Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde A

'Rijtjes en roosters'.

havo wiskunde A	4.3 Allerlei telproblemen
Rijtjes en roosters (7)	opgave 1 1p a Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van \(7\) signalen zijn er mogelijk met \(5\) korte signalen? Aantal (1) 00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms a \(\text{aantal}=\binom{7}{5}=21\) 1p 1p b Sara maakt een letterrijtje van A's en B's. Hoeveel rijtjes zijn er mogelijk met \(4\) A's en \(3\) B's? Aantal (2) 00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms b \(\text{aantal}=\binom{4+3}{4}=35\) 1p 1p c Op een aanrecht staat een stapel van \(9\) borden in de kleuren roze en groen. Hoeveel verschillende stapels zijn er mogelijk? Totaal 00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms c \(\text{aantal}=2^9=512\) 1p 2p d Een slinger bestaat uit \(8\) vlaggetjes die elk rood of blauw zijn. Hoeveel verschillende slingers kun je maken met minstens \(6\) rode vlaggetjes? Somregel 00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 1ms d Minstens \(6\) wil zeggen \(6\text{,}\) \(7\) of \(8\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{8}{6}+\binom{8}{7}+\binom{8}{8}=37\) 1p opgave 2 1p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\) Rooster (1) 00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms ○ \(6\) stappen naar rechts en \(4\) stappen omhoog, dus \(\text{aantal}=\binom{10}{6}=210\) 1p opgave 3 2p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\) Rooster (2) 00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{12}{5}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{8}{6}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{12}{5}⋅\binom{8}{6}=22\,176\) 1p opgave 4 3p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\) Rooster (3) 00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{5}{2}⋅\binom{11}{7}\text{.}\) 1p ○ Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{16}{9}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{16}{9}-\binom{5}{2}⋅\binom{11}{7}=8\,140\) 1p

4.3 Allerlei telproblemen

Rijtjes en roosters (7)

opgave 1

Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van \(7\) signalen zijn er mogelijk met \(5\) korte signalen?

Aantal (1)

00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms

\(\text{aantal}=\binom{7}{5}=21\)

Sara maakt een letterrijtje van A's en B's. Hoeveel rijtjes zijn er mogelijk met \(4\) A's en \(3\) B's?

Aantal (2)

00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=\binom{4+3}{4}=35\)

Op een aanrecht staat een stapel van \(9\) borden in de kleuren roze en groen. Hoeveel verschillende stapels zijn er mogelijk?

Totaal

00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=2^9=512\)

Een slinger bestaat uit \(8\) vlaggetjes die elk rood of blauw zijn. Hoeveel verschillende slingers kun je maken met minstens \(6\) rode vlaggetjes?

Somregel

00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 1ms

Minstens \(6\) wil zeggen \(6\text{,}\) \(7\) of \(8\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{8}{6}+\binom{8}{7}+\binom{8}{8}=37\)

opgave 2

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\)

Rooster (1)

00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

○

\(6\) stappen naar rechts en \(4\) stappen omhoog, dus
\(\text{aantal}=\binom{10}{6}=210\)

opgave 3

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\)

Rooster (2)

00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{12}{5}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{8}{6}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{12}{5}⋅\binom{8}{6}=22\,176\)

opgave 4

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\)

Rooster (3)

00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{5}{2}⋅\binom{11}{7}\text{.}\)

○

Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{16}{9}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{16}{9}-\binom{5}{2}⋅\binom{11}{7}=8\,140\)