Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A(-1, -2)\) en \(B(2, 3)\text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B\text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(d(A, B)=\sqrt{(-1-2)^2+(-2-3)^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A(4, -3)\) en de lijn \(l{:}\,-x+2y=-5\text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #1576 (127ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,2x+y=c \\ A(4, -3)\end{rcases}c=2⋅4+1⋅-3=5\) Dus \(n{:}\,2x+y=5\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}-x+2y=-5 \\ 2x+y=5\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}-2x+4y=-10 \\ 2x+y=5\end{cases}\) Optellen geeft \(5y=-5\) dus \(y=-1\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}-x+2y=-5 \\ y=-1\end{rcases}\begin{matrix}-x+2⋅-1=-5 \\ x=3\end{matrix}\) Dus \(S(3, -1)\text{.}\) 1p ○ \(d(A, l)=d(A, S)=\sqrt{(4-3)^2+(-3--1)^2}=\sqrt{5}\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x-1)^2+(y+2)^2=13\) en het punt \(A(-1, -5)\text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ \(M(1, -2)\) en \(r=\sqrt{13}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(-1-1)^2+(-5--2)^2}=\sqrt{13}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=r\text{,}\) dus \(A\) ligt op \(c\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^2+y^2-6x-4=0\) en het punt \(A(2, -1)\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A\text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x-3)^2+y^2=13\) Dus \(M(3, 0)\) en \(r=\sqrt{13}\text{.}\) 1p ○ \(d(M, A)=\sqrt{(3-2)^2+(0--1)^2}=\sqrt{2}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(\sqrt{2}<\sqrt{13}\text{,}\) dus \(d(M, A)<r\) en dus \(d(c, A)=r-d(M, A)=\sqrt{13}-\sqrt{2}\text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x-3)^2+(y+5)^2=32\) en de lijn \(l{:}\,-2x+y=4\text{.}\) 6p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(l\text{.}\) AfstandTussenLijnEnCirkel 00bo - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms - data pool: #1576 (127ms) ○ \(M(3, -5)\) en \(r=\sqrt{32}\text{.}\) 1p ○ De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l\text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,x+2y=c \\ M(3, -5)\end{rcases}c=1⋅3+2⋅-5=-7\) Dus \(n{:}\,x+2y=-7\text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S\text{.}\) \(\begin{cases}-2x+y=4 \\ x+2y=-7\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}-2x+y=4 \\ 2x+4y=-14\end{cases}\) Optellen geeft \(5y=-10\) dus \(y=-2\text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}-2x+y=4 \\ y=-2\end{rcases}\begin{matrix}-2x+1⋅-2=4 \\ x=-3\end{matrix}\) Dus \(S(-3, -2)\text{.}\) 1p ○ \(d(M, l)=d(M, S)=\sqrt{(3--3)^2+(-5--2)^2}=\sqrt{45}\text{.}\) 1p ○ \(d(c, l)=d(M, l)-r=\sqrt{45}-\sqrt{32}\text{.}\) 1p
havo wiskunde B	10.5 Afstanden bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkels \(c_1{:}\,x^2+y^2+2x-4y-3=0\) en \(c_2{:}\,(x-6)^2+(y+4)^2=7\text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c_1\) en \(c_2\text{.}\) AfstandTussenTweeCirkels 00bu - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 2ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x+1)^2+(y-2)^2=8\) Dus \(M_1(-1, 2)\) en \(r_1=\sqrt{8}\text{.}\) 1p ○ Het middelpunt van cirkel \(c_2\) is \(M_2(6, -4)\text{,}\) dus \(d(M_1, M_2)=\sqrt{(-1-6)^2+(2--4)^2}=\sqrt{85}\text{.}\) 1p ○ Er geldt \(r_2=\sqrt{7}\text{,}\) dus \(d(c_1, c_2)=d(M_1, M_2)-r_1-r_2=\sqrt{85}-\sqrt{8}-\sqrt{7}\text{.}\) 1p

"