Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Formule bij exponentiële groei opstellen'.

8.2 Procenten en groeifactoren

Formule bij exponentiële groei opstellen (1)

opgave 1

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe met \(3{,}3\%\) per jaar. Op \(x = 0\) is \(y = 452 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in jaren.
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenGroeifactorEnBeginwaarde

0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 2ms - dynamic variables

○

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{jaar}} = 1 + {3{,}3 \over 100} = 1{,}033 \text{.}\)

○

De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 452 \text{.}\)

○

\(y = 452 ⋅ 1{,}033^{x} \text{.}\)

havo wiskunde B

9.vk Exponentiële groei

Formule bij exponentiële groei opstellen (1)

opgave 1

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(2\,022\)	\(2\,023\)	\(2\,024\)	\(2\,025\)	\(2\,026\)
\(y\)	\(19{,}29\)	\(16{,}78\)	\(14{,}60\)	\(12{,}70\)	\(11{,}05\)

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,022 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

ExponentieelUitTabel (1)

00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\({16{,}78 \over 19{,}29} ≈ 0{,}87\)

○

\({14{,}60 \over 16{,}78} ≈ 0{,}87\)
\({12{,}70 \over 14{,}60} ≈ 0{,}87\)
\({11{,}05 \over 12{,}70} ≈ 0{,}87\)

○

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}87\)

○

\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 19{,}29 \text{.}\)

○

Dus \(y = 19{,}29 ⋅ 0{,}87^{x} \text{.}\)

havo wiskunde B

9.1 Groeifactoren en groeipercentages

Formule bij exponentiële groei opstellen (3)

opgave 1

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 3\) is \(y = 601\) en bij \(x = 8\) is \(y = 738 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenStijgend

0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({738 \over 601})^{{1 \over 8 - 3}} = 1{,}041...\)

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}041...^{x} \\ x = 3 \text{ en } y = 601\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}041...^{3} = 601 \\ b = {601 \over 1{,}041...^{3}} ≈ 531\end{matrix}\)

○

\(y = 531 ⋅ 1{,}042^{x} \text{.}\)

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 4\) is \(y = 397\) en bij \(x = 7\) is \(y = 346 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenDalend

0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({346 \over 397})^{{1 \over 7 - 4}} = 0{,}955...\)

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}955...^{x} \\ x = 4 \text{ en } y = 397\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}955...^{4} = 397 \\ b = {397 \over 0{,}955...^{4}} ≈ 477\end{matrix}\)

○

\(y = 477 ⋅ 0{,}955^{x} \text{.}\)

opgave 2

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(2\,014\)	\(2\,020\)	\(2\,021\)	\(2\,023\)
\(y\)	\(23{,}98\)	\(49{,}93\)	\(56{,}43\)	\(72{,}05\)

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,010 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

ExponentieelUitTabel (2)

00k2 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\(g = ({49{,}93 \over 23{,}98})^{{1 \over 2\,020 - 2\,014}} ≈ 1{,}13\)

○

\(g = ({56{,}43 \over 49{,}93})^{{1 \over 2\,021 - 2\,020}} ≈ 1{,}13\)
\(g = ({72{,}05 \over 56{,}43})^{{1 \over 2\,023 - 2\,021}} ≈ 1{,}13\)

○

De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}13\)

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}13^{x} \\ x = 4 \text{ en } y = 23{,}98\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}13^{4} = 23{,}98 \\ b = {23{,}98 \over 1{,}13^{4}} \\ b ≈ 14{,}71\end{matrix}\)

○

Dus \(y = 14{,}71 ⋅ 1{,}13^{x} \text{.}\)

havo wiskunde B

9.4 Formules omwerken

Formule bij exponentiële groei opstellen (3)

opgave 1

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen.

LogaritmischTegenLineair

00l4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 3ms - data pool: #252 (3ms) - dynamic variables

○

Rasterpunten \((10 , 3)\) en \((30 , 2)\) aflezen.

○

\(\log(y) = a x + b\) met \(a = {\Delta \log(y) \over \Delta x} = {2 - 3 \over 30 - 10} = -\frac{1}{20}\)

○

\(\begin{rcases}\log(y) = -\frac{1}{20} x + b \\ \text{door } (10 , 3)\end{rcases} \begin{matrix}-\frac{1}{20} ⋅ 10 + b = 3 \\ -\frac{10}{20} + b = 3 \\ b = 3\frac{1}{2}\end{matrix}\)

○

\(\log(y) = -\frac{1}{20} x + 3\frac{1}{2}\)
\(y = 10^{-\frac{1}{20} x + 3\frac{1}{2}}\)

○

\(y = 10^{-\frac{1}{20} x} ⋅ 10^{3\frac{1}{2}}\)
\(\text{ } = 10^{3\frac{1}{2}} ⋅ (10^{-\frac{1}{20}})^{x}\)
\(\text{ } = 3\,162 ⋅ 0{,}891^{x}\)

opgave 2

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = a x^{b} \text{.}\) Geef \(a\) in gehelen en \(b\) in 2 decimalen.

LogaritmischTegenLogaritmisch

00l5 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 2ms - data pool: #41 (2ms) - dynamic variables

○

Rasterpunten \((1 , 2)\) en \((6 , 5)\) aflezen.

○

\(\log(y) = a ⋅ \log(x) + b\) met \(a = {\Delta \log(y) \over \Delta \log(x)} = {5 - 2 \over 6 - 1} = \frac{3}{5}\)

○

\(\begin{rcases}\log(y) = \frac{3}{5} ⋅ \log(x) + b \\ \text{door } (1 , 2)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{3}{5} ⋅ 1 + b = 2 \\ \frac{3}{5} + b = 2 \\ b = 1\frac{2}{5}\end{matrix}\)

○

\(\log(y) = \frac{3}{5} ⋅ \log(x) + 1\frac{2}{5}\)
\(\log(y) = \log(x^{\frac{3}{5}}) + \log(10^{1\frac{2}{5}})\)
\(\log(y) = \log(10^{1\frac{2}{5}} ⋅ x^{\frac{3}{5}})\)

○

\(y = 10^{1\frac{2}{5}} ⋅ x^{\frac{3}{5}}\)
\(y = 25 ⋅ x^{0{,}60}\)

opgave 3

Welk soort verband tussen \(x\) en \(y\) is weergegeven in de bovenstaande grafiek?

Welke formule hoort er bij dat verband?

SoortFormule

00l6 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 1ms - dynamic variables

De grafiek hoort bij een machtsverband.

Hierbij hoort de formule \(y = a x^{b} \text{.}\)