Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Extreme waarden bepalen'.

havo wiskunde B	6.1 Raaklijnen en toppen
Extreme waarden bepalen (3)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = -2 x^{3} + 27 x^{2} - 120 x - 23 \text{.}\) 4p Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (1) 00j1 - Extreme waarden bepalen - basis - 0ms ○ \(f'(x) = -6 x^{2} + 54 x - 120\) 1p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \(-6 x^{2} + 54 x - 120 = 0\) \(x^{2} - 9 x + 20 = 0\) \((x - 4) (x - 5) = 0\) \(x = 4 ∨ x = 5\) 1p ○ Schets: 1p ○ min. is \(f(4) = -199\) en max. is \(f(5) = -198 \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven is de functie \(f(x) = 3 x^{4} + 12 x^{3} - 24 x^{2} - 21 \text{.}\) 4p Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (2) 00j2 - Extreme waarden bepalen - basis - 0ms ○ \(f'(x) = 12 x^{3} + 36 x^{2} - 48 x\) 1p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \(12 x^{3} + 36 x^{2} - 48 x = 0\) \(x^{3} + 3 x^{2} - 4 x = 0\) \(x (x + 4) (x - 1) = 0\) \(x = 0 ∨ x = -4 ∨ x = 1\) 1p ○ Schets: 1p ○ min. is \(f(-4) = -405 \text{,}\) max. is \(f(0) = -21\) en min. is \(f(1) = -30 \text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven is de functie \(f(x) = -\frac{1}{5} x^{5} + \frac{1}{3} x^{3} + 6 x \text{.}\) 4p Toon aan dat \(f\) een extreme waarde heeft voor \(x = \sqrt{3} \text{.}\) ExtremeWaardenAantonen 00j3 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms ○ \(f'(x) = -x^{4} + x^{2} + 6\) 1p ○ \(f'(\sqrt{3}) = -(\sqrt{3})^{4} + (\sqrt{3})^{2} + 6 = 0\) 1p ○ Schets: 1p ○ \(f'(\sqrt{3}) = 0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x = \sqrt{3} \text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x = \sqrt{3} \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	6.2 De afgeleide van machtsfuncties
Extreme waarden bepalen (1)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = {4 x^{2} + x + 9 \over 6 x} \text{.}\) 5p Bereken de extreme waarden van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (4) 00j5 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms ○ Uitdelen geeft \(f(x) = {4 x^{2} + x + 9 \over 6 x} = {4 x^{2} \over 6 x} + {x \over 6 x} + {9 \over 6 x} = \frac{2}{3} x + \frac{1}{6} + \frac{3}{2} x^{-1}\) De afgeleide is dan \(f'(x) = \frac{2}{3} + \frac{3}{2} ⋅ -1 ⋅ x^{-2} = \frac{2}{3} - {3 \over 2 x^{2}} \text{.}\) 2p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \(\frac{2}{3} - {3 \over 2 x^{2}} = 0\) \(\frac{2}{3} = {3 \over 2 x^{2}}\) Kruislings vermenigvuldigen geeft \(4 x^{2} = 9\) \(x^{2} = \frac{9}{4}\) \(x = \sqrt{\frac{9}{4}} = 1\frac{1}{2} ∨ x = -\sqrt{\frac{9}{4}} = -1\frac{1}{2}\) 1p ○ Schets: 1p ○ min. is \(f(-1\frac{1}{2}) = -1\frac{5}{6}\) en max. is \(f(1\frac{1}{2}) = 2\frac{1}{6} \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	6.3 De kettingregel
Extreme waarden bepalen (1)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{2}{5} x - \sqrt{4 x - 5} \text{.}\) 6p a Bereken exact de top van \(f \text{.}\) 2p b Bepaal exact het bereik en het domein van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (3) 00j4 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms - data pool: #142 (1ms) a \(f(x) = \frac{2}{5} x - \sqrt{4 x - 5} = \frac{2}{5} x - (4 x - 5)^{\frac{1}{2}}\) geeft \(f'(x) = \frac{2}{5} - \frac{1}{2} ⋅ (4 x - 5)^{-\frac{1}{2}} ⋅ 4 = \frac{2}{5} - {2 \over \sqrt{4 x - 5}} \text{.}\) 2p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \(\frac{2}{5} - {2 \over \sqrt{4 x - 5}} = 0\) \(-{2 \over \sqrt{4 x - 5}} = -\frac{2}{5}\) Kruislings vermenigvuldigen geeft \(2 \sqrt{4 x - 5} = 10\) \(\sqrt{4 x - 5} = 5\) 1p ○ Kwadrateren geeft \(4 x - 5 = 25\) \(x = 7\frac{1}{2}\) 1p ○ Schets: 1p ○ min. is \(f(7\frac{1}{2}) = -2 \text{.}\) 1p b \(4 x - 5 ≥ 0\) geeft \(x ≥ 1\frac{1}{4} \text{,}\) dus \(D_{f} = [1\frac{1}{4} , \rightarrow ⟩ \text{.}\) 1p ○ min. is \(f(7\frac{1}{2}) = -2 \text{,}\) dus \(B_{f} = [-2 , \rightarrow ⟩ \text{.}\) 1p

"