Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde A
'Formule bij exponentiële groei opstellen'.
| 3 havo | 8.2 Procenten en groeifactoren | |||||||||||||||||||||
opgave 13p Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe met \(3{,}1\%\) per uur. Op \(x=0\) is \(y=563\text{.}\) Hierbij is \(x\) in uur. GegevenGroeifactorEnBeginwaarde 0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables ○ \(y=b⋅g^x\) met \(g_{\text{uur}}=1+{3{,}1 \over 100}=1{,}031\text{.}\) 1p ○ De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=563\text{.}\) 1p ○ \(y=563⋅1{,}031^x\text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.1 Lineaire en exponentiële groei | |||||||||||||||||||||
opgave 1Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y\text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (1) 00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({16{,}59 \over 13{,}17}≈1{,}26\) 1p ○ \({20{,}91 \over 16{,}59}≈1{,}26\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y=b⋅g^x\) met \(g=1{,}26\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=13{,}17\text{.}\) 1p ○ Dus \(y=13{,}17⋅1{,}26^x\text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y\text{.}\) Neem \(x=0\) in \(2\,023\text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (1) 00k3 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(21{,}22-22{,}99=-1{,}77\) 1p ○ \(19{,}45-21{,}22=-1{,}77\) 1p ○ Het verschil is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband. 1p b \(y=ax+b\) met \(a=-1{,}77\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=22{,}99\text{.}\) 1p ○ Dus \(y=-1{,}77x+22{,}99\) 1p opgave 3Gegeven zijn de punten \((6, 3)\) en \((8, 2)\text{.}\) 3p a Schrijf \(y\) als lineaire formule van \(x\) door de gegeven punten. 3p b Schrijf \(y\) als exponentiële formule van \(x\) door de gegeven punten. LineairEnExponentieel 00pc - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 29ms - data pool: #87 (29ms) - dynamic variables a \(y=ax+b\) met \(a={\Delta y \over \Delta x}={2-3 \over 8-6}=-0{,}5\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=-0{,}5x+b \\ \text{door }(6, 3)\end{rcases}\begin{matrix}-0{,}5⋅6+b=3 \\ -3+b=3 \\ b=6\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(l{:}\,y=-0{,}5x+6\) 1p b \(y=b⋅g^x\) met \(g=({2 \over 3})^{{1 \over 8-6}}=0{,}816...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=b⋅0{,}816...^x \\ \text{door }(6, 3)\end{rcases}\begin{matrix}3=b⋅0{,}816...^6 \\ b={3 \over 0{,}816...^6} \\ b=10{,}125\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y=10{,}125⋅0{,}816^x\text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.3 Formules bij exponentiële groei | |||||||||||||||||||||
opgave 13p a Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x=5\) is \(y=702\) en bij \(x=8\) is \(y=801\text{.}\) GegevenTweePuntenStijgend 0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables a \(y=b⋅g^x\) met \(g=({801 \over 702})^{{1 \over 8-5}}=1{,}044...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=b⋅1{,}044...^x \\ x=5\text{ en }y=702\end{rcases}\begin{matrix}b⋅1{,}044...^5=702 \\ b={702 \over 1{,}044...^5}≈563\end{matrix}\) 1p ○ \(y=563⋅1{,}045^x\text{.}\) 1p 3p b Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x=2\) is \(y=393\) en bij \(x=7\) is \(y=333\text{.}\) GegevenTweePuntenDalend 0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms - dynamic variables b \(y=b⋅g^x\) met \(g=({333 \over 393})^{{1 \over 7-2}}=0{,}967...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=b⋅0{,}967...^x \\ x=2\text{ en }y=393\end{rcases}\begin{matrix}b⋅0{,}967...^2=393 \\ b={393 \over 0{,}967...^2}≈420\end{matrix}\) 1p ○ \(y=420⋅0{,}967^x\text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y\text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (2) 00k2 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(g=({21{,}70 \over 31{,}84})^{{1 \over 9-6}}≈0{,}88\) 1p ○ \(g=({13{,}01 \over 21{,}70})^{{1 \over 13-9}}≈0{,}88\) 1p ○ De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y=b⋅g^x\) met \(g=0{,}88\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=b⋅0{,}88^x \\ x=6\text{ en }y=31{,}84\end{rcases}\begin{matrix}b⋅0{,}88^6=31{,}84 \\ b={31{,}84 \over 0{,}88^6} \\ b≈68{,}56\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y=68{,}56⋅0{,}88^x\text{.}\) 1p opgave 3Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y\text{.}\) Neem \(x=0\) in \(2\,008\text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (2) 00k4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(g=({42{,}52 \over 53{,}68})^{{1 \over 2\,016-2\,014}}≈0{,}89\) 1p ○ \(g=({26{,}68 \over 42{,}52})^{{1 \over 2\,020-2\,016}}≈0{,}89\) 1p ○ De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y=b⋅g^x\) met \(g=0{,}89\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=b⋅0{,}89^x \\ x=6\text{ en }y=53{,}68\end{rcases}\begin{matrix}b⋅0{,}89^6=53{,}68 \\ b={53{,}68 \over 0{,}89^6} \\ b≈108{,}01\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y=108{,}01⋅0{,}89^x\text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.4 Logaritmisch papier en redeneren met groeiformules | |||||||||||||||||||||
opgave 14p Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y=b⋅g^x\text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen. Exponentieel 00ke - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables ○ Rasterpunten \((1, 1\,000)\) en \((7, 200)\) aflezen. 1p ○ \(y=b⋅g^x\) met \(g=({200 \over 1\,000})^{{1 \over 7-1}}=0{,}764...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=b⋅0{,}764...^x \\ x=1\text{ en }y=1\,000{,}00\end{rcases}\begin{matrix}b⋅0{,}764...^1=1\,000{,}00 \\ b={1\,000{,}00 \over 0{,}764...^1} \\ b=1307{,}660...\end{matrix}\) 1p ○ \(y=1\,308⋅0{,}765^x\text{.}\) 1p opgave 23p Geef de coördinaten van de punten \(A\text{,}\) \(B\) en \(C\text{.}\) LogaritmischAflezen 00ki - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms ○ Punt \(\text{A}(1, 800)\text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{B}(6, 9\,000)\text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{C}(8, 10\,000)\text{.}\) 1p opgave 33p Teken de punten \(A(1, 600\,000)\text{,}\) \(B(5, 1\,000)\) en \(C(8, 50\,000)\text{.}\) LogaritmischTekenen 00kj - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms ○ 3p |