Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A(1, -4)\) en \(B(2, -2)\text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B\text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(d(A, B)=\sqrt{(1-2)^2+(-4--2)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A(5, -3)\) en de lijn \(l{:}\,2x-4y=2\text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms - data pool: #1576 (120ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-4x-2y=c \\ A(5, -3)\end{rcases}c=-4⋅5-2⋅-3=-14\) Dus \(n{:}\,-4x-2y=-14\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}2x-4y=2 \\ -4x-2y=-14\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4x-8y=4 \\ -4x-2y=-14\end{cases}\) Optellen geeft \(-10y=-10\) dus \(y=1\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}2x-4y=2 \\ y=1\end{rcases}\begin{matrix}2x-4⋅1=2 \\ x=3\end{matrix}\) Dus \(S(3, 1)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(5-3)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{20}\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x-2)^2+(y-1)^2=7\) en het punt \(A(1, -1)\text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(M(2, 1)\) en \(r=\sqrt{7}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(1-2)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{5}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)<r\text{,}\) dus \(A\) ligt binnen \(c\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A(4, -3)\) en de lijn \(l{:}\,-5x+2y=3\text{.}\) 5p Stel een vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(A(4, -3)\) die de lijn \(l{:}\,-5x+2y=3\) raakt. OpstellenCirkelMetRaaklijn 00bw - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #1576 (120ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,2x+5y=c \\ A(4, -3)\end{rcases}c=2⋅4+5⋅-3=-7\) Dus \(n{:}\,2x+5y=-7\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}-5x+2y=3 \\ 2x+5y=-7\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 5\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}-10x+4y=6 \\ 10x+25y=-35\end{cases}\) Optellen geeft \(29y=-29\) dus \(y=-1\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}-5x+2y=3 \\ y=-1\end{rcases}\begin{matrix}-5x+2⋅-1=3 \\ x=-1\end{matrix}\) Dus \(S(-1, -1)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(4--1)^2+(-3--1)^2}=\sqrt{29}\text{.}\) 1p ○ \(A(4, -3)\) en \(r=d(A, l)=\sqrt{29}\text{,}\) dus \(c{:}\,(x-4)^2+(y+3)^2=29\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-10x+2y+12=0\) en het punt \(A(3, -3)\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A\text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x-5)^2+(y+1)^2=14\) Dus \(M(5, -1)\) en \(r=\sqrt{14}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(5-3)^2+(-1--3)^2}=\sqrt{8}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(\sqrt{8}<\sqrt{14}\text{,}\) dus \(d(M, A)<r\) en dus \(d(c, A)=r-d(M, A)=\sqrt{14}-\sqrt{8}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x+4)^2+(y+3)^2=15\) en de lijn \(l{:}\,x+4y=1\text{.}\) 6p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenLijnEnCirkel 00bo - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 121ms - data pool: #1576 (120ms) ○ \(M(-4, -3)\) en \(r=\sqrt{15}\text{.}\) 1p ○ De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,4x-y=c \\ M(-4, -3)\end{rcases}c=4⋅-4-1⋅-3=-13\) Dus \(n{:}\,4x-y=-13\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}x+4y=1 \\ 4x-y=-13\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}4 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4x+16y=4 \\ 4x-y=-13\end{cases}\) Aftrekken geeft \(17y=17\) dus \(y=1\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}x+4y=1 \\ y=1\end{rcases}\begin{matrix}x+4⋅1=1 \\ x=-3\end{matrix}\) Dus \(S(-3, 1)\text{.}\) 1p ○ \(d(M, l)=d(M, S)=\sqrt{(-4--3)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{17}\text{.}\) 1p ○ \(d(c, l)=d(M, l)-r=\sqrt{17}-\sqrt{15}\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	10.5 Afstanden bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkels \(c_1{:}\,x^2+y^2+6x+4y+9=0\) en \(c_2{:}\,(x-3)^2+(y-6)^2=12\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c_1\) en \(c_2\text{.}\) AfstandTussenTweeCirkels 00bu - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x+3)^2+(y+2)^2=4\) Dus \(M_1(-3, -2)\) en \(r_1=\sqrt{4}\text{.}\) 1p ○ Het middelpunt van cirkel \(c_2\) is \(M_2(3, 6)\text{,}\) dus \(d(M_1, M_2)=\sqrt{(-3-3)^2+(-2-6)^2}=\sqrt{100}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(r_2=\sqrt{12}\text{,}\) dus \(d(c_1, c_2)=d(M_1, M_2)-r_1-r_2=\sqrt{100}-\sqrt{4}-\sqrt{12}\text{.}\) 1p

"