Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde B

'Afstand tussen punten, lijnen en cirkels'.

havo wiskunde B	7.2 Afstanden bij punten en lijnen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de punten \(A (2 , 3)\) en \(B (0 , -2) \text{.}\) 1p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B \text{.}\) AfstandTussenTweePunten 00b2 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(d(A , B) = \sqrt{(2 - 0)^{2} + (3 - -2)^{2}} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn het punt \(A (-3 , -2)\) en de lijn \(l{:}\,2 x + y = -3 \text{.}\) 4p Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenPuntEnLijn 00b3 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms - data pool: #788 (49ms) ○ De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,x - 2 y = c \\ A (-3 , -2)\end{rcases} c = 1 ⋅ -3 - 2 ⋅ -2 = 1\) Dus \(n{:}\,x - 2 y = 1 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}2 x + y = -3 \\ x - 2 y = 1\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2 x + y = -3 \\ 2 x - 4 y = 2\end{cases}\) Aftrekken geeft \(5 y = -5\) dus \(y = -1 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}2 x + y = -3 \\ y = -1\end{rcases} \begin{matrix}2 x + 1 ⋅ -1 = -3 \\ x = -1\end{matrix}\) Dus \(S (-1 , -1) \text{.}\) 1p ○ \(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(-3 - -1)^{2} + (-2 - -1)^{2}} = \sqrt{5} \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.3 Cirkelvergelijkingen
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 27\) en het punt \(A (-3 , -5) \text{.}\) 3p Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt. LiggingPuntTenOpzichteVanCirkel 00bd - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 0ms ○ \(M (1 , -2)\) en \(r = \sqrt{27} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(-3 - 1)^{2} + (-5 - -2)^{2}} = \sqrt{25} = 5 \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) < r \text{,}\) dus \(A\) ligt binnen \(c \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	7.4 Raaklijnen en snijpunten bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (2)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 10 x + 4 y + 26 = 0\) en het punt \(A (-1 , 2) \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A \text{.}\) AfstandTussenPuntEnCirkel 00b4 - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 3ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x + 5)^{2} + (y + 2)^{2} = 3\) Dus \(M (-5 , -2)\) en \(r = \sqrt{3} \text{.}\) 1p ○ \(d(M , A) = \sqrt{(-5 - -1)^{2} + (-2 - 2)^{2}} = \sqrt{32} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(d(M , A) > r \text{,}\) dus \(d(c , A) = d(M , A) - r = \sqrt{32} - \sqrt{3} \text{.}\) 1p opgave 2 Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x + 5)^{2} + (y - 3)^{2} = 5\) en de lijn \(l{:}\,3 x + y = -2 \text{.}\) 6p Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(l \text{.}\) AfstandTussenLijnEnCirkel 00bo - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms - data pool: #788 (49ms) ○ \(M (-5 , 3)\) en \(r = \sqrt{5} \text{.}\) 1p ○ De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\) \(\begin{rcases}n{:}\,x - 3 y = c \\ M (-5 , 3)\end{rcases} c = 1 ⋅ -5 - 3 ⋅ 3 = -14\) Dus \(n{:}\,x - 3 y = -14 \text{.}\) 1p ○ \(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\) \(\begin{cases}3 x + y = -2 \\ x - 3 y = -14\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 3\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}3 x + y = -2 \\ 3 x - 9 y = -42\end{cases}\) Aftrekken geeft \(10 y = 40\) dus \(y = 4 \text{.}\) 1p ○ \(\begin{rcases}3 x + y = -2 \\ y = 4\end{rcases} \begin{matrix}3 x + 1 ⋅ 4 = -2 \\ x = -2\end{matrix}\) Dus \(S (-2 , 4) \text{.}\) 1p ○ \(d(M , l) = d(M , S) = \sqrt{(-5 - -2)^{2} + (3 - 4)^{2}} = \sqrt{10} \text{.}\) 1p ○ \(d(c , l) = d(M , l) - r = \sqrt{10} - \sqrt{5} \text{.}\) 1p
havo wiskunde B	10.5 Afstanden bij cirkels
Afstand tussen punten, lijnen en cirkels (1)	opgave 1 Gegeven zijn de cirkels \(c_{1}{:}\,x^{2} + y^{2} - 12 x - 2 y + 32 = 0\) en \(c_{2}{:}\,(x + 2)^{2} + (y + 9)^{2} = 11 \text{.}\) 3p Bereken exact de afstand tussen \(c_{1}\) en \(c_{2} \text{.}\) AfstandTussenTweeCirkels 00bu - Afstand tussen punten, lijnen en cirkels - basis - 1ms ○ Kwadraatafsplitsen geeft \((x - 6)^{2} + (y - 1)^{2} = 5\) Dus \(M_{1} (6 , 1)\) en \(r_{1} = \sqrt{5} \text{.}\) 1p ○ Het middelpunt van cirkel \(c_{2}\) is \(M_{2} (-2 , -9) \text{,}\) dus \(d(M_{1} , M_{2}) = \sqrt{(6 - -2)^{2} + (1 - -9)^{2}} = \sqrt{164} \text{.}\) 1p ○ Er geldt \(r_{2} = \sqrt{11} \text{,}\) dus \(d(c_{1} , c_{2}) = d(M_{1} , M_{2}) - r_{1} - r_{2} = \sqrt{164} - \sqrt{5} - \sqrt{11} \text{.}\) 1p

"