Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Formule bij exponentiële groei opstellen'.

8.2 Procenten en groeifactoren

Formule bij exponentiële groei opstellen (1)

opgave 1

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af met \(4{,}3\%\) per jaar. Op \(x=0\) is \(y=384\text{.}\) Hierbij is \(x\) in jaren.
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenGroeifactorEnBeginwaarde

0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

○

\(y=b⋅g^x\) met \(g_{\text{jaar}}=1-{4{,}3 \over 100}=0{,}957\text{.}\)

○

De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=384\text{.}\)

○

\(y=384⋅0{,}957^x\text{.}\)

havo wiskunde B

9.vk Exponentiële groei

Formule bij exponentiële groei opstellen (1)

opgave 1

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(y\)	\(52{,}16\)	\(37{,}56\)	\(27{,}04\)	\(19{,}47\)

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(y\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

ExponentieelUitTabel (1)

00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\({37{,}56 \over 52{,}16}≈0{,}72\)

○

\({27{,}04 \over 37{,}56}≈0{,}72\)
\({19{,}47 \over 27{,}04}≈0{,}72\)

○

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y=b⋅g^x\) met \(g=0{,}72\)

○

\(b\) is de waarde bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=52{,}16\text{.}\)

○

Dus \(y=52{,}16⋅0{,}72^x\text{.}\)

havo wiskunde B

9.1 Groeifactoren en groeipercentages

Formule bij exponentiële groei opstellen (3)

opgave 1

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x=3\) is \(y=571\) en bij \(x=7\) is \(y=666\text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenStijgend

0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

\(y=b⋅g^x\) met \(g=({666 \over 571})^{{1 \over 7-3}}=1{,}039...\)

○

\(\begin{rcases}y=b⋅1{,}039...^x \\ x=3\text{ en }y=571\end{rcases}\begin{matrix}b⋅1{,}039...^3=571 \\ b={571 \over 1{,}039...^3}≈509\end{matrix}\)

○

\(y=509⋅1{,}039^x\text{.}\)

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x=2\) is \(y=515\) en bij \(x=4\) is \(y=466\text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenDalend

0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms - dynamic variables

\(y=b⋅g^x\) met \(g=({466 \over 515})^{{1 \over 4-2}}=0{,}951...\)

○

\(\begin{rcases}y=b⋅0{,}951...^x \\ x=2\text{ en }y=515\end{rcases}\begin{matrix}b⋅0{,}951...^2=515 \\ b={515 \over 0{,}951...^2}≈569\end{matrix}\)

○

\(y=569⋅0{,}951^x\text{.}\)

opgave 2

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(2\,015\)	\(2\,016\)	\(2\,022\)	\(2\,025\)
\(y\)	\(38{,}76\)	\(49{,}61\)	\(218{,}19\)	\(457{,}57\)

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(y\text{.}\) Neem \(x=0\) in \(2\,010\text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

ExponentieelUitTabel (2)

00k2 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\(g=({49{,}61 \over 38{,}76})^{{1 \over 2\,016-2\,015}}≈1{,}28\)

○

\(g=({218{,}19 \over 49{,}61})^{{1 \over 2\,022-2\,016}}≈1{,}28\)
\(g=({457{,}57 \over 218{,}19})^{{1 \over 2\,025-2\,022}}≈1{,}28\)

○

De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y=b⋅g^x\) met \(g=1{,}28\)

○

\(\begin{rcases}y=b⋅1{,}28^x \\ x=5\text{ en }y=38{,}76\end{rcases}\begin{matrix}b⋅1{,}28^5=38{,}76 \\ b={38{,}76 \over 1{,}28^5} \\ b≈11{,}28\end{matrix}\)

○

Dus \(y=11{,}28⋅1{,}28^x\text{.}\)

havo wiskunde B

9.4 Formules omwerken

Formule bij exponentiële groei opstellen (3)

opgave 1

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y=b⋅g^x\text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen.

LogaritmischTegenLineair

00l4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 5ms - data pool: #252 (4ms) - dynamic variables

○

Rasterpunten \((5, 4)\) en \((40, 6)\) aflezen.

○

\(\log(y)=ax+b\) met \(a={\Delta \log(y) \over \Delta x}={6-4 \over 40-5}=\frac{2}{35}\)

○

\(\begin{rcases}\log(y)=\frac{2}{35}x+b \\ \text{door }(5, 4)\end{rcases}\begin{matrix}\frac{2}{35}⋅5+b=4 \\ \frac{10}{35}+b=4 \\ b=3\frac{5}{7}\end{matrix}\)

○

\(\log(y)=\frac{2}{35}x+3\frac{5}{7}\)
\(y=10^{\frac{2}{35}x+3\frac{5}{7}}\)

○

\(y=10^{\frac{2}{35}x}⋅10^{3\frac{5}{7}}\)
\(\text{ }=10^{3\frac{5}{7}}⋅(10^{\frac{2}{35}})^x\)
\(\text{ }=5\,179⋅1{,}141^x\)

opgave 2

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y=ax^b\text{.}\) Geef \(a\) in gehelen en \(b\) in 2 decimalen.

LogaritmischTegenLogaritmisch

00l5 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 2ms - data pool: #41 (2ms) - dynamic variables

○

Rasterpunten \((1, 2)\) en \((6, 1)\) aflezen.

○

\(\log(y)=a⋅\log(x)+b\) met \(a={\Delta \log(y) \over \Delta \log(x)}={1-2 \over 6-1}=-\frac{1}{5}\)

○

\(\begin{rcases}\log(y)=-\frac{1}{5}⋅\log(x)+b \\ \text{door }(1, 2)\end{rcases}\begin{matrix}-\frac{1}{5}⋅1+b=2 \\ -\frac{1}{5}+b=2 \\ b=2\frac{1}{5}\end{matrix}\)

○

\(\log(y)=-\frac{1}{5}⋅\log(x)+2\frac{1}{5}\)
\(\log(y)=\log(x^{-\frac{1}{5}})+\log(10^{2\frac{1}{5}})\)
\(\log(y)=\log(10^{2\frac{1}{5}}⋅x^{-\frac{1}{5}})\)

○

\(y=10^{2\frac{1}{5}}⋅x^{-\frac{1}{5}}\)
\(y=158⋅x^{-0{,}20}\)

opgave 3

Welk soort verband tussen \(x\) en \(y\) is weergegeven in de bovenstaande grafiek?

Welke formule hoort er bij dat verband?

SoortFormule

00l6 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 2ms - dynamic variables

De grafiek hoort bij een machtsverband.

Hierbij hoort de formule \(y=ax^b\text{.}\)