Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (3 , -4)\) en \(B (-2 , 0) \text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B \text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(d(A , B) = \sqrt{(3 - -2)^{2} + (-4 - 0)^{2}} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A (-2 , -4)\) en de lijn \(l{:}\,3 x + 2 y = -1 \text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #788 (57ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,2 x - 3 y = c \\ A (-2 , -4)\end{rcases} c = 2 ⋅ -2 - 3 ⋅ -4 = 8\) Dus \(n{:}\,2 x - 3 y = 8 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}3 x + 2 y = -1 \\ 2 x - 3 y = 8\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 3\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}6 x + 4 y = -2 \\ 6 x - 9 y = 24\end{cases}\) Aftrekken geeft \(13 y = -26\) dus \(y = -2 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}3 x + 2 y = -1 \\ y = -2\end{rcases} \begin{matrix}3 x + 2 ⋅ -2 = -1 \\ x = 1\end{matrix}\) Dus \(S (1 , -2) \text{.}\) 1p ○ \(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(-2 - 1)^{2} + (-4 - -2)^{2}} = \sqrt{13} \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x + 4)^{2} + (y + 1)^{2} = 41\) en het punt \(A (-8 , -6) \text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(M (-4 , -1)\) en \(r = \sqrt{41} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(-8 - -4)^{2} + (-6 - -1)^{2}} = \sqrt{41} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = r \text{,}\) dus \(A\) ligt op \(c \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 6 y + 2 = 0\) en het punt \(A (-4 , -1) \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A \text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^{2} + (y - 3)^{2} = 7\) Dus \(M (0 , 3)\) en \(r = \sqrt{7} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(0 - -4)^{2} + (3 - -1)^{2}} = \sqrt{32} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(d(M , A) > r \text{,}\) dus \(d(c , A) = d(M , A) - r = \sqrt{32} - \sqrt{7} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x - 2)^{2} + (y - 5)^{2} = 10\) en de lijn \(l{:}\,4 x + 2 y = 3 \text{.}\) 6p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenLijnEnCirkel 00bo - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms - data pool: #788 (57ms) ○ \(M (2 , 5)\) en \(r = \sqrt{10} \text{.}\) 1p ○ De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,2 x - 4 y = c \\ M (2 , 5)\end{rcases} c = 2 ⋅ 2 - 4 ⋅ 5 = -16\) Dus \(n{:}\,2 x - 4 y = -16 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}4 x + 2 y = 3 \\ 2 x - 4 y = -16\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4 x + 2 y = 3 \\ 4 x - 8 y = -32\end{cases}\) Aftrekken geeft \(10 y = 35\) dus \(y = 3\frac{1}{2} \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}4 x + 2 y = 3 \\ y = 3\frac{1}{2}\end{rcases} \begin{matrix}4 x + 2 ⋅ 3\frac{1}{2} = 3 \\ x = -1\end{matrix}\) Dus \(S (-1 , 3\frac{1}{2}) \text{.}\) 1p ○ \(d(M , l) = d(M , S) = \sqrt{(2 - -1)^{2} + (5 - 3\frac{1}{2})^{2}} = \sqrt{11\frac{1}{4}} \text{.}\) 1p ○ \(d(c , l) = d(M , l) - r = \sqrt{11\frac{1}{4}} - \sqrt{10} \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	10.5 Afstanden bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkels \(c_{1}{:}\,x^{2} + y^{2} - 8 x - 16 y + 69 = 0\) en \(c_{2}{:}\,(x + 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 4 \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c_{1}\) en \(c_{2} \text{.}\) AfstandTussenTweeCirkels 00bu - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x - 4)^{2} + (y - 8)^{2} = 11\) Dus \(M_{1} (4 , 8)\) en \(r_{1} = \sqrt{11} \text{.}\) 1p ○ Het middelpunt van cirkel \(c_{2}\) is \(M_{2} (-3 , 1) \text{,}\) dus \(d(M_{1} , M_{2}) = \sqrt{(4 - -3)^{2} + (8 - 1)^{2}} = \sqrt{98} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(r_{2} = \sqrt{4} \text{,}\) dus \(d(c_{1} , c_{2}) = d(M_{1} , M_{2}) - r_{1} - r_{2} = \sqrt{98} - \sqrt{11} - \sqrt{4} \text{.}\) 1p

"