , 0) \text{,}\) dus \(y = a (x - 2) (x - 3) \text{.}\)

○

Door \(A (-2 , 5) \text{,}\) dus \(5 = a (-2 - 2) (-2 - 3) \text{.}\)

○

Dus \(a = \frac{1}{4}\) en \(p \text{:}\) \(y = \frac{1}{4} (x - 2) (x - 3) \text{.}\)

opgave 5

De parabool \(p\) snijdt de \(x \text{-}\)as in de punten \((-1 , 0)\) en \((6 , 0)\) en snijdt de \(y \text{-}\)as in het punt \(A\) met \(y_{A} = 4 \text{.}\)

Stel de formule van \(p\) op.

GegevenNulpunten (2)

005m - Formule van een parabool opstellen - basis - 1ms

○

De snijpunten met de \(x \text{-}\)as zijn \((-1 , 0)\) en \((6 , 0) \text{,}\) dus \(y = a (x + 1) (x - 6) \text{.}\)

○

Door \(A (0 , 4) \text{,}\) dus \(4 = a (0 + 1) (0 - 6) \text{.}\)

○

Dus \(a = -\frac{2}{3}\) en \(p \text{:}\) \(y = -\frac{2}{3} (x + 1) (x - 6) \text{.}\)

opgave 6

De parabool \(p\) snijdt de \(x \text{-}\)as in de punten \((-6 , 0)\) en \((-2 , 0)\) en gaat door het punt \(A (-8 , 9) \text{.}\)

Stel de formule van \(p\) op. Geef het antwoord in de vorm \(y = a x^{2} + b x + c \text{.}\)

GegevenNulpunten (4)

005n - Formule van een parabool opstellen - basis - 2ms

○

De snijpunten met de \(x \text{-}\)as zijn \((-6 , 0)\) en \((-2 , 0) \text{,}\) dus \(y = a (x + 6) (x + 2) \text{.}\)

○

Door \(A (-8 , 9) \text{,}\) dus \(9 = a (-8 + 6) (-8 + 2) \text{.}\)

○

Dus \(a = \frac{3}{4}\) en \(p \text{:}\) \(y = \frac{3}{4} (x + 6) (x + 2) \text{.}\)

○

Haakjes wegwerken geeft \(p \text{:}\) \(y = \frac{3}{4} x^{2} + 6 x + 9 \text{.}\)

opgave 7

De parabool \(p\) snijdt de \(x \text{-}\)as in de punten \((0 , 0)\) en \((3 , 0)\) en gaat door het punt \(A (-4 , -7) \text{.}\)

Stel de formule van \(p\) op.

GegevenNulpunten (3)

005o - Formule van een parabool opstellen - basis - 1ms

○

De snijpunten met de \(x \text{-}\)as zijn \((0 , 0)\) en \((3 , 0) \text{,}\) dus \(y = a (x + 0) (x - 3) \text{.}\)

○

Door \(A (-4 , -7) \text{,}\) dus \(-7 = a (-4 + 0) (-4 - 3) \text{.}\)

○

Dus \(a = -\frac{1}{4}\) en \(p \text{:}\) \(y = -\frac{1}{4} x (x - 3) \text{.}\)

opgave 8

De parabool \(p\) heeft top \((0 , -4)\) en gaat door het punt \(A (5 , -9) \text{.}\)

Stel de formule van \(p\) op.

GegevenTop (3)

005p - Formule van een parabool opstellen - basis - 1ms

○

De top is \((0 , -4) \text{,}\) dus \(y = a (x + 0)^{2} - 4 \text{.}\)

○

Door \(A (5 , -9)\) dus \(a ⋅ (5 + 0)^{2} - 4 = -9\)

○

Dus \(a = -\frac{1}{5}\) en \(p \text{:}\) \(y = -\frac{1}{5} x^{2} - 4 \text{.}\)

opgave 9

Zie de onderstaande figuur.

Stel van parabool \(p_{1}\) de formule op in de vorm \(y = a x^{2} + b x + c \text{.}\)

Stel van parabool \(p_{2}\) de formule op in de vorm \(y = a x^{2} + b x + c \text{.}\)

Grafiek

00o8 - Formule van een parabool opstellen - basis - 104ms - data pool: #919 (103ms)

De snijpunten met de \(x \text{-}\)as zijn \((-4 , 0)\) en \((1 , 0) \text{,}\) dus \(y = a (x + 4) (x - 1) \text{.}\)

○

Door \((-3 , -3) \text{,}\) dus \(a (-3 + 4) (-3 - 1) = -3 \text{.}\)

○

\(-4 a = -3\) geeft \(a = \frac{3}{4} \text{.}\)

○

Haakjes wegwerken geeft
\(p_{1} \text{:}\) \(y = \frac{3}{4} (x + 4) (x - 1)\)
\(\text{} = \frac{3}{4} (x^{2} + 3 x - 4)\)
\(\text{} = \frac{3}{4} x^{2} + 2\frac{1}{4} x - 3 \text{.}\)

De top is \((5 , 1) \text{,}\) dus \(y = a (x - 5)^{2} + 1 \text{.}\)

○

Door \((2 , -2)\) dus \(a (2 - 5)^{2} + 1 = -2\)

○

\(9 a = -3\) geeft \(a = -\frac{1}{3} \text{.}\)

○

Haakjes wegwerken geeft
\(p_{2} \text{:}\) \(y = -\frac{1}{3} (x - 5)^{2} + 1\)
\(\text{} = -\frac{1}{3} (x^{2} - 10 x + 25) + 1\)
\(\text{} = -\frac{1}{3} x^{2} + 3\frac{1}{3} x - 8\frac{1}{3} + 1\)
\(\text{} = -\frac{1}{3} x^{2} + 3\frac{1}{3} x - 7\frac{1}{3} \text{.}\)