Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde A

'Rijtjes en roosters'.

havo wiskunde A	4.3 Allerlei telproblemen
Rijtjes en roosters (7)	opgave 1 1p a Sara maakt een letterrijtje van \(3\) letters, maar gebruikt alleen de letters A en B. Hoeveel rijtjes zijn er mogelijk met \(2\) A's? Aantal (1) 00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms a \(\text{aantal}=\binom{3}{2}=3\) 1p 1p b Een slinger bestaat uit rode en blauwe vlaggetjes. Hoeveel verschillende slingers kun je maken \(4\) rode en \(4\) blauwe vlaggetjes? Aantal (2) 00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms b \(\text{aantal}=\binom{4+4}{4}=70\) 1p 1p c Bij een wedstrijd tussen teams A en B werd in totaal \(9\) keer gescoord. Hoeveel mogelijke scoreverlopen zijn er? Totaal 00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms c \(\text{aantal}=2^9=512\) 1p 2p d Beertje Pol eet \(9\) pannenkoeken die met appel of spek zijn belegd. Op hoeveel verschillende volgordes kan hij deze eten als er minstens \(6\) met appel zijn? Somregel 00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms d Minstens \(6\) wil zeggen \(6\text{,}\) \(7\text{,}\) \(8\) of \(9\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{9}{6}+\binom{9}{7}+\binom{9}{8}+\binom{9}{9}=130\) 1p opgave 2 1p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\) Rooster (1) 00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms ○ \(3\) stappen naar rechts en \(6\) stappen omhoog, dus \(\text{aantal}=\binom{9}{3}=84\) 1p opgave 3 2p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\) Rooster (2) 00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{5}{3}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{11}{5}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{5}{3}⋅\binom{11}{5}=4\,620\) 1p opgave 4 3p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\) Rooster (3) 00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{11}{6}⋅\binom{6}{2}\text{.}\) 1p ○ Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{17}{8}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{17}{8}-\binom{11}{6}⋅\binom{6}{2}=17\,380\) 1p

4.3 Allerlei telproblemen

Rijtjes en roosters (7)

opgave 1

Sara maakt een letterrijtje van \(3\) letters, maar gebruikt alleen de letters A en B. Hoeveel rijtjes zijn er mogelijk met \(2\) A's?

Aantal (1)

00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms

\(\text{aantal}=\binom{3}{2}=3\)

Een slinger bestaat uit rode en blauwe vlaggetjes. Hoeveel verschillende slingers kun je maken \(4\) rode en \(4\) blauwe vlaggetjes?

Aantal (2)

00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=\binom{4+4}{4}=70\)

Bij een wedstrijd tussen teams A en B werd in totaal \(9\) keer gescoord. Hoeveel mogelijke scoreverlopen zijn er?

Totaal

00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=2^9=512\)

Beertje Pol eet \(9\) pannenkoeken die met appel of spek zijn belegd. Op hoeveel verschillende volgordes kan hij deze eten als er minstens \(6\) met appel zijn?

Somregel

00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms

Minstens \(6\) wil zeggen \(6\text{,}\) \(7\text{,}\) \(8\) of \(9\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{9}{6}+\binom{9}{7}+\binom{9}{8}+\binom{9}{9}=130\)

opgave 2

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\)

Rooster (1)

00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

○

\(3\) stappen naar rechts en \(6\) stappen omhoog, dus
\(\text{aantal}=\binom{9}{3}=84\)

opgave 3

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\)

Rooster (2)

00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{5}{3}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{11}{5}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{5}{3}⋅\binom{11}{5}=4\,620\)

opgave 4

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\)

Rooster (3)

00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{11}{6}⋅\binom{6}{2}\text{.}\)

○

Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{17}{8}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{17}{8}-\binom{11}{6}⋅\binom{6}{2}=17\,380\)