Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (-4 , 3)\) en \(B (-9 , 1) \text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B \text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(d(A , B) = \sqrt{(-4 - -9)^{2} + (3 - 1)^{2}} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A (3 , -5)\) en de lijn \(l{:}\,4 x - 2 y = -3 \text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #788 (51ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-2 x - 4 y = c \\ A (3 , -5)\end{rcases} c = -2 ⋅ 3 - 4 ⋅ -5 = 14\) Dus \(n{:}\,-2 x - 4 y = 14 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}4 x - 2 y = -3 \\ -2 x - 4 y = 14\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4 x - 2 y = -3 \\ -4 x - 8 y = 28\end{cases}\) Optellen geeft \(-10 y = 25\) dus \(y = -2\frac{1}{2} \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}4 x - 2 y = -3 \\ y = -2\frac{1}{2}\end{rcases} \begin{matrix}4 x - 2 ⋅ -2\frac{1}{2} = -3 \\ x = -2\end{matrix}\) Dus \(S (-2 , -2\frac{1}{2}) \text{.}\) 1p ○ \(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(3 - -2)^{2} + (-5 - -2\frac{1}{2})^{2}} = \sqrt{31\frac{1}{4}} \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 37\) en het punt \(A (4 , -2) \text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(M (1 , 3)\) en \(r = \sqrt{37} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(4 - 1)^{2} + (-2 - 3)^{2}} = \sqrt{34} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) < r \text{,}\) dus \(A\) ligt binnen \(c \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 10 x - 4 y + 25 = 0\) en het punt \(A (-6 , 1) \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A \text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x + 5)^{2} + (y - 2)^{2} = 4\) Dus \(M (-5 , 2)\) en \(r = \sqrt{4} = 2 \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(-5 - -6)^{2} + (2 - 1)^{2}} = \sqrt{2} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(\sqrt{2} < \sqrt{4} \text{,}\) dus \(d(M , A) < r\) en dus \(d(c , A) = r - d(M , A) = 2 - \sqrt{2} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x - 4)^{2} + (y + 3)^{2} = 2\) en de lijn \(l{:}\,4 x - 2 y = -3 \text{.}\) 6p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenLijnEnCirkel 00bo - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms - data pool: #788 (51ms) ○ \(M (4 , -3)\) en \(r = \sqrt{2} \text{.}\) 1p ○ De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-2 x - 4 y = c \\ M (4 , -3)\end{rcases} c = -2 ⋅ 4 - 4 ⋅ -3 = 4\) Dus \(n{:}\,-2 x - 4 y = 4 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}4 x - 2 y = -3 \\ -2 x - 4 y = 4\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4 x - 2 y = -3 \\ -4 x - 8 y = 8\end{cases}\) Optellen geeft \(-10 y = 5\) dus \(y = -\frac{1}{2} \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}4 x - 2 y = -3 \\ y = -\frac{1}{2}\end{rcases} \begin{matrix}4 x - 2 ⋅ -\frac{1}{2} = -3 \\ x = -1\end{matrix}\) Dus \(S (-1 , -\frac{1}{2}) \text{.}\) 1p ○ \(d(M , l) = d(M , S) = \sqrt{(4 - -1)^{2} + (-3 - -\frac{1}{2})^{2}} = \sqrt{31\frac{1}{4}} \text{.}\) 1p ○ \(d(c , l) = d(M , l) - r = \sqrt{31\frac{1}{4}} - \sqrt{2} \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	10.5 Afstanden bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkels \(c_{1}{:}\,x^{2} + y^{2} + 14 x + 2 y + 37 = 0\) en \(c_{2}{:}\,(x - 1)^{2} + (y - 8)^{2} = 16 \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c_{1}\) en \(c_{2} \text{.}\) AfstandTussenTweeCirkels 00bu - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x + 7)^{2} + (y + 1)^{2} = 13\) Dus \(M_{1} (-7 , -1)\) en \(r_{1} = \sqrt{13} \text{.}\) 1p ○ Het middelpunt van cirkel \(c_{2}\) is \(M_{2} (1 , 8) \text{,}\) dus \(d(M_{1} , M_{2}) = \sqrt{(-7 - 1)^{2} + (-1 - 8)^{2}} = \sqrt{145} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(r_{2} = \sqrt{16} \text{,}\) dus \(d(c_{1} , c_{2}) = d(M_{1} , M_{2}) - r_{1} - r_{2} = \sqrt{145} - \sqrt{13} - \sqrt{16} \text{.}\) 1p

"