Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Coëfficiënten in kwadratische formules'.

havo wiskunde B 1.4 Kwadratische verbanden

Coëfficiënten in kwadratische formules (7)

opgave 1

Gegeven is de parabool \(f(x) = a x^{2} + x - 9 \text{.}\)

2p

Voor welke \(a\) gaat \(f\) door het punt \(A (4 , -37) \text{?}\)

GegevenPunt (1)
00nz - Coëfficiënten in kwadratische formules - basis - eind - 1ms

○

\(\begin{rcases}a x^{2} + x - 9 \\ \text{door } A (4 , -37)\end{rcases} \begin{matrix}a ⋅ 4^{2} + 4 - 9 = -37\end{matrix}\)

1p

○

\(16 a - 5 = -37\)
\(16 a = -32\)
\(a = -2 \text{.}\)

1p

opgave 2

Gegeven is de parabool \(f(x) = -x^{2} + b x + 8 \text{.}\)

2p

Voor welke \(b\) gaat \(f\) door het punt \(A (-4 , 4) \text{?}\)

GegevenPunt (2)
00o0 - Coëfficiënten in kwadratische formules - basis - eind - 0ms

○

\(\begin{rcases}-x^{2} + b x + 8 \\ \text{door } A (-4 , 4)\end{rcases} \begin{matrix}-1 ⋅ (-4)^{2} + b ⋅ -4 + 8 = 4\end{matrix}\)

1p

○

\(-4 b - 8 = 4\)
\(-4 b = 12\)
\(b = -3 \text{.}\)

1p

opgave 3

Gegeven is de parabool \(f(x) = -x^{2} - 6 x + c \text{.}\)

2p

Voor welke \(c\) gaat \(f\) door het punt \(A (2 , -25) \text{?}\)

GegevenPunt (3)
00o1 - Coëfficiënten in kwadratische formules - basis - eind - 0ms

○

\(\begin{rcases}-x^{2} - 6 x + c \\ \text{door } A (2 , -25)\end{rcases} \begin{matrix}-1 ⋅ 2^{2} - 6 ⋅ 2 + c = -25\end{matrix}\)

1p

○

\(-16 + c = -25\)
\(c = -9 \text{.}\)

1p

opgave 4

Gegeven is de parabool \(f(x) = \frac{1}{3} x^{2} - 4 x + c \text{.}\)

3p

Bereken de waarde van \(c\) waarvoor geldt dat \(y_{\text{top}} = -11 \text{.}\)

GegevenTop (1)
00o2 - Coëfficiënten in kwadratische formules - basis - eind - 4ms - data pool: #1080 (4ms)

○

\(x_{\text{top}} = {4 \over 2 ⋅ \frac{1}{3}} = 6\)

1p

○

\(y_{\text{top}} = f(6) = \frac{1}{3} ⋅ 6^{2} - 4 ⋅ 6 + c = -11\)

1p

○

\(-12 + c = -11\)
\(c = 1 \text{.}\)

1p

opgave 5

Gegeven is de parabool \(f(x) = \frac{1}{2} x^{2} + b x + 6 \text{.}\)

4p

Bereken de waarde van \(b\) waarvoor geldt dat \(y_{\text{top}} = -2 \text{.}\)

GegevenTop (2)
00o3 - Coëfficiënten in kwadratische formules - basis - eind - 4ms - data pool: #310 (3ms)

○

\(x_{\text{top}} = {-b \over 2 ⋅ \frac{1}{2}} = -b\)

1p

○

\(y_{\text{top}} = f(-b) = \frac{1}{2} ⋅ (-b)^{2} + b ⋅ -b + 6 = -2\)

1p

○

\(-\frac{1}{2} b^{2} + 6 = -2\)
\(b^{2} = 16\)

1p

○

\(b = 4 ∨ b = -4 \text{.}\)

1p

opgave 6

De parabool \(f(x) = a x^{2} - x + c\) gaat door de punten \((-4 , -32)\) en \((2 , -14) \text{.}\)

4p

Bereken algebraïsch \(a\) en \(c \text{.}\)

WiskundigModel (1)
00o4 - Coëfficiënten in kwadratische formules - basis - eind - 2ms

○

\(f(-4) = a ⋅ (-4)^{2} - 1 ⋅ -4 + c = -32\)
\(16 a + 4 + c = -32\)
\(16 a + c = -36\)

1p

○

\(f(2) = a ⋅ 2^{2} - 1 ⋅ 2 + c = -14\)
\(4 a - 2 + c = -14\)
\(4 a + c = -12\)

1p

○

\(\begin{cases}16 a + c = -36 \\ 4 a + c = -12\end{cases}\)
Aftrekken geeft \(12 a = -24 \text{,}\) dus \(a = -2 \text{.}\)

1p

○

Invullen geeft \(c = -36 - 16 ⋅ -2 = -4 \text{.}\)

1p

opgave 7

De parabool \(f(x) = a x^{2} + b x - 2\) gaat door de punten \((-4 , 42)\) en \((-3 , 19) \text{.}\)

5p

Bereken algebraïsch \(a\) en \(b \text{.}\)

WiskundigModel (2)
00o5 - Coëfficiënten in kwadratische formules - basis - eind - 1ms

○

\(f(-4) = a ⋅ (-4)^{2} + b ⋅ -4 - 2 = 42\)
\(16 a - 4 b - 2 = 42\)
\(16 a - 4 b = 44\)

1p

○

\(f(-3) = a ⋅ (-3)^{2} + b ⋅ -3 - 2 = 19\)
\(9 a - 3 b - 2 = 19\)
\(9 a - 3 b = 21\)

1p

○

\(\begin{cases}16 a - 4 b = 44 \\ 9 a - 3 b = 21\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}3 \\ 4\end{vmatrix}\) geeft

1p

○

\(\begin{cases}48 a - 12 b = 132 \\ 36 a - 12 b = 84\end{cases}\)
Aftrekken geeft \(12 a = 48 \text{,}\) dus \(a = 4 \text{.}\)

1p

○

Invullen geeft \(16 ⋅ 4 - 4 b = 44\)
\(-4 b = -20\)
\(b = 5 \text{.}\)

1p
"