Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Formule bij exponentiële groei opstellen'.

8.2 Procenten en groeifactoren

Formule bij exponentiële groei opstellen (1)

opgave 1

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af met \(1{,}9\%\) per dag. Op \(x = 0\) is \(y = 558 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in dagen.
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenGroeifactorEnBeginwaarde

0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

○

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{dag}} = 1 - {1{,}9 \over 100} = 0{,}981 \text{.}\)

○

De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 558 \text{.}\)

○

\(y = 558 ⋅ 0{,}981^{x} \text{.}\)

havo wiskunde B

9.vk Exponentiële groei

Formule bij exponentiële groei opstellen (1)

opgave 1

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(2\,022\)	\(2\,023\)	\(2\,024\)	\(2\,025\)
\(y\)	\(13{,}53\)	\(13{,}80\)	\(14{,}08\)	\(14{,}36\)

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,022 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

ExponentieelUitTabel (1)

00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\({13{,}80 \over 13{,}53} ≈ 1{,}02\)

○

\({14{,}08 \over 13{,}80} ≈ 1{,}02\)
\({14{,}36 \over 14{,}08} ≈ 1{,}02\)

○

De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}02\)

○

\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 13{,}53 \text{.}\)

○

Dus \(y = 13{,}53 ⋅ 1{,}02^{x} \text{.}\)

havo wiskunde B

9.1 Groeifactoren en groeipercentages

Formule bij exponentiële groei opstellen (3)

opgave 1

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 2\) is \(y = 531\) en bij \(x = 4\) is \(y = 566 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenStijgend

0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({566 \over 531})^{{1 \over 4 - 2}} = 1{,}032...\)

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}032...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 531\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}032...^{2} = 531 \\ b = {531 \over 1{,}032...^{2}} ≈ 498\end{matrix}\)

○

\(y = 498 ⋅ 1{,}032^{x} \text{.}\)

Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 2\) is \(y = 277\) en bij \(x = 4\) is \(y = 257 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.

GegevenTweePuntenDalend

0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms - dynamic variables

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({257 \over 277})^{{1 \over 4 - 2}} = 0{,}963...\)

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}963...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 277\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}963...^{2} = 277 \\ b = {277 \over 0{,}963...^{2}} ≈ 299\end{matrix}\)

○

\(y = 299 ⋅ 0{,}963^{x} \text{.}\)

opgave 2

Gegeven is de volgende tabel.

\(x\)	\(2\,015\)	\(2\,020\)	\(2\,022\)	\(2\,025\)
\(y\)	\(44{,}50\)	\(29{,}33\)	\(24{,}82\)	\(19{,}33\)

Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.

Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,014 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.

ExponentieelUitTabel (2)

00k2 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables

\(g = ({29{,}33 \over 44{,}50})^{{1 \over 2\,020 - 2\,015}} ≈ 0{,}92\)

○

\(g = ({24{,}82 \over 29{,}33})^{{1 \over 2\,022 - 2\,020}} ≈ 0{,}92\)
\(g = ({19{,}33 \over 24{,}82})^{{1 \over 2\,025 - 2\,022}} ≈ 0{,}92\)

○

De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.

\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}92\)

○

\(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}92^{x} \\ x = 1 \text{ en } y = 44{,}50\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}92^{1} = 44{,}50 \\ b = {44{,}50 \over 0{,}92^{1}} \\ b ≈ 48{,}37\end{matrix}\)

○

Dus \(y = 48{,}37 ⋅ 0{,}92^{x} \text{.}\)

havo wiskunde B

9.4 Formules omwerken

Formule bij exponentiële groei opstellen (3)

opgave 1

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen.

LogaritmischTegenLineair

00l4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 4ms - data pool: #252 (4ms) - dynamic variables

○

Rasterpunten \((10 , 2)\) en \((80 , 5)\) aflezen.

○

\(\log(y) = a x + b\) met \(a = {\Delta \log(y) \over \Delta x} = {5 - 2 \over 80 - 10} = \frac{3}{70}\)

○

\(\begin{rcases}\log(y) = \frac{3}{70} x + b \\ \text{door } (10 , 2)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{3}{70} ⋅ 10 + b = 2 \\ \frac{30}{70} + b = 2 \\ b = 1\frac{4}{7}\end{matrix}\)

○

\(\log(y) = \frac{3}{70} x + 1\frac{4}{7}\)
\(y = 10^{\frac{3}{70} x + 1\frac{4}{7}}\)

○

\(y = 10^{\frac{3}{70} x} ⋅ 10^{1\frac{4}{7}}\)
\(\text{ } = 10^{1\frac{4}{7}} ⋅ (10^{\frac{3}{70}})^{x}\)
\(\text{ } = 37 ⋅ 1{,}104^{x}\)

opgave 2

Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = a x^{b} \text{.}\) Geef \(a\) in gehelen en \(b\) in 2 decimalen.

LogaritmischTegenLogaritmisch

00l5 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 2ms - data pool: #41 (2ms) - dynamic variables

○

Rasterpunten \((2 , 2)\) en \((6 , 1)\) aflezen.

○

\(\log(y) = a ⋅ \log(x) + b\) met \(a = {\Delta \log(y) \over \Delta \log(x)} = {1 - 2 \over 6 - 2} = -\frac{1}{4}\)

○

\(\begin{rcases}\log(y) = -\frac{1}{4} ⋅ \log(x) + b \\ \text{door } (2 , 2)\end{rcases} \begin{matrix}-\frac{1}{4} ⋅ 2 + b = 2 \\ -\frac{2}{4} + b = 2 \\ b = 2\frac{1}{2}\end{matrix}\)

○

\(\log(y) = -\frac{1}{4} ⋅ \log(x) + 2\frac{1}{2}\)
\(\log(y) = \log(x^{-\frac{1}{4}}) + \log(10^{2\frac{1}{2}})\)
\(\log(y) = \log(10^{2\frac{1}{2}} ⋅ x^{-\frac{1}{4}})\)

○

\(y = 10^{2\frac{1}{2}} ⋅ x^{-\frac{1}{4}}\)
\(y = 316 ⋅ x^{-0{,}25}\)

opgave 3

Welk soort verband tussen \(x\) en \(y\) is weergegeven in de bovenstaande grafiek?

Welke formule hoort er bij dat verband?

SoortFormule

00l6 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 2ms - dynamic variables

De grafiek hoort bij een machtsverband.

Hierbij hoort de formule \(y = a x^{b} \text{.}\)