Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Extreme waarden bepalen'.

havo wiskunde B	6.1 Raaklijnen en toppen
Extreme waarden bepalen (3)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = -2 x^{3} - 15 x^{2} - 36 x - 50 \text{.}\) 4p Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (1) 00j1 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms ○ \(f'(x) = -6 x^{2} - 30 x - 36\) 1p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \(-6 x^{2} - 30 x - 36 = 0\) \(x^{2} + 5 x + 6 = 0\) \((x + 3) (x + 2) = 0\) \(x = -3 ∨ x = -2\) 1p ○ Schets: 1p ○ min. is \(f(-3) = -23\) en max. is \(f(-2) = -22 \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven is de functie \(f(x) = -3 x^{4} - 8 x^{3} + 48 x^{2} + 33 \text{.}\) 4p Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (2) 00j2 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms ○ \(f'(x) = -12 x^{3} - 24 x^{2} + 96 x\) 1p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \(-12 x^{3} - 24 x^{2} + 96 x = 0\) \(x^{3} + 2 x^{2} - 8 x = 0\) \(x (x + 4) (x - 2) = 0\) \(x = 0 ∨ x = -4 ∨ x = 2\) 1p ○ Schets: 1p ○ max. is \(f(-4) = 545 \text{,}\) min. is \(f(0) = 33\) en max. is \(f(2) = 113 \text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven is de functie \(f(x) = -\frac{3}{5} x^{5} + \frac{1}{3} x^{3} + 10 x \text{.}\) 4p Toon aan dat \(f\) een extreme waarde heeft voor \(x = \sqrt{2} \text{.}\) ExtremeWaardenAantonen 00j3 - Extreme waarden bepalen - basis - 2ms ○ \(f'(x) = -3 x^{4} + x^{2} + 10\) 1p ○ \(f'(\sqrt{2}) = -3 (\sqrt{2})^{4} + (\sqrt{2})^{2} + 10 = 0\) 1p ○ Schets: 1p ○ \(f'(\sqrt{2}) = 0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x = \sqrt{2} \text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x = \sqrt{2} \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	6.2 De afgeleide van machtsfuncties
Extreme waarden bepalen (1)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = {4 x^{2} + 1 \over 7 x} \text{.}\) 5p Bereken de extreme waarden van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (4) 00j5 - Extreme waarden bepalen - basis - 1ms ○ Uitdelen geeft \(f(x) = {4 x^{2} + 1 \over 7 x} = {4 x^{2} \over 7 x} + {1 \over 7 x} = \frac{4}{7} x + \frac{1}{7} x^{-1}\) De afgeleide is dan \(f'(x) = \frac{4}{7} + \frac{1}{7} ⋅ -1 ⋅ x^{-2} = \frac{4}{7} - {1 \over 7 x^{2}} \text{.}\) 2p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \(\frac{4}{7} - {1 \over 7 x^{2}} = 0\) \(\frac{4}{7} = {1 \over 7 x^{2}}\) Kruislings vermenigvuldigen geeft \(28 x^{2} = 7\) \(x^{2} = \frac{1}{4}\) \(x = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} ∨ x = -\sqrt{\frac{1}{4}} = -\frac{1}{2}\) 1p ○ Schets: 1p ○ min. is \(f(-\frac{1}{2}) = -\frac{4}{7}\) en max. is \(f(\frac{1}{2}) = \frac{4}{7} \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	6.3 De kettingregel
Extreme waarden bepalen (1)	opgave 1 Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{4} x - \sqrt{x + 1} \text{.}\) 6p a Bereken exact de top van \(f \text{.}\) 2p b Bepaal exact het bereik en het domein van \(f \text{.}\) ExtremeWaardenBepalen (3) 00j4 - Extreme waarden bepalen - basis - 3ms - data pool: #142 (2ms) a \(f(x) = \frac{1}{4} x - \sqrt{x + 1} = \frac{1}{4} x - (x + 1)^{\frac{1}{2}}\) geeft \(f'(x) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} ⋅ (x + 1)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{4} - {1 \over 2 \sqrt{x + 1}} \text{.}\) 2p ○ \(f'(x) = 0\) geeft \(\frac{1}{4} - {1 \over 2 \sqrt{x + 1}} = 0\) \(-{1 \over 2 \sqrt{x + 1}} = -\frac{1}{4}\) Kruislings vermenigvuldigen geeft \(2 \sqrt{x + 1} = 4\) \(\sqrt{x + 1} = 2\) 1p ○ Kwadrateren geeft \(x + 1 = 4\) \(x = 3\) 1p ○ Schets: 1p ○ min. is \(f(3) = -1\frac{1}{4} \text{.}\) 1p b \(x + 1 ≥ 0\) geeft \(x ≥ -1 \text{,}\) dus \(D_{f} = [-1 , \rightarrow ⟩ \text{.}\) 1p ○ min. is \(f(3) = -1\frac{1}{4} \text{,}\) dus \(B_{f} = [-1\frac{1}{4} , \rightarrow ⟩ \text{.}\) 1p

"