Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Formule bij exponentiële groei opstellen'.

8.2 Procenten en groeifactoren

Formule bij exponentiële groei opstellen (1)

opgave 1

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af met \(1{,}8\%\) per kwartier. Op \(x=0\) is \(y=251\text{.}\) Hierbij is \(x\) in kwartier.
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenGroeifactorEnBeginwaarde

0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

○

\(y=b⋅g^x\) met \(g_{\text{kwartier}}=1-{1{,}8 \over 100}=0{,}982\text{.}\)

○

De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=251\text{.}\)

○

\(y=251⋅0{,}982^x\text{.}\)

havo wiskunde B

9.vk Exponentiële groei

Formule bij exponentiële groei opstellen (1)

opgave 1

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(2\,020\)	\(2\,021\)	\(2\,022\)	\(2\,023\)
\(y\)	\(11{,}87\)	\(13{,}89\)	\(16{,}25\)	\(19{,}01\)

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(y\text{.}\) Neem \(x=0\) in \(2\,020\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

ExponentieelUitTabel (1)

00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\({13{,}89 \over 11{,}87}≈1{,}17\)

○

\({16{,}25 \over 13{,}89}≈1{,}17\)
\({19{,}01 \over 16{,}25}≈1{,}17\)

○

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y=b⋅g^x\) met \(g=1{,}17\)

○

\(b\) is de waarde bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=11{,}87\text{.}\)

○

Dus \(y=11{,}87⋅1{,}17^x\text{.}\)

havo wiskunde B

9.1 Groeifactoren en groeipercentages

Formule bij exponentiële groei opstellen (3)

opgave 1

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x=5\) is \(y=415\) en bij \(x=10\) is \(y=507\text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenStijgend

0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

\(y=b⋅g^x\) met \(g=({507 \over 415})^{{1 \over 10-5}}=1{,}040...\)

○

\(\begin{rcases}y=b⋅1{,}040...^x \\ x=5\text{ en }y=415\end{rcases}\begin{matrix}b⋅1{,}040...^5=415 \\ b={415 \over 1{,}040...^5}≈340\end{matrix}\)

○

\(y=340⋅1{,}041^x\text{.}\)

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x=3\) is \(y=353\) en bij \(x=8\) is \(y=293\text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenDalend

0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms - dynamic variables

\(y=b⋅g^x\) met \(g=({293 \over 353})^{{1 \over 8-3}}=0{,}963...\)

○

\(\begin{rcases}y=b⋅0{,}963...^x \\ x=3\text{ en }y=353\end{rcases}\begin{matrix}b⋅0{,}963...^3=353 \\ b={353 \over 0{,}963...^3}≈395\end{matrix}\)

○

\(y=395⋅0{,}963^x\text{.}\)

opgave 2

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(4\)	\(6\)	\(11\)	\(12\)
\(y\)	\(109{,}48\)	\(61{,}58\)	\(14{,}61\)	\(10{,}96\)

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(y\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

ExponentieelUitTabel (2)

00k2 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\(g=({61{,}58 \over 109{,}48})^{{1 \over 6-4}}≈0{,}75\)

○

\(g=({14{,}61 \over 61{,}58})^{{1 \over 11-6}}≈0{,}75\)
\(g=({10{,}96 \over 14{,}61})^{{1 \over 12-11}}≈0{,}75\)

○

De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y=b⋅g^x\) met \(g=0{,}75\)

○

\(\begin{rcases}y=b⋅0{,}75^x \\ x=4\text{ en }y=109{,}48\end{rcases}\begin{matrix}b⋅0{,}75^4=109{,}48 \\ b={109{,}48 \over 0{,}75^4} \\ b≈346{,}01\end{matrix}\)

○

Dus \(y=346{,}01⋅0{,}75^x\text{.}\)

havo wiskunde B

9.4 Formules omwerken

Formule bij exponentiële groei opstellen (3)

opgave 1

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y=b⋅g^x\text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen.

LogaritmischTegenLineair

00l4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 4ms - data pool: #252 (4ms) - dynamic variables

○

Rasterpunten \((10, 3)\) en \((35, 6)\) aflezen.

○

\(\log(y)=ax+b\) met \(a={\Delta \log(y) \over \Delta x}={6-3 \over 35-10}=\frac{3}{25}\)

○

\(\begin{rcases}\log(y)=\frac{3}{25}x+b \\ \text{door }(10, 3)\end{rcases}\begin{matrix}\frac{3}{25}⋅10+b=3 \\ 1\frac{5}{25}+b=3 \\ b=1\frac{4}{5}\end{matrix}\)

○

\(\log(y)=\frac{3}{25}x+1\frac{4}{5}\)
\(y=10^{\frac{3}{25}x+1\frac{4}{5}}\)

○

\(y=10^{\frac{3}{25}x}⋅10^{1\frac{4}{5}}\)
\(\text{ }=10^{1\frac{4}{5}}⋅(10^{\frac{3}{25}})^x\)
\(\text{ }=63⋅1{,}318^x\)

opgave 2

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y=ax^b\text{.}\) Geef \(a\) in gehelen en \(b\) in 2 decimalen.

LogaritmischTegenLogaritmisch

00l5 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 3ms - data pool: #41 (3ms) - dynamic variables

○

Rasterpunten \((1, 3)\) en \((6, 6)\) aflezen.

○

\(\log(y)=a⋅\log(x)+b\) met \(a={\Delta \log(y) \over \Delta \log(x)}={6-3 \over 6-1}=\frac{3}{5}\)

○

\(\begin{rcases}\log(y)=\frac{3}{5}⋅\log(x)+b \\ \text{door }(1, 3)\end{rcases}\begin{matrix}\frac{3}{5}⋅1+b=3 \\ \frac{3}{5}+b=3 \\ b=2\frac{2}{5}\end{matrix}\)

○

\(\log(y)=\frac{3}{5}⋅\log(x)+2\frac{2}{5}\)
\(\log(y)=\log(x^{\frac{3}{5}})+\log(10^{2\frac{2}{5}})\)
\(\log(y)=\log(10^{2\frac{2}{5}}⋅x^{\frac{3}{5}})\)

○

\(y=10^{2\frac{2}{5}}⋅x^{\frac{3}{5}}\)
\(y=251⋅x^{0{,}60}\)

opgave 3

Welk soort verband tussen \(x\) en \(y\) is weergegeven in de bovenstaande grafiek?

Welke formule hoort er bij dat verband?

SoortFormule

00l6 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 2ms - dynamic variables

De grafiek hoort bij een logaritmisch verband.

Hierbij hoort de formule \(y=a⋅\log(x)+b\text{.}\)