Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Formule bij exponentiële groei opstellen'.

8.2 Procenten en groeifactoren

Formule bij exponentiële groei opstellen (1)

opgave 1

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe met \(1{,}8\%\) per dag. Op \(x = 0\) is \(y = 405 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in dagen.
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenGroeifactorEnBeginwaarde

0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 5ms - dynamic variables

○

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{dag}} = 1 + {1{,}8 \over 100} = 1{,}018 \text{.}\)

○

De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 405 \text{.}\)

○

\(y = 405 ⋅ 1{,}018^{x} \text{.}\)

havo wiskunde B

9.vk Exponentiële groei

Formule bij exponentiële groei opstellen (1)

opgave 1

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(y\)	\(12{,}77\)	\(11{,}88\)	\(11{,}04\)	\(10{,}27\)

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

ExponentieelUitTabel (1)

00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\({11{,}88 \over 12{,}77} ≈ 0{,}93\)

○

\({11{,}04 \over 11{,}88} ≈ 0{,}93\)
\({10{,}27 \over 11{,}04} ≈ 0{,}93\)

○

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}93\)

○

\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 12{,}77 \text{.}\)

○

Dus \(y = 12{,}77 ⋅ 0{,}93^{x} \text{.}\)

havo wiskunde B

9.1 Groeifactoren en groeipercentages

Formule bij exponentiële groei opstellen (3)

opgave 1

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 3\) is \(y = 535\) en bij \(x = 8\) is \(y = 626 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenStijgend

0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({626 \over 535})^{{1 \over 8 - 3}} = 1{,}031...\)

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}031...^{x} \\ x = 3 \text{ en } y = 535\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}031...^{3} = 535 \\ b = {535 \over 1{,}031...^{3}} ≈ 487\end{matrix}\)

○

\(y = 487 ⋅ 1{,}032^{x} \text{.}\)

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 4\) is \(y = 373\) en bij \(x = 7\) is \(y = 336 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenDalend

0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({336 \over 373})^{{1 \over 7 - 4}} = 0{,}965...\)

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}965...^{x} \\ x = 4 \text{ en } y = 373\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}965...^{4} = 373 \\ b = {373 \over 0{,}965...^{4}} ≈ 429\end{matrix}\)

○

\(y = 429 ⋅ 0{,}966^{x} \text{.}\)

opgave 2

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(2\,012\)	\(2\,018\)	\(2\,020\)	\(2\,024\)
\(y\)	\(229{,}31\)	\(55{,}74\)	\(34{,}79\)	\(13{,}55\)

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,009 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

ExponentieelUitTabel (2)

00k2 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\(g = ({55{,}74 \over 229{,}31})^{{1 \over 2\,018 - 2\,012}} ≈ 0{,}79\)

○

\(g = ({34{,}79 \over 55{,}74})^{{1 \over 2\,020 - 2\,018}} ≈ 0{,}79\)
\(g = ({13{,}55 \over 34{,}79})^{{1 \over 2\,024 - 2\,020}} ≈ 0{,}79\)

○

De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}79\)

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}79^{x} \\ x = 3 \text{ en } y = 229{,}31\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}79^{3} = 229{,}31 \\ b = {229{,}31 \over 0{,}79^{3}} \\ b ≈ 465{,}10\end{matrix}\)

○

Dus \(y = 465{,}10 ⋅ 0{,}79^{x} \text{.}\)

havo wiskunde B

9.4 Formules omwerken

Formule bij exponentiële groei opstellen (3)

opgave 1

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen.

LogaritmischTegenLineair

00l4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 4ms - data pool: #252 (4ms) - dynamic variables

○

Rasterpunten \((5 , 2)\) en \((30 , 4)\) aflezen.

○

\(\log(y) = a x + b\) met \(a = {\Delta \log(y) \over \Delta x} = {4 - 2 \over 30 - 5} = \frac{2}{25}\)

○

\(\begin{rcases}\log(y) = \frac{2}{25} x + b \\ \text{door } (5 , 2)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{2}{25} ⋅ 5 + b = 2 \\ \frac{10}{25} + b = 2 \\ b = 1\frac{3}{5}\end{matrix}\)

○

\(\log(y) = \frac{2}{25} x + 1\frac{3}{5}\)
\(y = 10^{\frac{2}{25} x + 1\frac{3}{5}}\)

○

\(y = 10^{\frac{2}{25} x} ⋅ 10^{1\frac{3}{5}}\)
\(\text{ } = 10^{1\frac{3}{5}} ⋅ (10^{\frac{2}{25}})^{x}\)
\(\text{ } = 40 ⋅ 1{,}202^{x}\)

opgave 2

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = a x^{b} \text{.}\) Geef \(a\) in gehelen en \(b\) in 2 decimalen.

LogaritmischTegenLogaritmisch

00l5 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 2ms - data pool: #41 (2ms) - dynamic variables

○

Rasterpunten \((2 , 3)\) en \((5 , 5)\) aflezen.

○

\(\log(y) = a ⋅ \log(x) + b\) met \(a = {\Delta \log(y) \over \Delta \log(x)} = {5 - 3 \over 5 - 2} = \frac{2}{3}\)

○

\(\begin{rcases}\log(y) = \frac{2}{3} ⋅ \log(x) + b \\ \text{door } (2 , 3)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{2}{3} ⋅ 2 + b = 3 \\ 1\frac{1}{3} + b = 3 \\ b = 1\frac{2}{3}\end{matrix}\)

○

\(\log(y) = \frac{2}{3} ⋅ \log(x) + 1\frac{2}{3}\)
\(\log(y) = \log(x^{\frac{2}{3}}) + \log(10^{1\frac{2}{3}})\)
\(\log(y) = \log(10^{1\frac{2}{3}} ⋅ x^{\frac{2}{3}})\)

○

\(y = 10^{1\frac{2}{3}} ⋅ x^{\frac{2}{3}}\)
\(y = 46 ⋅ x^{0{,}67}\)

opgave 3

Welk soort verband tussen \(x\) en \(y\) is weergegeven in de bovenstaande grafiek?

Welke formule hoort er bij dat verband?

SoortFormule

00l6 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 1ms - dynamic variables

De grafiek hoort bij een logaritmisch verband.

Hierbij hoort de formule \(y = a ⋅ \log(x) + b \text{.}\)