Getal & Ruimte (12e editie) - havo wiskunde A
'Formule bij exponentiële groei opstellen'.
| 3 havo | 8.2 Procenten en groeifactoren | |||||||||||||||||||||||
opgave 13p Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe met \(4{,}8\%\) per dag. Op \(x = 0\) is \(y = 477 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in dagen. GegevenGroeifactorEnBeginwaarde 0074 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 5ms - dynamic variables ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{dag}} = 1 + {4{,}8 \over 100} = 1{,}048 \text{.}\) 1p ○ De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 477 \text{.}\) 1p ○ \(y = 477 ⋅ 1{,}048^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.1 Lineaire en exponentiële groei | |||||||||||||||||||||||
opgave 1Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (1) 00k1 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({13{,}32 \over 12{,}22} ≈ 1{,}09\) 1p ○ \({14{,}52 \over 13{,}32} ≈ 1{,}09\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}09\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 12{,}22 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = 12{,}22 ⋅ 1{,}09^{x} \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,019 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (1) 00k3 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({11{,}88 \over 10{,}15} ≈ 1{,}17\) 1p ○ \({13{,}89 \over 11{,}88} ≈ 1{,}17\) 1p ○ De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}17\) 1p ○ \(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 10{,}15 \text{.}\) 1p ○ Dus \(y = 10{,}15 ⋅ 1{,}17^{x} \text{.}\) 1p opgave 3Gegeven zijn de punten \((4 , 11)\) en \((8 , 10) \text{.}\) 3p a Schrijf \(y\) als lineaire formule van \(x\) door de gegeven punten. 3p b Schrijf \(y\) als exponentiële formule van \(x\) door de gegeven punten. LineairEnExponentieel 00pc - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 38ms - data pool: #87 (38ms) - dynamic variables a \(y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {10 - 11 \over 8 - 4} = -0{,}25\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = -0{,}25 x + b \\ \text{door } (4 , 11)\end{rcases} \begin{matrix}-0{,}25 ⋅ 4 + b = 11 \\ -1 + b = 11 \\ b = 12\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(l{:}\,y = -0{,}25 x + 12\) 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({10 \over 11})^{{1 \over 8 - 4}} = 0{,}976...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}976...^{x} \\ \text{door } (4 , 11)\end{rcases} \begin{matrix}11 = b ⋅ 0{,}976...^{4} \\ b = {11 \over 0{,}976...^{4}} \\ b = 12{,}1\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 12{,}1 ⋅ 0{,}976^{x} \text{.}\) 1p |
||||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.3 Formules bij exponentiële groei | |||||||||||||||||||||||
opgave 13p a Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 3\) is \(y = 481\) en bij \(x = 7\) is \(y = 582 \text{.}\) GegevenTweePuntenStijgend 0075 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables a \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({582 \over 481})^{{1 \over 7 - 3}} = 1{,}048...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}048...^{x} \\ x = 3 \text{ en } y = 481\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}048...^{3} = 481 \\ b = {481 \over 1{,}048...^{3}} ≈ 417\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 417 ⋅ 1{,}049^{x} \text{.}\) 1p 3p b Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 4\) is \(y = 395\) en bij \(x = 9\) is \(y = 331 \text{.}\) GegevenTweePuntenDalend 0076 - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({331 \over 395})^{{1 \over 9 - 4}} = 0{,}965...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}965...^{x} \\ x = 4 \text{ en } y = 395\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}965...^{4} = 395 \\ b = {395 \over 0{,}965...^{4}} ≈ 455\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 455 ⋅ 0{,}965^{x} \text{.}\) 1p opgave 2Gegeven is de volgende tabel.
3p a Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,009 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. ExponentieelUitTabel (2) 00k2 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \(g = ({23{,}88 \over 36{,}91})^{{1 \over 2\,020 - 2\,014}} ≈ 0{,}93\) 1p ○ \(g = ({19{,}21 \over 23{,}88})^{{1 \over 2\,023 - 2\,020}} ≈ 0{,}93\) 1p ○ De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband. 1p b \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}93\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}93^{x} \\ x = 5 \text{ en } y = 36{,}91\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}93^{5} = 36{,}91 \\ b = {36{,}91 \over 0{,}93^{5}} \\ b ≈ 53{,}06\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = 53{,}06 ⋅ 0{,}93^{x} \text{.}\) 1p opgave 3Gegeven is de volgende tabel.
3p a Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort. 3p b Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen. LineairOfExponentieelUitTabel (2) 00k4 - Formule bij exponentiële groei opstellen - gevorderd - 0ms - dynamic variables a \({\Delta y \over \Delta x} = {22{,}32 - 24{,}14 \over 5 - 3} = -0{,}91\) 1p ○ \({\Delta y \over \Delta x} = {17{,}77 - 22{,}32 \over 10 - 5} = -0{,}91\) 1p ○ De gemiddelde verandering is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband. 1p b \(y = a x + b\) met \(a = -0{,}91\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = -0{,}91 x + b \\ x = 3 \text{ en } y = 24{,}14\end{rcases} \begin{matrix}-0{,}91 ⋅ 3 + b = 24{,}14 \\ -2{,}73 + b = 24{,}14 \\ b = 26{,}87\end{matrix}\) 1p ○ Dus \(y = -0{,}91 x + 26{,}87\) 1p |
||||||||||||||||||||||||
| havo wiskunde A | 9.4 Logaritmisch papier en redeneren met groeiformules | |||||||||||||||||||||||
opgave 14p Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen. Exponentieel 00ke - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms - dynamic variables ○ Rasterpunten \((1 , 90\,000)\) en \((8 , 70)\) aflezen. 1p ○ \(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({70 \over 90\,000})^{{1 \over 8 - 1}} = 0{,}359...\) 1p ○ \(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}359...^{x} \\ x = 1 \text{ en } y = 90\,000{,}00\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}359...^{1} = 90\,000{,}00 \\ b = {90\,000{,}00 \over 0{,}359...^{1}} \\ b = 250268{,}393...\end{matrix}\) 1p ○ \(y = 250\,268 ⋅ 0{,}360^{x} \text{.}\) 1p opgave 23p Geef de coördinaten van de punten \(A \text{,}\) \(B\) en \(C \text{.}\) LogaritmischAflezen 00ki - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms ○ Punt \(\text{A} (2 , 300) \text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{B} (4 , 80\,000) \text{.}\) 1p ○ Punt \(\text{C} (9 , 9\,000) \text{.}\) 1p opgave 33p Teken de punten \(A (3 , 10\,000) \text{,}\) \(B (4 , 800\,000)\) en \(C (9 , 600) \text{.}\) LogaritmischTekenen 00kj - Formule bij exponentiële groei opstellen - basis - 0ms ○ 3p |