Gegeven is de functie \(f(x) = {-10 \over 2 x - 1}\) en het punt \(A\) met \(x_{A} = -2 \text{.}\)
De lijn \(k\) raakt de grafiek van \(f\) in het punt \(A \text{.}\) De lijn \(l\) staat loodrecht op \(k\) en snijdt de \(y \text{-}\)as in het punt \(B \text{.}\)
7p
Bereken exact de coördinaten van \(B \text{.}\)
○
\(f(-2) = 2 \text{,}\) dus \(A (-2 , 2)\)
1p
○
\(f(x) = {-10 \over 2 x - 1} = -10 (2 x - 1)^{-1}\) geeft
\(f'(x) = -10 ⋅ -1 ⋅ (2 x - 1)^{-2} ⋅ 2 = {20 \over (2 x - 1)^{2}}\)
2p
○
\(\text{rc}_{k} = f'(-2) = \frac{4}{5}\)
1p
○
\(\text{rc}_{k} ⋅ \text{rc}_{l} = -1\) geeft \(\text{rc}_{l} = -\frac{5}{4} \text{,}\) dus \(y = -1\frac{1}{4} x + b\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = -1\frac{1}{4} x + b \\ \text{door } A (-2 , 2)\end{rcases} \begin{matrix}-1\frac{1}{4} ⋅ -2 + b = 2 \\ 2\frac{2}{4} + b = 2 \\ b = -\frac{1}{2}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = -1\frac{1}{4} x - \frac{1}{2} \text{.}\)
1p
○
\(B (0 , -\frac{1}{2})\)
1p
Gegeven zijn de functies \(f(x) = x^{2} - 4 x - 2\) en \(g(x) = -x^{2} + x + 5 \text{.}\) De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B \text{,}\) met \(x_{A} < x_{B} \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de grafiek van \(g\) in het punt \(A\) en snijdt de grafiek van \(f\) in het punt \(C \text{.}\)
7p
Bereken exact de coördinaten van het punt \(C \text{.}\)
○
De snijpunten \(A\) en \(B\) volgen uit
\(x^{2} - 4 x - 2 = -x^{2} + x + 5\)
\(2 x^{2} - 5 x - 7 = 0\)
\(a\kern{-.8pt}b\kern{-.8pt}c \text{-}\)formule met \(D = (-5)^{2} - 4 ⋅ 2 ⋅ -7 = 81\) geeft
\(x = {5 - \sqrt{81} \over 2 ⋅ 2} = -1 ∨ x = {5 + \sqrt{81} \over 2 ⋅ 2} = 3\frac{1}{2}\)
1p
○
\(x_{A} = -1 \text{,}\) dus \(y_{A} = g(-1) = 3\)
1p
○
\(g'(x) = -2 x + 1\)
1p
○
\(l{:}\,y = a x + b\) met \(a = g'(-1) = 3 \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = 3 x + b \\ \text{door } A (-1 , 3)\end{rcases} \begin{matrix}3 ⋅ -1 + b = 3 \\ -3 + b = 3 \\ b = 6\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = 3 x + 6 \text{.}\)
1p
○
Snijpunt \(C\) volgt uit
\(x^{2} - 4 x - 2 = 3 x + 6\)
\(x^{2} - 7 x - 8 = 0\)
\((x + 1) (x - 8) = 0\)
\(x = -1 ∨ x = 8\)
1p
○
\(x_{C} = 8 \text{,}\) dus \(y_{C} = f(8) = 30\) en
\(C (8 , 30) \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} + 2\frac{1}{2} x^{2} + 10 x + 3\frac{1}{3} \text{.}\) In de punten \(A\) en \(B\) van de grafiek van \(f\) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn gelijk aan \(4 \text{.}\)
4p
Bereken algebraïsch de coördinaten van \(A\) en \(B \text{.}\)
○
\(f(x) = \frac{1}{3} x^{3} + 2\frac{1}{2} x^{2} + 10 x + 3\frac{1}{3}\) geeft \(f'(x) = x^{2} + 5 x + 10 \text{.}\)
1p
○
\(f'(x) = 4\) geeft
\(x^{2} + 5 x + 10 = 4\)
\(x^{2} + 5 x + 6 = 0\)
\((x + 3) (x + 2) = 0\)
\(x = -3 ∨ x = -2 \text{.}\)
1p
○
\(f(-3) = -13\frac{1}{6} \text{,}\) dus \(A (-3 , -13\frac{1}{6}) \text{.}\)
1p
○
\(f(-2) = -9\frac{1}{3} \text{,}\) dus \(B (-2 , -9\frac{1}{3}) \text{.}\)
1p