Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Extreme waarden bepalen'.

havo wiskunde B	6.1 Raaklijnen en toppen
Extreme waarden bepalen (3)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = 2 x^{3} - 21 x^{2} + 72 x + 11 \text{.}\) 4p Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (1) 00j1 - Extreme waarden bepalen - basis - 0ms ○ \(f'(x) = 6 x^{2} - 42 x + 72\) 1p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \(6 x^{2} - 42 x + 72 = 0\) \(x^{2} - 7 x + 12 = 0\) \((x - 3) (x - 4) = 0\) \(x = 3 ∨ x = 4\) 1p ○ Schets: 1p ○ max. is \(f(3) = 92\) en min. is \(f(4) = 91 \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven is de functie \(f(x) = -3 x^{4} + 96 x^{2} - 50 \text{.}\) 4p Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (2) 00j2 - Extreme waarden bepalen - basis - 0ms ○ \(f'(x) = -12 x^{3} + 192 x\) 1p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \(-12 x^{3} + 192 x = 0\) \(x^{3} - 16 x = 0\) \(x (x + 4) (x - 4) = 0\) \(x = 0 ∨ x = -4 ∨ x = 4\) 1p ○ Schets: 1p ○ max. is \(f(-4) = 718 \text{,}\) min. is \(f(0) = -50\) en max. is \(f(4) = 718 \text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{5} x^{5} - x^{3} + 2 x \text{.}\) 4p Toon aan dat \(f\) een extreme waarde heeft voor \(x = \sqrt{2} \text{.}\) ExtremeWaardenAantonen 00j3 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms ○ \(f'(x) = x^{4} - 3 x^{2} + 2\) 1p ○ \(f'(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^{4} - 3 (\sqrt{2})^{2} + 2 = 0\) 1p ○ Schets: 1p ○ \(f'(\sqrt{2}) = 0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x = \sqrt{2} \text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x = \sqrt{2} \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	6.2 De afgeleide van machtsfuncties
Extreme waarden bepalen (1)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = {4 x^{2} + 2 x + 25 \over x} \text{.}\) 5p Bereken de extreme waarden van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (4) 00j5 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms ○ Uitdelen geeft \(f(x) = {4 x^{2} + 2 x + 25 \over x} = {4 x^{2} \over x} + {2 x \over x} + {25 \over x} = 4 x + 2 + 25 x^{-1}\) De afgeleide is dan \(f'(x) = 4 + 25 ⋅ -1 ⋅ x^{-2} = 4 - {25 \over x^{2}} \text{.}\) 2p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \(4 - {25 \over x^{2}} = 0\) \(\frac{4}{1} = {25 \over x^{2}}\) Kruislings vermenigvuldigen geeft \(4 x^{2} = 25\) \(x^{2} = \frac{25}{4}\) \(x = \sqrt{\frac{25}{4}} = 2\frac{1}{2} ∨ x = -\sqrt{\frac{25}{4}} = -2\frac{1}{2}\) 1p ○ Schets: 1p ○ min. is \(f(-2\frac{1}{2}) = -18\) en max. is \(f(2\frac{1}{2}) = 22 \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	6.3 De kettingregel
Extreme waarden bepalen (1)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = \sqrt{3 x + 5} - \frac{1}{2} x \text{.}\) 6p a Bereken exact de top van \(f \text{.}\) 2p b Bepaal exact het bereik en het domein van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (3) 00j4 - Extreme waarden bepalen - basis - 2ms - data pool: #142 (2ms) a \(f(x) = \sqrt{3 x + 5} - \frac{1}{2} x = (3 x + 5)^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} x\) geeft \(f'(x) = \frac{1}{2} ⋅ (3 x + 5)^{-\frac{1}{2}} ⋅ 3 - \frac{1}{2} = {3 \over 2 \sqrt{3 x + 5}} - \frac{1}{2} \text{.}\) 2p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \({3 \over 2 \sqrt{3 x + 5}} - \frac{1}{2} = 0\) \({3 \over 2 \sqrt{3 x + 5}} = \frac{1}{2}\) Kruislings vermenigvuldigen geeft \(2 \sqrt{3 x + 5} = 6\) \(\sqrt{3 x + 5} = 3\) 1p ○ Kwadrateren geeft \(3 x + 5 = 9\) \(x = 1\frac{1}{3}\) 1p ○ Schets: 1p ○ max. is \(f(1\frac{1}{3}) = 2\frac{1}{3} \text{.}\) 1p b \(3 x + 5 ≥ 0\) geeft \(x ≥ -1\frac{2}{3} \text{,}\) dus \(D_{f} = [-1\frac{2}{3} , \rightarrow ⟩ \text{.}\) 1p ○ max. is \(f(1\frac{1}{3}) = 2\frac{1}{3} \text{,}\) dus \(B_{f} = ⟨\leftarrow , 2\frac{1}{3}] \text{.}\) 1p

"