Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'De vergelijking van een cirkel'.

havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
De vergelijking van een cirkel (10)	opgave 1 Gegeven is het punt \(M(2, -5)\text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(7\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (1) 00b5 - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(c{:}\,(x-2)^2+(y+5)^2=49\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de punten \(M(-4, -1)\) en \(A(-2, 0)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat. MiddelpuntDoorPunt 00b6 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(r=d(M, A)=\sqrt{(-4--2)^2+(-1-0)^2}=\sqrt{5}\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x+4)^2+(y+1)^2=5\text{.}\) 1p opgave 3 Gegeven zijn de punten \(A(-5, 1)\) en \(B(6, 4)\text{.}\) 3p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B\text{.}\) Middellijn 00b7 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B\text{,}\) dus \(M({1 \over 2}(-5+6), {1 \over 2}(1+4))=M(\frac{1}{2}, 2\frac{1}{2})\text{.}\) 1p ○ \(r=d(M, A)=\sqrt{(\frac{1}{2}--5)^2+(2\frac{1}{2}-1)^2}=\sqrt{32\frac{1}{2}}\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x-\frac{1}{2})^2+(y-2\frac{1}{2})^2=32\frac{1}{2}\text{.}\) 1p opgave 4 Gegeven is het punt \(M(-6, 2)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(x\text{-}\)as. MiddelpuntRaaktAanAs 00b8 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Cirkel \(c\) raakt aan de \(x\text{-}\)as, dus \(r=d(M, x\text{-as})=2\text{.}\) 1p ○ \(c{:}\,(x+6)^2+(y-2)^2=4\text{.}\) 1p opgave 5 Gegeven is het punt \(M(0, 6)\text{.}\) 1p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(4\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (2) 00b9 - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,x^2+(y-6)^2=16\text{.}\) 1p opgave 6 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-6x-4y-12=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (1) 00ba - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2-6x-4y-12=0\) \((x-3)^2-9+(y-2)^2-4-12=0\) \((x-3)^2+(y-2)^2=25\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(3, 2)\) en \(r=\sqrt{25}=5\text{.}\) 1p opgave 7 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-8x-5y+16=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (2) 00bb - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2-8x-5y+16=0\) \((x-4)^2-16+(y-2\frac{1}{2})^2-6\frac{1}{4}+16=0\) \((x-4)^2+(y-2\frac{1}{2})^2=6\frac{1}{4}\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(4, 2\frac{1}{2})\) en \(r=\sqrt{6\frac{1}{4}}\text{.}\) 1p opgave 8 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+10x-11=0\text{.}\) 2p Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c\text{.}\) Kwadraatafsplitsen (3) 00bc - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+y^2+10x-11=0\) \((x+5)^2-25+y^2-11=0\) \((x+5)^2+y^2=36\text{.}\) 1p ○ Dus \(M(-5, 0)\) en \(r=\sqrt{36}=6\text{.}\) 1p opgave 9 Gegeven is het punt \(M(-4, -7)\text{.}\) 2p Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(2\text{.}\) Geef het antwoord in de vorm \(x^2+y^2+ax+by+c=0\text{.}\) MiddelpuntEnStraal (3) 00bx - De vergelijking van een cirkel - basis - 0ms ○ \(c{:}\,(x+4)^2+(y+7)^2=4\text{.}\) 1p ○ Haakjes wegwerken geeft \(x^2+8x+16+y^2+14y+49=4\) en dus \(c{:}\,x^2+y^2+8x+14y+61=0\text{.}\) 1p opgave 10 Er zijn twee cirkels \(c_1\) en \(c_2\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y=5x+2\) ligt, die straal \(4\) hebben en die de \(x\text{-}\)as raken. 4p Stel van zowel \(c_1\) als \(c_2\) een vergelijking op. MiddelpuntOpLijnRaaktAanAs 00es - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ De cirkels raken de \(x\text{-}\)as en hebben straal \(4\text{,}\) dus \(y_M=4\) of \(y_M=-4\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=5x+2 \\ y_M=4\end{rcases}\text{ geeft }5x+2=4\text{ dus }x_M=\frac{2}{5}\) 1p ○ Middelpunt \(M_1(\frac{2}{5}, 4)\) en straal \(r=4\text{,}\) dus \(c_1{:}\,(x-\frac{2}{5})^2+(y-4)^2=16\) 1p ○ Op dezelfde manier geldt dat \(\begin{rcases}y=5x+2 \\ y_M=-4\end{rcases}\text{ geeft }5x+2=-4\text{ dus }x_M=-1\frac{1}{5}\) Middelpunt \(M_2(-1\frac{1}{5}, -4)\) en straal \(r=4\text{,}\) dus \(c_2{:}\,(x+1\frac{1}{5})^2+(y+4)^2=16\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels
De vergelijking van een cirkel (2)	opgave 1 Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2+2x+6y+5=0\text{.}\) De punten \(A\) en \(B\) met \(x_A=x_B=0\) en \(y_A>y_B\) liggen op \(c\text{.}\) 2p Bereken de coördinaten van \(A\) en van \(B\text{.}\) PuntenMetGegevenCoordinaat 00br - De vergelijking van een cirkel - basis - 1ms ○ \(x=0\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft \(0^2+y^2+2⋅0+6y+5=0\text{.}\) 1p ○ De vergelijking oplossen geeft \(y^2+6y+5=0\) \((y+5)(y+1)=0\) \(y=-5∨y=-1\) \(y_A>y_B\text{,}\) dus \(A(0, -1)\) en \(B(0, -5)\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de lijn \(l{:}\,3x-y=-2\) en de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-8x+2y-28=0\text{.}\) 4p Bereken exact de coördinaten van \(l\) en \(c\text{.}\) SnijpuntenLijnEnCirkel 00by - De vergelijking van een cirkel - basis - 4ms - data pool: #56 (2ms) ○ Omschrijven van \(l\) geeft \(y=3x+2\text{.}\) Substitutie in \(x^2+y^2-8x+2y-28=0\) geeft \(x^2+(3x+2)^2-8x+2(3x+2)-28=0\text{.}\) 1p ○ Haakjes wegwerken geeft \(x^2+9x^2+12x+4-8x+6x+4-28=0\) \(10x^2+10x-20=0\text{.}\) 1p ○ Oplossen van de vergelijking geeft \(x^2+x-2=0\) \((x+2)(x-1)=0\) Dus \(x=-2∨x=1\text{.}\) 1p ○ Invullen van \(x=-2\) in \(y=3x+2\) geeft \(y=-4\text{,}\) dus snijpunt \((-2, -4)\text{.}\) Invullen van \(x=1\) geeft \(y=5\text{,}\) dus snijpunt \((1, 5)\text{.}\) 1p

"