Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde A
'Formule bij exponentiële groei opstellen'.
| 3 havo | 8.2 Procenten en groeifactoren | |||||||||||||||||||||
opgave 13p Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af met \(1{,}2\%\) per dag. Op \(x = 0\) is \(y = 348 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in dagen. GegevenGroeifactorEnBeginwaarde 0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 2ms - dynamic variables ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{dag}} = 1 - {1{,}2 \over 100} = 0{,}988 \text{.}\) 1p ○ De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 348 \text{.}\) 1p ○ \(y = 348 ⋅ 0{,}988^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.1 Lineaire en exponentiële groei | |||||||||||||||||||||
opgave 1Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,021 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (1) 00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({16{,}09 \over 13{,}52} ≈ 1{,}19\) 1p ○ \({19{,}15 \over 16{,}09} ≈ 1{,}19\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}19\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 13{,}52 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = 13{,}52 ⋅ 1{,}19^{x} \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (1) 00k3 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({23{,}41 \over 25{,}73} ≈ 0{,}91\) 1p ○ \({21{,}31 \over 23{,}41} ≈ 0{,}91\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}91\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 25{,}73 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = 25{,}73 ⋅ 0{,}91^{x} \text{.}\) 1p opgave 3Gegeven zijn de punten \((1 , 11)\) en \((2 , 4) \text{.}\) 3p a Schrijf \(y\) als lineaire formule van \(x\) door de gegeven punten. 3p b Schrijf \(y\) als exponentiële formule van \(x\) door de gegeven punten. LineairEnExponentieel 00pc - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 27ms - data pool: #87 (27ms) - dynamic variables a \(y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {4 - 11 \over 2 - 1} = -7\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = -7 x + b \\ \text{door } (1 , 11)\end{rcases} \begin{matrix}-7 ⋅ 1 + b = 11 \\ -7 + b = 11 \\ b = 18\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(l{:}\,y = -7 x + 18\) 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({4 \over 11})^{{1 \over 2 - 1}} = 0{,}363...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}363...^{x} \\ \text{door } (1 , 11)\end{rcases} \begin{matrix}11 = b ⋅ 0{,}363...^{1} \\ b = {11 \over 0{,}363...^{1}} \\ b = 30{,}25\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 30{,}25 ⋅ 0{,}364^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.3 Formules bij exponentiële groei | |||||||||||||||||||||
opgave 13p a Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 3\) is \(y = 377\) en bij \(x = 7\) is \(y = 436 \text{.}\) GegevenTweePuntenStijgend 0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables a \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({436 \over 377})^{{1 \over 7 - 3}} = 1{,}037...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}037...^{x} \\ x = 3 \text{ en } y = 377\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}037...^{3} = 377 \\ b = {377 \over 1{,}037...^{3}} ≈ 338\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 338 ⋅ 1{,}037^{x} \text{.}\) 1p 3p b Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 5\) is \(y = 364\) en bij \(x = 8\) is \(y = 325 \text{.}\) GegevenTweePuntenDalend 0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({325 \over 364})^{{1 \over 8 - 5}} = 0{,}962...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}962...^{x} \\ x = 5 \text{ en } y = 364\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}962...^{5} = 364 \\ b = {364 \over 0{,}962...^{5}} ≈ 440\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 440 ⋅ 0{,}963^{x} \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (2) 00k2 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(g = ({34{,}16 \over 41{,}12})^{{1 \over 4 - 1}} ≈ 0{,}94\) 1p ○ \(g = ({25{,}07 \over 34{,}16})^{{1 \over 9 - 4}} ≈ 0{,}94\) 1p ○ De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}94\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}94^{x} \\ x = 1 \text{ en } y = 41{,}12\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}94^{1} = 41{,}12 \\ b = {41{,}12 \over 0{,}94^{1}} \\ b ≈ 43{,}74\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 43{,}74 ⋅ 0{,}94^{x} \text{.}\) 1p opgave 3Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,008 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (2) 00k4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(g = ({37{,}42 \over 26{,}51})^{{1 \over 2\,017 - 2\,013}} ≈ 1{,}09\) 1p ○ \(g = ({62{,}76 \over 37{,}42})^{{1 \over 2\,023 - 2\,017}} ≈ 1{,}09\) 1p ○ De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}09\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}09^{x} \\ x = 5 \text{ en } y = 26{,}51\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}09^{5} = 26{,}51 \\ b = {26{,}51 \over 1{,}09^{5}} \\ b ≈ 17{,}23\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 17{,}23 ⋅ 1{,}09^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.4 Logaritmisch papier en redeneren met groeiformules | |||||||||||||||||||||
opgave 14p Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen. Exponentieel 00ke - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms - dynamic variables ○ Rasterpunten \((1 , 30)\) en \((7 , 50\,000)\) aflezen. 1p ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({50\,000 \over 30})^{{1 \over 7 - 1}} = 3{,}443...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 3{,}443...^{x} \\ x = 1 \text{ en } y = 30{,}00\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 3{,}443...^{1} = 30{,}00 \\ b = {30{,}00 \over 3{,}443...^{1}} \\ b = 8{,}712...\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 9 ⋅ 3{,}443^{x} \text{.}\) 1p opgave 23p Geef de coördinaten van de punten \(A \text{,}\) \(B\) en \(C \text{.}\) LogaritmischAflezen 00ki - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms ○ Punt \(\text{A} (2 , 300) \text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{B} (5 , 600\,000) \text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{C} (9 , 80\,000) \text{.}\) 1p opgave 33p Teken de punten \(A (1 , 50\,000) \text{,}\) \(B (5 , 900)\) en \(C (7 , 1\,000) \text{.}\) LogaritmischTekenen 00kj - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms ○ 3p |