Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'De vergelijking van een cirkel'.

havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
De vergelijking van een cirkel (10)	opgave 1 Gegeven is het punt \(M(-3, 7)\text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(5\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (1) 00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(c{:}\,(x+3)^2+(y-7)^2=25\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de punten \(M(-4, -3)\) en \(A(1, -2)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat. MiddelpuntDoorPunt 00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(r=d(M, A)=\sqrt{(-4-1)^2+(-3--2)^2}=\sqrt{26}\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x+4)^2+(y+3)^2=26\text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de punten \(A(-1, 6)\) en \(B(-7, 0)\text{.}\) 3p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\) Middellijn 00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus \(M({1 \over 2}(-1+-7), {1 \over 2}(6+0))=M(-4, 3)\text{.}\) 1p ○ \(r=d(M, A)=\sqrt{(-4--1)^2+(3-6)^2}=\sqrt{18}\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x+4)^2+(y-3)^2=18\text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven is het punt \(M(6, 5)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(y\text{-}\)as. MiddelpuntRaaktAanAs 00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Cirkel \(c\) raakt aan de \(y\text{-}\)as, dus \(r=d(M, y\text{-as})=6\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x-6)^2+(y-5)^2=36\text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is het punt \(M(0, 5)\text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(4\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (2) 00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,x^2+(y-5)^2=16\text{.}\) 1p opgave 6 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+12x+8y+43=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (1) 00ba - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2+12x+8y+43=0\) \((x+6)^2-36+(y+4)^2-16+43=0\) \((x+6)^2+(y+4)^2=9\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(-6, -4)\) en \(r=\sqrt{9}=3\text{.}\) 1p opgave 7 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-6x-11y+20=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (2) 00bb - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2-6x-11y+20=0\) \((x-3)^2-9+(y-5\frac{1}{2})^2-30\frac{1}{4}+20=0\) \((x-3)^2+(y-5\frac{1}{2})^2=19\frac{1}{4}\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(3, 5\frac{1}{2})\) en \(r=\sqrt{19\frac{1}{4}}\text{.}\) 1p opgave 8 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+4y-45=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (3) 00bc - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2+4y-45=0\) \(x^2+(y+2)^2-4-45=0\) \(x^2+(y+2)^2=49\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(0, -2)\) en \(r=\sqrt{49}=7\text{.}\) 1p opgave 9 Gegeven is het punt \(M(5, -1)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(2\text{.}\) Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (3) 00bx - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,(x-5)^2+(y+1)^2=4\text{.}\) 1p ○ Haakjes wegwerken geeft \(x^2-10x+25+y^2+2y+1=4\) en dus \(c{:}\,x^2+y^2-10x+2y+22=0\text{.}\) 1p opgave 10 Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=4x+2\) ligt, die straal \(3\) hebben en die de \(y\text{-}\)as raken. 4p Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op. MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs 00es - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ De cirkels raken de \(y\text{-}\)as en hebben straal \(3\text{,}\) dus \(x_M=3\) of \(x_M=-3\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=4x+2 \\ x_M=3\end{rcases}\text{ geeft }y_M=4⋅3+2=14\) 1p ○ Middelpunt \(M_1(3, 14)\) en straal \(r=3\text{,}\) dus \(c_1{:}\,(x-3)^2+(y-14)^2=9\) 1p ○ Op dezelfde manier geldt dat \(\begin{rcases}y=4x+2 \\ x_M=-3\end{rcases}\text{ geeft }y_M=4⋅-3+2=-10\) Middelpunt \(M_2(-3, -10)\) en straal \(r=3\text{,}\) dus \(c_2{:}\,(x+3)^2+(y+10)^2=9\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels
De vergelijking van een cirkel (2)	opgave 1 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+10x-2y+16=0\text{.}\) De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=-4\) en \(y_A>y_B\) liggen op \(c\text{.}\) 2p Bereken de coördinaten van \(A\) en van \(B\text{.}\) PuntenMetGegevenCoordinaat 00br - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(x=-4\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft \((-4)^2+y^2+10⋅-4-2y+16=0\text{.}\) 1p ○ De vergelijking oplossen geeft \(y^2-2y-8=0\) \((y+2)(y-4)=0\) \(y=-2∨y=4\) \(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(-4, 4)\) en \(B(-4, -2)\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de lijn \(l{:}\,4x+y=-2\) en de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-8x+2y-17=0\text{.}\) 4p Bereken exact de coördinaten van \(l\) en \(c\text{.}\) SnijpuntenLijnEnCirkel 00by - De vergelijking van een cirkel - basis - 4ms - data pool: #56 (2ms) ○ Omschrijven van \(l\) geeft \(y=-4x-2\text{.}\) Substitutie in \(x^2+y^2-8x+2y-17=0\) geeft \(x^2+(-4x-2)^2-8x+2(-4x-2)-17=0\text{.}\) 1p ○ Haakjes wegwerken geeft \(x^2+16x^2+16x+4-8x-8x-4-17=0\) \(17x^2-17=0\text{.}\) 1p ○ Oplossen van de vergelijking geeft \(x^2-1=0\) \((x-1)(x+1)=0\) Dus \(x=1∨x=-1\text{.}\) 1p ○ Invullen van \(x=1\) in \(y=-4x-2\) geeft \(y=-6\text{,}\) dus snijpunt \((1, -6)\text{.}\) Invullen van \(x=-1\) geeft \(y=2\text{,}\) dus snijpunt \((-1, 2)\text{.}\) 1p

"