Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde A
'Formule bij exponentiële groei opstellen'.
| 3 havo | 8.2 Procenten en groeifactoren | |||||||||||||||||||||
opgave 13p Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af met \(2{,}2\%\) per kwartier. Op \(x = 0\) is \(y = 227 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in kwartier. GegevenGroeifactorEnBeginwaarde 0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{kwartier}} = 1 - {2{,}2 \over 100} = 0{,}978 \text{.}\) 1p ○ De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 227 \text{.}\) 1p ○ \(y = 227 ⋅ 0{,}978^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.1 Lineaire en exponentiële groei | |||||||||||||||||||||
opgave 1Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (1) 00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({16{,}81 \over 14{,}01} ≈ 1{,}20\) 1p ○ \({20{,}17 \over 16{,}81} ≈ 1{,}20\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}2\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 14{,}01 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = 14{,}01 ⋅ 1{,}20^{x} \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,021 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (1) 00k3 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(21{,}46 - 23{,}37 = -1{,}91\) 1p ○ \(19{,}55 - 21{,}46 = -1{,}91\) 1p ○ Het verschil is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband. 1p b \(y = a x + b\) met \(a = -1{,}91\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 23{,}37 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = -1{,}91 x + 23{,}37\) 1p opgave 3Gegeven zijn de punten \((1 , 3)\) en \((2 , 8) \text{.}\) 3p a Schrijf \(y\) als lineaire formule van \(x\) door de gegeven punten. 3p b Schrijf \(y\) als exponentiële formule van \(x\) door de gegeven punten. LineairEnExponentieel 00pc - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 23ms - data pool: #87 (22ms) - dynamic variables a \(y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {8 - 3 \over 2 - 1} = 5\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = 5 x + b \\ \text{door } (1 , 3)\end{rcases} \begin{matrix}5 ⋅ 1 + b = 3 \\ 5 + b = 3 \\ b = -2\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(l{:}\,y = 5 x - 2\) 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({8 \over 3})^{{1 \over 2 - 1}} = 2{,}666...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 2{,}666...^{x} \\ \text{door } (1 , 3)\end{rcases} \begin{matrix}3 = b ⋅ 2{,}666...^{1} \\ b = {3 \over 2{,}666...^{1}} \\ b = 1{,}125\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 1{,}125 ⋅ 2{,}667^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.3 Formules bij exponentiële groei | |||||||||||||||||||||
opgave 13p a Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 3\) is \(y = 469\) en bij \(x = 7\) is \(y = 539 \text{.}\) GegevenTweePuntenStijgend 0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables a \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({539 \over 469})^{{1 \over 7 - 3}} = 1{,}035...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}035...^{x} \\ x = 3 \text{ en } y = 469\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}035...^{3} = 469 \\ b = {469 \over 1{,}035...^{3}} ≈ 423\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 423 ⋅ 1{,}035^{x} \text{.}\) 1p 3p b Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 2\) is \(y = 200\) en bij \(x = 5\) is \(y = 173 \text{.}\) GegevenTweePuntenDalend 0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms - dynamic variables b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({173 \over 200})^{{1 \over 5 - 2}} = 0{,}952...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}952...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 200\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}952...^{2} = 200 \\ b = {200 \over 0{,}952...^{2}} ≈ 220\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 220 ⋅ 0{,}953^{x} \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,011 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (2) 00k2 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(g = ({22{,}56 \over 21{,}26})^{{1 \over 2\,018 - 2\,015}} ≈ 1{,}02\) 1p ○ \(g = ({23{,}47 \over 22{,}56})^{{1 \over 2\,020 - 2\,018}} ≈ 1{,}02\) 1p ○ De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}02\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}02^{x} \\ x = 4 \text{ en } y = 21{,}26\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}02^{4} = 21{,}26 \\ b = {21{,}26 \over 1{,}02^{4}} \\ b ≈ 19{,}64\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 19{,}64 ⋅ 1{,}02^{x} \text{.}\) 1p opgave 3Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (2) 00k4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(g = ({27{,}34 \over 20{,}54})^{{1 \over 7 - 4}} ≈ 1{,}10\) 1p ○ \(g = ({33{,}08 \over 27{,}34})^{{1 \over 9 - 7}} ≈ 1{,}10\) 1p ○ De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}1\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}1^{x} \\ x = 4 \text{ en } y = 20{,}54\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}1^{4} = 20{,}54 \\ b = {20{,}54 \over 1{,}1^{4}} \\ b ≈ 14{,}03\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 14{,}03 ⋅ 1{,}10^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.4 Logaritmisch papier en redeneren met groeiformules | |||||||||||||||||||||
opgave 14p Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen. Exponentieel 00ke - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables ○ Rasterpunten \((1 , 900)\) en \((8 , 40\,000)\) aflezen. 1p ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({40\,000 \over 900})^{{1 \over 8 - 1}} = 1{,}719...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}719...^{x} \\ x = 1 \text{ en } y = 900{,}00\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}719...^{1} = 900{,}00 \\ b = {900{,}00 \over 1{,}719...^{1}} \\ b = 523{,}407...\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 523 ⋅ 1{,}720^{x} \text{.}\) 1p opgave 23p Geef de coördinaten van de punten \(A \text{,}\) \(B\) en \(C \text{.}\) LogaritmischAflezen 00ki - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms ○ Punt \(\text{A} (1 , 4\,000) \text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{B} (5 , 50\,000) \text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{C} (8 , 200) \text{.}\) 1p opgave 33p Teken de punten \(A (2 , 3) \text{,}\) \(B (6 , 800)\) en \(C (9 , 50) \text{.}\) LogaritmischTekenen 00kj - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms ○ 3p |