Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Formule bij exponentiële groei opstellen'.

8.2 Procenten en groeifactoren

Formule bij exponentiële groei opstellen (1)

opgave 1

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af met \(1{,}5\%\) per dag. Op \(x = 0\) is \(y = 483 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in dagen.
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenGroeifactorEnBeginwaarde

0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

○

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{dag}} = 1 - {1{,}5 \over 100} = 0{,}985 \text{.}\)

○

De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 483 \text{.}\)

○

\(y = 483 ⋅ 0{,}985^{x} \text{.}\)

havo wiskunde B

9.vk Exponentiële groei

Formule bij exponentiële groei opstellen (1)

opgave 1

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(2\,021\)	\(2\,022\)	\(2\,023\)	\(2\,024\)
\(y\)	\(15{,}11\)	\(18{,}74\)	\(23{,}23\)	\(28{,}81\)

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,021 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

ExponentieelUitTabel (1)

00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\({18{,}74 \over 15{,}11} ≈ 1{,}24\)

○

\({23{,}23 \over 18{,}74} ≈ 1{,}24\)
\({28{,}81 \over 23{,}23} ≈ 1{,}24\)

○

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}24\)

○

\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 15{,}11 \text{.}\)

○

Dus \(y = 15{,}11 ⋅ 1{,}24^{x} \text{.}\)

havo wiskunde B

9.1 Groeifactoren en groeipercentages

Formule bij exponentiële groei opstellen (3)

opgave 1

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 3\) is \(y = 233\) en bij \(x = 5\) is \(y = 255 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenStijgend

0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({255 \over 233})^{{1 \over 5 - 3}} = 1{,}046...\)

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}046...^{x} \\ x = 3 \text{ en } y = 233\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}046...^{3} = 233 \\ b = {233 \over 1{,}046...^{3}} ≈ 204\end{matrix}\)

○

\(y = 204 ⋅ 1{,}046^{x} \text{.}\)

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 3\) is \(y = 304\) en bij \(x = 8\) is \(y = 245 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenDalend

0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({245 \over 304})^{{1 \over 8 - 3}} = 0{,}957...\)

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}957...^{x} \\ x = 3 \text{ en } y = 304\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}957...^{3} = 304 \\ b = {304 \over 0{,}957...^{3}} ≈ 346\end{matrix}\)

○

\(y = 346 ⋅ 0{,}958^{x} \text{.}\)

opgave 2

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(5\)	\(6\)	\(10\)	\(13\)
\(y\)	\(20{,}73\)	\(23{,}21\)	\(36{,}52\)	\(51{,}31\)

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

ExponentieelUitTabel (2)

00k2 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\(g = ({23{,}21 \over 20{,}73})^{{1 \over 6 - 5}} ≈ 1{,}12\)

○

\(g = ({36{,}52 \over 23{,}21})^{{1 \over 10 - 6}} ≈ 1{,}12\)
\(g = ({51{,}31 \over 36{,}52})^{{1 \over 13 - 10}} ≈ 1{,}12\)

○

De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}12\)

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}12^{x} \\ x = 5 \text{ en } y = 20{,}73\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}12^{5} = 20{,}73 \\ b = {20{,}73 \over 1{,}12^{5}} \\ b ≈ 11{,}76\end{matrix}\)

○

Dus \(y = 11{,}76 ⋅ 1{,}12^{x} \text{.}\)

havo wiskunde B

9.4 Formules omwerken

Formule bij exponentiële groei opstellen (3)

opgave 1

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen.

LogaritmischTegenLineair

00l4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 3ms - data pool: #252 (3ms) - dynamic variables

○

Rasterpunten \((1 , 3)\) en \((8 , 6)\) aflezen.

○

\(\log(y) = a x + b\) met \(a = {\Delta \log(y) \over \Delta x} = {6 - 3 \over 8 - 1} = \frac{3}{7}\)

○

\(\begin{rcases}\log(y) = \frac{3}{7} x + b \\ \text{door } (1 , 3)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{3}{7} ⋅ 1 + b = 3 \\ \frac{3}{7} + b = 3 \\ b = 2\frac{4}{7}\end{matrix}\)

○

\(\log(y) = \frac{3}{7} x + 2\frac{4}{7}\)
\(y = 10^{\frac{3}{7} x + 2\frac{4}{7}}\)

○

\(y = 10^{\frac{3}{7} x} ⋅ 10^{2\frac{4}{7}}\)
\(\text{ } = 10^{2\frac{4}{7}} ⋅ (10^{\frac{3}{7}})^{x}\)
\(\text{ } = 373 ⋅ 2{,}683^{x}\)

opgave 2

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = a x^{b} \text{.}\) Geef \(a\) in gehelen en \(b\) in 2 decimalen.

LogaritmischTegenLogaritmisch

00l5 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 2ms - data pool: #41 (1ms) - dynamic variables

○

Rasterpunten \((1 , 3)\) en \((5 , 2)\) aflezen.

○

\(\log(y) = a ⋅ \log(x) + b\) met \(a = {\Delta \log(y) \over \Delta \log(x)} = {2 - 3 \over 5 - 1} = -\frac{1}{4}\)

○

\(\begin{rcases}\log(y) = -\frac{1}{4} ⋅ \log(x) + b \\ \text{door } (1 , 3)\end{rcases} \begin{matrix}-\frac{1}{4} ⋅ 1 + b = 3 \\ -\frac{1}{4} + b = 3 \\ b = 3\frac{1}{4}\end{matrix}\)

○

\(\log(y) = -\frac{1}{4} ⋅ \log(x) + 3\frac{1}{4}\)
\(\log(y) = \log(x^{-\frac{1}{4}}) + \log(10^{3\frac{1}{4}})\)
\(\log(y) = \log(10^{3\frac{1}{4}} ⋅ x^{-\frac{1}{4}})\)

○

\(y = 10^{3\frac{1}{4}} ⋅ x^{-\frac{1}{4}}\)
\(y = 1\,778 ⋅ x^{-0{,}25}\)

opgave 3

Welk soort verband tussen \(x\) en \(y\) is weergegeven in de bovenstaande grafiek?

Welke formule hoort er bij dat verband?

SoortFormule

00l6 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 1ms - dynamic variables

De grafiek hoort bij een logaritmisch verband.

Hierbij hoort de formule \(y = a ⋅ \log(x) + b \text{.}\)