Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde A

'Rijtjes en roosters'.

havo wiskunde A	4.3 Allerlei telproblemen
Rijtjes en roosters (7)	opgave 1 1p a Op een aanrecht staat een stapel van roze en groene borden. Hoeveel verschillende stapels zijn er met in totaal \(7\) borden waarvan \(4\) roze? Aantal (1) 00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms a \(\text{aantal} = \binom{7}{4} = 35\) 1p 1p b Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van zijn er mogelijk met \(3\) korte en \(3\) lange signalen? Aantal (2) 00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms b \(\text{aantal} = \binom{3 + 3}{3} = 20\) 1p 1p c Een slinger bestaat uit \(7\) vlaggetjes die elk rood of blauw zijn. Hoeveel verschillende slingers zijn er mogelijk? Totaal 00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms c \(\text{aantal} = 2^{7} = 128\) 1p 2p d Bij een wedstrijd tussen teams A en B werd in totaal \(9\) keer gescoord. Hoeveel mogelijke scoreverlopen zijn er als team B hoogstens \(3\) keer scoorde? Somregel 00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms d Hoogstens \(3\) wil zeggen \(0 \text{,}\) \(1 \text{,}\) \(2\) of \(3 \text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal} = \binom{9}{0} + \binom{9}{1} + \binom{9}{2} + \binom{9}{3} = 130\) 1p opgave 2 1p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B \text{?}\) Rooster (1) 00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms ○ \(7\) stappen naar rechts en \(6\) stappen omhoog, dus \(\text{aantal} = \binom{13}{7} = 1\,716\) 1p opgave 3 2p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P \text{?}\) Rooster (2) 00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{13}{7}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{8}{5} \text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal} = \binom{13}{7} ⋅ \binom{8}{5} = 96\,096\) 1p opgave 4 3p Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P \text{?}\) Rooster (3) 00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms ○ Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{9}{4} ⋅ \binom{9}{6} \text{.}\) 1p ○ Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{18}{10} \text{.}\) 1p ○ \(\text{aantal} = \binom{18}{10} - \binom{9}{4} ⋅ \binom{9}{6} = 33\,174\) 1p

4.3 Allerlei telproblemen

Rijtjes en roosters (7)

opgave 1

Op een aanrecht staat een stapel van roze en groene borden. Hoeveel verschillende stapels zijn er met in totaal \(7\) borden waarvan \(4\) roze?

Aantal (1)

00gg - Rijtjes en roosters - basis - basis - 1ms

\(\text{aantal} = \binom{7}{4} = 35\)

Een morsecode bestaat uit een reeks korte en lange signalen. Hoeveel verschillende codes van zijn er mogelijk met \(3\) korte en \(3\) lange signalen?

Aantal (2)

00gh - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal} = \binom{3 + 3}{3} = 20\)

Een slinger bestaat uit \(7\) vlaggetjes die elk rood of blauw zijn. Hoeveel verschillende slingers zijn er mogelijk?

Totaal

00gi - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

\(\text{aantal} = 2^{7} = 128\)

Bij een wedstrijd tussen teams A en B werd in totaal \(9\) keer gescoord. Hoeveel mogelijke scoreverlopen zijn er als team B hoogstens \(3\) keer scoorde?

Somregel

00gj - Rijtjes en roosters - gevorderd - eind - 0ms

Hoogstens \(3\) wil zeggen \(0 \text{,}\) \(1 \text{,}\) \(2\) of \(3 \text{.}\)

○

\(\text{aantal} = \binom{9}{0} + \binom{9}{1} + \binom{9}{2} + \binom{9}{3} = 130\)

opgave 2

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B \text{?}\)

Rooster (1)

00gk - Rijtjes en roosters - basis - basis - 0ms

○

\(7\) stappen naar rechts en \(6\) stappen omhoog, dus
\(\text{aantal} = \binom{13}{7} = 1\,716\)

opgave 3

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) via \(P \text{?}\)

Rooster (2)

00gl - Rijtjes en roosters - gevorderd - midden - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(P\) is \(\binom{13}{7}\) en het aantal kortste routes van \(P\) naar \(B\) is \(\binom{8}{5} \text{.}\)

○

\(\text{aantal} = \binom{13}{7} ⋅ \binom{8}{5} = 96\,096\)

opgave 4

Hoeveel kortste routes gaan er van \(A\) naar \(B\) niet via \(P \text{?}\)

Rooster (3)

00gm - Rijtjes en roosters - pro - eind - 0ms

○

Het aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) via \(P\) is \(\binom{9}{4} ⋅ \binom{9}{6} \text{.}\)

○

Het totale aantal kortste routes van \(A\) naar \(B\) is \(\binom{18}{10} \text{.}\)

○

\(\text{aantal} = \binom{18}{10} - \binom{9}{4} ⋅ \binom{9}{6} = 33\,174\)