Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A (0 , 5)\) en \(B (2 , 1) \text{.}\) Zie het figuur.
3p
Bereken de coördinaten van het punt \(D \text{.}\)
○
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}2 \\ 1\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0 \\ 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ -4\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{AB}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}-4 \\ -2\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
\(\overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{AB}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}0 \\ 5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-4 \\ -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4 \\ 3\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
De coördinaten van punt \(D\) zijn dus \((-4 , 3) \text{.}\)
1p
Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A (5 , 7)\) en \(C (6 , 1) \text{.}\) Zie het figuur.
4p
Bereken de coördinaten van het punt \(D \text{.}\)
○
Noem \(M\) het midden van diagonaal \(A\kern{-.8pt}C \text{,}\) dus \(\overrightarrow{m} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}5 \\ 7\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}6 \\ 1\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}5\frac{1}{2} \\ 4\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
\(\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{m} = \begin{pmatrix}5 \\ 7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}5\frac{1}{2} \\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac{1}{2} \\ 3\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{MA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}3 \\ \frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
\(\overrightarrow{d} = \overrightarrow{m} + \overrightarrow{MA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}5\frac{1}{2} \\ 4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3 \\ \frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8\frac{1}{2} \\ 4\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
De coördinaten van punt \(D\) zijn dus \((8\frac{1}{2} , 4\frac{1}{2}) \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de punten \(A (1 , 4)\) en \(B (6 , 3) \text{.}\) Op lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B\) liggen de punten \(C\) en \(D\) met \(A\kern{-.8pt}C = C\kern{-.8pt}D = D\kern{-.8pt}B \text{.}\) Lijnstuk \(B\kern{-.8pt}D\) is een zijde van vierkant \(B\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E\kern{-.8pt}F \text{.}\) Het punt \(G\) is het midden van diagonaal \(D\kern{-.8pt}F \text{.}\) Zie het figuur.
6p
Bereken de coördinaten van het punt \(G \text{.}\)
○
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}6 \\ 3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 \\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ -1\end{pmatrix}\)
1p
○
\(\overrightarrow{d} = \overrightarrow{a} + \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}1 \\ 4\end{pmatrix} + \frac{2}{3} \begin{pmatrix}5 \\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\frac{1}{3} \\ 3\frac{1}{3}\end{pmatrix}\)
1p
○
\(\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{d} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}4\frac{1}{3} \\ 3\frac{1}{3}\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\frac{2}{3} \\ \frac{1}{3}\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{BD}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}-\frac{1}{3} \\ -1\frac{2}{3}\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
\(\overrightarrow{f} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{BD}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}6 \\ 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-\frac{1}{3} \\ -1\frac{2}{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\frac{2}{3} \\ 1\frac{1}{3}\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
\(\overrightarrow{g} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{d} + \overrightarrow{f}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}4\frac{1}{3} \\ 3\frac{1}{3}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}5\frac{2}{3} \\ 1\frac{1}{3}\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}5 \\ 2\frac{1}{3}\end{pmatrix}\)
1p
○
De coördinaten van punt \(G\) zijn dus \((5 , 2\frac{1}{3}) \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de punten \(A (2 , 4)\) en \(B (6 , 5) \text{.}\) Het punt \(C\) is het midden van lijnstuk \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\) Lijnstuk \(A\kern{-.8pt}C\) is een zijde van vierkant \(A\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}E \text{.}\) Zijde \(C\kern{-.8pt}D\) is een diagonaal van vierkant \(C\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}D\kern{-.8pt}G \text{.}\) Zie het figuur.
7p
Bereken de coördinaten van het punt \(F \text{.}\)
○
\(\overrightarrow{c} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}2 \\ 4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}6 \\ 5\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}4 \\ 4\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)
1p
○
\(\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{c} = \begin{pmatrix}2 \\ 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4 \\ 4\frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ -\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{CA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}-\frac{1}{2} \\ 2\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
\(\overrightarrow{d} = \overrightarrow{c} + \overrightarrow{CA}_{\text{R}} = \begin{pmatrix}4 \\ 4\frac{1}{2}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-\frac{1}{2} \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\frac{1}{2} \\ 6\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
Noem \(M\) het midden van diagonaal \(C\kern{-.8pt}D \text{,}\) dus \(\overrightarrow{m} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{c} + \overrightarrow{d}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}4 \\ 4\frac{1}{2}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3\frac{1}{2} \\ 6\frac{1}{2}\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}3\frac{3}{4} \\ 5\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
\(\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{m} = \begin{pmatrix}4 \\ 4\frac{1}{2}\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3\frac{3}{4} \\ 5\frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{1}{4} \\ -1\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{MC}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}1 \\ \frac{1}{4}\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
\(\overrightarrow{f} = \overrightarrow{m} + \overrightarrow{MC}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}3\frac{3}{4} \\ 5\frac{1}{2}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ \frac{1}{4}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\frac{3}{4} \\ 5\frac{3}{4}\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
De coördinaten van punt \(F\) zijn dus \((4\frac{3}{4} , 5\frac{3}{4}) \text{.}\)
1p
Gegeven is het vierkant \(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\kern{-.8pt}D\) met \(A (4 , 7)\) en \(B (6 , 0) \text{.}\) Op diagonaal \(A\kern{-.8pt}C\) liggen de punten \(E\) en \(F\) met \(A\kern{-.8pt}E = E\kern{-.8pt}F = F\kern{-.8pt}C \text{.}\) Lijnstuk \(C\kern{-.8pt}F\) is een diagonaal van vierkant \(C\kern{-.8pt}G\kern{-.8pt}F\kern{-.8pt}H \text{.}\) Zie het figuur.
8p
Bereken de coördinaten van het punt \(G \text{.}\)
○
\(\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix}4 \\ 7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}6 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ 7\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{BA}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}-7 \\ -2\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
\(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{BA}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}6 \\ 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-7 \\ -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ -2\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
\(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a} = \begin{pmatrix}-1 \\ -2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}4 \\ 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-5 \\ -9\end{pmatrix}\)
1p
○
\(\overrightarrow{f} = \overrightarrow{a} + \frac{2}{3} \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}4 \\ 7\end{pmatrix} + \frac{2}{3} \begin{pmatrix}-5 \\ -9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{2}{3} \\ 1\end{pmatrix}\)
1p
○
Noem \(M\) het midden van diagonaal \(C\kern{-.8pt}F \text{,}\) dus \(\overrightarrow{m} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{c} + \overrightarrow{f}) = \frac{1}{2} (\begin{pmatrix}-1 \\ -2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\frac{2}{3} \\ 1\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}-\frac{1}{6} \\ -\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
\(\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{m} = \begin{pmatrix}-1 \\ -2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-\frac{1}{6} \\ -\frac{1}{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac{5}{6} \\ -1\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(\overrightarrow{MC}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}1\frac{1}{2} \\ -\frac{5}{6}\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
\(\overrightarrow{g} = \overrightarrow{m} + \overrightarrow{MC}_{\text{L}} = \begin{pmatrix}-\frac{1}{6} \\ -\frac{1}{2}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1\frac{1}{2} \\ -\frac{5}{6}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\frac{1}{3} \\ -1\frac{1}{3}\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
De coördinaten van punt \(G\) zijn dus \((1\frac{1}{3} , -1\frac{1}{3}) \text{.}\)
1p