Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde A
'Formule bij exponentiële groei opstellen'.
| 3 havo | 8.2 Procenten en groeifactoren | |||||||||||||||||||||||
opgave 13p Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe met \(2{,}4\%\) per dag. Op \(x=0\) is \(y=247\text{.}\) Hierbij is \(x\) in dagen. GegevenGroeifactorEnBeginwaarde 0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables ○ \(y=b⋅g^x\) met \(g_{\text{dag}}=1+{2{,}4 \over 100}=1{,}024\text{.}\) 1p ○ De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=247\text{.}\) 1p ○ \(y=247⋅1{,}024^x\text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.1 Lineaire en exponentiële groei | |||||||||||||||||||||||
opgave 1Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y\text{.}\) Neem \(x=0\) in \(2\,020\text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (1) 00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({18{,}10 \over 18{,}85}≈0{,}96\) 1p ○ \({17{,}37 \over 18{,}10}≈0{,}96\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y=b⋅g^x\) met \(g=0{,}96\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=18{,}85\text{.}\) 1p ○ Dus \(y=18{,}85⋅0{,}96^x\text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y\text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (1) 00k3 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(20{,}00-21{,}86=-1{,}86\) 1p ○ \(18{,}14-20{,}00=-1{,}86\) 1p ○ Het verschil is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband. 1p b \(y=ax+b\) met \(a=-1{,}86\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x=0\text{,}\) dus \(b=21{,}86\text{.}\) 1p ○ Dus \(y=-1{,}86x+21{,}86\) 1p opgave 3Gegeven zijn de punten \((4, 10)\) en \((8, 8)\text{.}\) 3p a Schrijf \(y\) als lineaire formule van \(x\) door de gegeven punten. 3p b Schrijf \(y\) als exponentiële formule van \(x\) door de gegeven punten. LineairEnExponentieel 00pc - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 27ms - data pool: #87 (27ms) - dynamic variables a \(y=ax+b\) met \(a={\Delta y \over \Delta x}={8-10 \over 8-4}=-0{,}5\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=-0{,}5x+b \\ \text{door }(4, 10)\end{rcases}\begin{matrix}-0{,}5⋅4+b=10 \\ -2+b=10 \\ b=12\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(l{:}\,y=-0{,}5x+12\) 1p b \(y=b⋅g^x\) met \(g=({8 \over 10})^{{1 \over 8-4}}=0{,}945...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=b⋅0{,}945...^x \\ \text{door }(4, 10)\end{rcases}\begin{matrix}10=b⋅0{,}945...^4 \\ b={10 \over 0{,}945...^4} \\ b=12{,}5\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y=12{,}5⋅0{,}946^x\text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.3 Formules bij exponentiële groei | |||||||||||||||||||||||
opgave 13p a Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x=2\) is \(y=322\) en bij \(x=6\) is \(y=389\text{.}\) GegevenTweePuntenStijgend 0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables a \(y=b⋅g^x\) met \(g=({389 \over 322})^{{1 \over 6-2}}=1{,}048...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=b⋅1{,}048...^x \\ x=2\text{ en }y=322\end{rcases}\begin{matrix}b⋅1{,}048...^2=322 \\ b={322 \over 1{,}048...^2}≈293\end{matrix}\) 1p ○ \(y=293⋅1{,}048^x\text{.}\) 1p 3p b Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x=2\) is \(y=376\) en bij \(x=4\) is \(y=351\text{.}\) GegevenTweePuntenDalend 0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms - dynamic variables b \(y=b⋅g^x\) met \(g=({351 \over 376})^{{1 \over 4-2}}=0{,}966...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=b⋅0{,}966...^x \\ x=2\text{ en }y=376\end{rcases}\begin{matrix}b⋅0{,}966...^2=376 \\ b={376 \over 0{,}966...^2}≈403\end{matrix}\) 1p ○ \(y=403⋅0{,}966^x\text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y\text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (2) 00k2 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(g=({23{,}77 \over 36{,}07})^{{1 \over 8-3}}≈0{,}92\) 1p ○ \(g=({21{,}87 \over 23{,}77})^{{1 \over 9-8}}≈0{,}92\) 1p ○ De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y=b⋅g^x\) met \(g=0{,}92\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=b⋅0{,}92^x \\ x=3\text{ en }y=36{,}07\end{rcases}\begin{matrix}b⋅0{,}92^3=36{,}07 \\ b={36{,}07 \over 0{,}92^3} \\ b≈46{,}32\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y=46{,}32⋅0{,}92^x\text{.}\) 1p opgave 3Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y\text{.}\) Neem \(x=0\) in \(2\,003\text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (2) 00k4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({\Delta y \over \Delta x}={26{,}37-20{,}13 \over 2\,010-2\,006}=1{,}56\) 1p ○ \({\Delta y \over \Delta x}={29{,}49-26{,}37 \over 2\,012-2\,010}=1{,}56\) 1p ○ De gemiddelde verandering is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband. 1p b \(y=ax+b\) met \(a=1{,}56\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=1{,}56x+b \\ x=3\text{ en }y=20{,}13\end{rcases}\begin{matrix}1{,}56⋅3+b=20{,}13 \\ 4{,}68+b=20{,}13 \\ b=15{,}45\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y=1{,}56x+15{,}45\) 1p |
||||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.4 Logaritmisch papier en redeneren met groeiformules | |||||||||||||||||||||||
opgave 14p Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y=b⋅g^x\text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen. Exponentieel 00ke - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms - dynamic variables ○ Rasterpunten \((1, 700)\) en \((8, 60\,000)\) aflezen. 1p ○ \(y=b⋅g^x\) met \(g=({60\,000 \over 700})^{{1 \over 8-1}}=1{,}888...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y=b⋅1{,}888...^x \\ x=1\text{ en }y=700{,}00\end{rcases}\begin{matrix}b⋅1{,}888...^1=700{,}00 \\ b={700{,}00 \over 1{,}888...^1} \\ b=370{,}635...\end{matrix}\) 1p ○ \(y=371⋅1{,}889^x\text{.}\) 1p opgave 23p Geef de coördinaten van de punten \(A\text{,}\) \(B\) en \(C\text{.}\) LogaritmischAflezen 00ki - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms ○ Punt \(\text{A}(2, 8\,000)\text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{B}(4, 4)\text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{C}(9, 70)\text{.}\) 1p opgave 33p Teken de punten \(A(3, 600)\text{,}\) \(B(6, 3\,000)\) en \(C(7, 9)\text{.}\) LogaritmischTekenen 00kj - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 1ms ○ 3p |