Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (4 , -1)\) en \(B (0 , 0) \text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B \text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(d(A , B) = \sqrt{(4 - 0)^{2} + (-1 - 0)^{2}} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A (4 , -5)\) en de lijn \(l{:}\,x + 2 y = -1 \text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #788 (58ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,2 x - y = c \\ A (4 , -5)\end{rcases} c = 2 ⋅ 4 - 1 ⋅ -5 = 13\) Dus \(n{:}\,2 x - y = 13 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}x + 2 y = -1 \\ 2 x - y = 13\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2 x + 4 y = -2 \\ 2 x - y = 13\end{cases}\) Aftrekken geeft \(5 y = -15\) dus \(y = -3 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}x + 2 y = -1 \\ y = -3\end{rcases} \begin{matrix}x + 2 ⋅ -3 = -1 \\ x = 5\end{matrix}\) Dus \(S (5 , -3) \text{.}\) 1p ○ \(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(4 - 5)^{2} + (-5 - -3)^{2}} = \sqrt{5} \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x + 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 25\) en het punt \(A (3 , -2) \text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(M (-2 , -1)\) en \(r = 5 \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(3 - -2)^{2} + (-2 - -1)^{2}} = \sqrt{26} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) > r \text{,}\) dus \(A\) ligt buiten \(c \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 10 x + 19 = 0\) en het punt \(A (3 , -2) \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A \text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x - 5)^{2} + y^{2} = 6\) Dus \(M (5 , 0)\) en \(r = \sqrt{6} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(5 - 3)^{2} + (0 - -2)^{2}} = \sqrt{8} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(d(M , A) > r \text{,}\) dus \(d(c , A) = d(M , A) - r = \sqrt{8} - \sqrt{6} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x + 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 2\) en de lijn \(l{:}\,2 x + 4 y = 2 \text{.}\) 6p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenLijnEnCirkel 00bo - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms - data pool: #788 (58ms) ○ \(M (-2 , 4)\) en \(r = \sqrt{2} \text{.}\) 1p ○ De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,4 x - 2 y = c \\ M (-2 , 4)\end{rcases} c = 4 ⋅ -2 - 2 ⋅ 4 = -16\) Dus \(n{:}\,4 x - 2 y = -16 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}2 x + 4 y = 2 \\ 4 x - 2 y = -16\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4 x + 8 y = 4 \\ 4 x - 2 y = -16\end{cases}\) Aftrekken geeft \(10 y = 20\) dus \(y = 2 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}2 x + 4 y = 2 \\ y = 2\end{rcases} \begin{matrix}2 x + 4 ⋅ 2 = 2 \\ x = -3\end{matrix}\) Dus \(S (-3 , 2) \text{.}\) 1p ○ \(d(M , l) = d(M , S) = \sqrt{(-2 - -3)^{2} + (4 - 2)^{2}} = \sqrt{5} \text{.}\) 1p ○ \(d(c , l) = d(M , l) - r = \sqrt{5}-\sqrt{2} = \sqrt{5}-\sqrt{2} \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	10.5 Afstanden bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkels \(c_{1}{:}\,x^{2} + y^{2} + 6 x - 16 y + 58 = 0\) en \(c_{2}{:}\,(x - 7)^{2} + (y + 1)^{2} = 5 \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c_{1}\) en \(c_{2} \text{.}\) AfstandTussenTweeCirkels 00bu - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x + 3)^{2} + (y - 8)^{2} = 15\) Dus \(M_{1} (-3 , 8)\) en \(r_{1} = \sqrt{15} \text{.}\) 1p ○ Het middelpunt van cirkel \(c_{2}\) is \(M_{2} (7 , -1) \text{,}\) dus \(d(M_{1} , M_{2}) = \sqrt{(-3 - 7)^{2} + (8 - -1)^{2}} = \sqrt{181} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(r_{2} = \sqrt{5} \text{,}\) dus \(d(c_{1} , c_{2}) = d(M_{1} , M_{2}) - r_{1} - r_{2} = \sqrt{181}-\sqrt{15}-\sqrt{5} \text{.}\) 1p

"