Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A(4, 3)\) en \(B(3, 5)\text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B\text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(d(A, B)=\sqrt{(4-3)^2+(3-5)^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A(5, -5)\) en de lijn \(l{:}\,-2x-y=5\text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 191ms - data pool: #1576 (191ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-x+2y=c \\ A(5, -5)\end{rcases}c=-1⋅5+2⋅-5=-15\) Dus \(n{:}\,-x+2y=-15\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}-2x-y=5 \\ -x+2y=-15\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}-2x-y=5 \\ -2x+4y=-30\end{cases}\) Aftrekken geeft \(-5y=35\) dus \(y=-7\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}-2x-y=5 \\ y=-7\end{rcases}\begin{matrix}-2x-1⋅-7=5 \\ x=1\end{matrix}\) Dus \(S(1, -7)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(5-1)^2+(-5--7)^2}=\sqrt{20}\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x+2)^2+(y-4)^2=16\) en het punt \(A(1, 2)\text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(M(-2, 4)\) en \(r=4\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(1--2)^2+(2-4)^2}=\sqrt{13}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)<r\text{,}\) dus \(A\) ligt binnen \(c\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A(-2, -5)\) en de lijn \(l{:}\,x-4y=1\text{.}\) 5p Stel een vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(A(-2, -5)\) die de lijn \(l{:}\,x-4y=1\) raakt. OpstellenCirkelMetRaaklijn 00bw - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 141ms - data pool: #1576 (191ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-4x-y=c \\ A(-2, -5)\end{rcases}c=-4⋅-2-1⋅-5=13\) Dus \(n{:}\,-4x-y=13\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}x-4y=1 \\ -4x-y=13\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}4 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4x-16y=4 \\ -4x-y=13\end{cases}\) Optellen geeft \(-17y=17\) dus \(y=-1\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}x-4y=1 \\ y=-1\end{rcases}\begin{matrix}x-4⋅-1=1 \\ x=-3\end{matrix}\) Dus \(S(-3, -1)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(-2--3)^2+(-5--1)^2}=\sqrt{17}\text{.}\) 1p ○ \(A(-2, -5)\) en \(r=d(A, l)=\sqrt{17}\text{,}\) dus \(c{:}\,(x+2)^2+(y+5)^2=17\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-4y+1=0\) en het punt \(A(1, 3)\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A\text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 3ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \(x^2+(y-2)^2=3\) Dus \(M(0, 2)\) en \(r=\sqrt{3}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(0-1)^2+(2-3)^2}=\sqrt{2}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(\sqrt{2}<\sqrt{3}\text{,}\) dus \(d(M, A)<r\) en dus \(d(c, A)=r-d(M, A)=\sqrt{3}-\sqrt{2}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x+2)^2+(y+3)^2=3\) en de lijn \(l{:}\,-x-4y=-3\text{.}\) 6p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenLijnEnCirkel 00bo - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 191ms - data pool: #1576 (191ms) ○ \(M(-2, -3)\) en \(r=\sqrt{3}\text{.}\) 1p ○ De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-4x+y=c \\ M(-2, -3)\end{rcases}c=-4⋅-2+1⋅-3=5\) Dus \(n{:}\,-4x+y=5\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}-x-4y=-3 \\ -4x+y=5\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}4 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}-4x-16y=-12 \\ -4x+y=5\end{cases}\) Aftrekken geeft \(-17y=-17\) dus \(y=1\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}-x-4y=-3 \\ y=1\end{rcases}\begin{matrix}-x-4⋅1=-3 \\ x=-1\end{matrix}\) Dus \(S(-1, 1)\text{.}\) 1p ○ \(d(M, l)=d(M, S)=\sqrt{(-2--1)^2+(-3-1)^2}=\sqrt{17}\text{.}\) 1p ○ \(d(c, l)=d(M, l)-r=\sqrt{17}-\sqrt{3}\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	10.5 Afstanden bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkels \(c_1{:}\,x^2+y^2+6x-10y+30=0\) en \(c_2{:}\,(x-4)^2+(y+2)^2=15\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c_1\) en \(c_2\text{.}\) AfstandTussenTweeCirkels 00bu - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x+3)^2+(y-5)^2=4\) Dus \(M_1(-3, 5)\) en \(r_1=\sqrt{4}\text{.}\) 1p ○ Het middelpunt van cirkel \(c_2\) is \(M_2(4, -2)\text{,}\) dus \(d(M_1, M_2)=\sqrt{(-3-4)^2+(5--2)^2}=\sqrt{98}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(r_2=\sqrt{15}\text{,}\) dus \(d(c_1, c_2)=d(M_1, M_2)-r_1-r_2=\sqrt{98}-\sqrt{4}-\sqrt{15}\text{.}\) 1p

"