Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A(-3, -1)\) en \(B(-7, -2)\text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B\text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(d(A, B)=\sqrt{(-3--7)^2+(-1--2)^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A(5, 2)\) en de lijn \(l{:}\,3x-y=3\text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #788 (97ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-x-3y=c \\ A(5, 2)\end{rcases}c=-1⋅5-3⋅2=-11\) Dus \(n{:}\,-x-3y=-11\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}3x-y=3 \\ -x-3y=-11\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 3\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}3x-y=3 \\ -3x-9y=-33\end{cases}\) Optellen geeft \(-10y=-30\) dus \(y=3\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}3x-y=3 \\ y=3\end{rcases}\begin{matrix}3x-1⋅3=3 \\ x=2\end{matrix}\) Dus \(S(2, 3)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(5-2)^2+(2-3)^2}=\sqrt{10}\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x+3)^2+(y+1)^2=30\) en het punt \(A(-8, -2)\text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(M(-3, -1)\) en \(r=\sqrt{30}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(-8--3)^2+(-2--1)^2}=\sqrt{26}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)<r\text{,}\) dus \(A\) ligt binnen \(c\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-4x+1=0\) en het punt \(A(3, 1)\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A\text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 4ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x-2)^2+y^2=3\) Dus \(M(2, 0)\) en \(r=\sqrt{3}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(2-3)^2+(0-1)^2}=\sqrt{2}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(\sqrt{2}<\sqrt{3}\text{,}\) dus \(d(M, A)<r\) en dus \(d(c, A)=r-d(M, A)=\sqrt{3}-\sqrt{2}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x-4)^2+(y+2)^2=19\) en de lijn \(l{:}\,x-2y=-2\text{.}\) 6p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenLijnEnCirkel 00bo - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms - data pool: #788 (97ms) ○ \(M(4, -2)\) en \(r=\sqrt{19}\text{.}\) 1p ○ De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,-2x-y=c \\ M(4, -2)\end{rcases}c=-2⋅4-1⋅-2=-6\) Dus \(n{:}\,-2x-y=-6\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}x-2y=-2 \\ -2x-y=-6\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2x-4y=-4 \\ -2x-y=-6\end{cases}\) Optellen geeft \(-5y=-10\) dus \(y=2\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}x-2y=-2 \\ y=2\end{rcases}\begin{matrix}x-2⋅2=-2 \\ x=2\end{matrix}\) Dus \(S(2, 2)\text{.}\) 1p ○ \(d(M, l)=d(M, S)=\sqrt{(4-2)^2+(-2-2)^2}=\sqrt{20}\text{.}\) 1p ○ \(d(c, l)=d(M, l)-r=\sqrt{20}-\sqrt{19}\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	10.5 Afstanden bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkels \(c_1{:}\,x^2+y^2+10x+16y+75=0\) en \(c_2{:}\,(x-1)^2+(y+1)^2=3\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c_1\) en \(c_2\text{.}\) AfstandTussenTweeCirkels 00bu - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 4ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x+5)^2+(y+8)^2=14\) Dus \(M_1(-5, -8)\) en \(r_1=\sqrt{14}\text{.}\) 1p ○ Het middelpunt van cirkel \(c_2\) is \(M_2(1, -1)\text{,}\) dus \(d(M_1, M_2)=\sqrt{(-5-1)^2+(-8--1)^2}=\sqrt{85}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(r_2=\sqrt{3}\text{,}\) dus \(d(c_1, c_2)=d(M_1, M_2)-r_1-r_2=\sqrt{85}-\sqrt{14}-\sqrt{3}\text{.}\) 1p

"