Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde A

'Rijtjes en roosters'.

havo wiskunde A	4.3 Allerlei telproblemen
Rijtjes en roosters (7)	opgave 1 1p a Een slinger bestaat uit \(7\) vlaggetjes die elk rood of blauw zijn. Hoeveel verschillende slingers kun je maken \(3\) rode vlaggetjes? Aantal (1) 00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 2ms a \(\text{aantal}=\binom{7}{3}=35\) 1p 1p b Willem gooit met een muntstuk. Hoeveel mogelijkheden zijn er om \(4\) keer kop en \(3\) keer munt te gooien? Aantal (2) 00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms b \(\text{aantal}=\binom{4+3}{4}=35\) 1p 1p c Beertje Pol eet \(4\) pannenkoeken, sommigen met met appel en de rest met spek. Op hoeveel verschillende volgordes kan hij deze eten? Totaal 00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms c \(\text{aantal}=2^4=16\) 1p 2p d Op een aanrecht staat een stapel van \(5\) borden in de kleuren roze en groen. Hoeveel verschillende stapels zijn er mogelijk met hoogstens \(3\) groene borden? Somregel 00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms d Hoogstens \(3\) wil zeggen \(0\text{,}\) \(1\text{,}\) \(2\) of \(3\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{5}{0}+\binom{5}{1}+\binom{5}{2}+\binom{5}{3}=26\) 1p opgave 2 1p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\) Rooster (1) 00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms ○ \(6\) stappen naar rechts en \(3\) stappen omhoog, dus \(\text{aantal}=\binom{9}{6}=84\) 1p opgave 3 2p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\) Rooster (2) 00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 1ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{7}{2}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{11}{7}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{7}{2}⋅\binom{11}{7}=6\,930\) 1p opgave 4 3p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\) Rooster (3) 00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 1ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{9}{3}⋅\binom{9}{5}\text{.}\) 1p ○ Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{18}{8}\text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal}=\binom{18}{8}-\binom{9}{3}⋅\binom{9}{5}=33\,174\) 1p

4.3 Allerlei telproblemen

Rijtjes en roosters (7)

opgave 1

Een slinger bestaat uit \(7\) vlaggetjes die elk rood of blauw zijn. Hoeveel verschillende slingers kun je maken \(3\) rode vlaggetjes?

Aantal (1)

00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 2ms

\(\text{aantal}=\binom{7}{3}=35\)

Willem gooit met een muntstuk. Hoeveel mogelijkheden zijn er om \(4\) keer kop en \(3\) keer munt te gooien?

Aantal (2)

00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=\binom{4+3}{4}=35\)

Beertje Pol eet \(4\) pannenkoeken, sommigen met met appel en de rest met spek. Op hoeveel verschillende volgordes kan hij deze eten?

Totaal

00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal}=2^4=16\)

Op een aanrecht staat een stapel van \(5\) borden in de kleuren roze en groen. Hoeveel verschillende stapels zijn er mogelijk met hoogstens \(3\) groene borden?

Somregel

00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms

Hoogstens \(3\) wil zeggen \(0\text{,}\) \(1\text{,}\) \(2\) of \(3\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{5}{0}+\binom{5}{1}+\binom{5}{2}+\binom{5}{3}=26\)

opgave 2

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\text{?}\)

Rooster (1)

00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

○

\(6\) stappen naar rechts en \(3\) stappen omhoog, dus
\(\text{aantal}=\binom{9}{6}=84\)

opgave 3

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P\text{?}\)

Rooster (2)

00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 1ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{7}{2}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{11}{7}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{7}{2}⋅\binom{11}{7}=6\,930\)

opgave 4

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P\text{?}\)

Rooster (3)

00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 1ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{9}{3}⋅\binom{9}{5}\text{.}\)

○

Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{18}{8}\text{.}\)

○

\(\text{aantal}=\binom{18}{8}-\binom{9}{3}⋅\binom{9}{5}=33\,174\)