Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde A
'Formule bij exponentiële groei opstellen'.
| 3 havo | 8.2 Procenten en groeifactoren | |||||||||||||||||||||
opgave 13p Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af met \(1{,}8\%\) per dag. Op \(x = 0\) is \(y = 210 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in dagen. GegevenGroeifactorEnBeginwaarde 0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{dag}} = 1 - {1{,}8 \over 100} = 0{,}982 \text{.}\) 1p ○ De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 210 \text{.}\) 1p ○ \(y = 210 ⋅ 0{,}982^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.1 Lineaire en exponentiële groei | |||||||||||||||||||||
opgave 1Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (1) 00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({18{,}15 \over 15{,}25} ≈ 1{,}19\) 1p ○ \({21{,}60 \over 18{,}15} ≈ 1{,}19\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}19\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 15{,}25 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = 15{,}25 ⋅ 1{,}19^{x} \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,023 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (1) 00k3 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({26{,}97 \over 34{,}58} ≈ 0{,}78\) 1p ○ \({21{,}04 \over 26{,}97} ≈ 0{,}78\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}78\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 34{,}58 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = 34{,}58 ⋅ 0{,}78^{x} \text{.}\) 1p opgave 3Gegeven zijn de punten \((6 , 9)\) en \((8 , 6) \text{.}\) 3p a Schrijf \(y\) als lineaire formule van \(x\) door de gegeven punten. 3p b Schrijf \(y\) als exponentiële formule van \(x\) door de gegeven punten. LineairEnExponentieel 00pc - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 29ms - data pool: #87 (29ms) - dynamic variables a \(y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {6 - 9 \over 8 - 6} = -1{,}5\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = -1{,}5 x + b \\ \text{door } (6 , 9)\end{rcases} \begin{matrix}-1{,}5 ⋅ 6 + b = 9 \\ -9 + b = 9 \\ b = 18\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(l{:}\,y = -1{,}5 x + 18\) 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({6 \over 9})^{{1 \over 8 - 6}} = 0{,}816...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}816...^{x} \\ \text{door } (6 , 9)\end{rcases} \begin{matrix}9 = b ⋅ 0{,}816...^{6} \\ b = {9 \over 0{,}816...^{6}} \\ b = 30{,}375\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 30{,}375 ⋅ 0{,}816^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.3 Formules bij exponentiële groei | |||||||||||||||||||||
opgave 13p a Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 2\) is \(y = 378\) en bij \(x = 7\) is \(y = 466 \text{.}\) GegevenTweePuntenStijgend 0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables a \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({466 \over 378})^{{1 \over 7 - 2}} = 1{,}042...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}042...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 378\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}042...^{2} = 378 \\ b = {378 \over 1{,}042...^{2}} ≈ 348\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 348 ⋅ 1{,}043^{x} \text{.}\) 1p 3p b Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 5\) is \(y = 208\) en bij \(x = 8\) is \(y = 183 \text{.}\) GegevenTweePuntenDalend 0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({183 \over 208})^{{1 \over 8 - 5}} = 0{,}958...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}958...^{x} \\ x = 5 \text{ en } y = 208\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}958...^{5} = 208 \\ b = {208 \over 0{,}958...^{5}} ≈ 257\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 257 ⋅ 0{,}958^{x} \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (2) 00k2 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(g = ({20{,}54 \over 20{,}75})^{{1 \over 7 - 6}} ≈ 0{,}99\) 1p ○ \(g = ({19{,}93 \over 20{,}54})^{{1 \over 10 - 7}} ≈ 0{,}99\) 1p ○ De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}99\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}99^{x} \\ x = 6 \text{ en } y = 20{,}75\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}99^{6} = 20{,}75 \\ b = {20{,}75 \over 0{,}99^{6}} \\ b ≈ 22{,}04\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 22{,}04 ⋅ 0{,}99^{x} \text{.}\) 1p opgave 3Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,010 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (2) 00k4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(g = ({24{,}64 \over 17{,}57})^{{1 \over 2\,018 - 2\,013}} ≈ 1{,}07\) 1p ○ \(g = ({26{,}36 \over 24{,}64})^{{1 \over 2\,019 - 2\,018}} ≈ 1{,}07\) 1p ○ De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}07\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}07^{x} \\ x = 3 \text{ en } y = 17{,}57\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}07^{3} = 17{,}57 \\ b = {17{,}57 \over 1{,}07^{3}} \\ b ≈ 14{,}34\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 14{,}34 ⋅ 1{,}07^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.4 Logaritmisch papier en redeneren met groeiformules | |||||||||||||||||||||
opgave 14p Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen. Exponentieel 00ke - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables ○ Rasterpunten \((1 , 5\,000)\) en \((8 , 300)\) aflezen. 1p ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({300 \over 5\,000})^{{1 \over 8 - 1}} = 0{,}669...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}669...^{x} \\ x = 1 \text{ en } y = 5\,000{,}00\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}669...^{1} = 5\,000{,}00 \\ b = {5\,000{,}00 \over 0{,}669...^{1}} \\ b = 7473{,}427...\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 7\,473 ⋅ 0{,}669^{x} \text{.}\) 1p opgave 23p Geef de coördinaten van de punten \(A \text{,}\) \(B\) en \(C \text{.}\) LogaritmischAflezen 00ki - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms ○ Punt \(\text{A} (1 , 500) \text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{B} (4 , 6\,000) \text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{C} (8 , 70\,000) \text{.}\) 1p opgave 33p Teken de punten \(A (2 , 9) \text{,}\) \(B (6 , 200)\) en \(C (9 , 6\,000) \text{.}\) LogaritmischTekenen 00kj - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms ○ 3p |