De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -2\frac{1}{2} t^{2} - 10 t \\ y(t) = -\frac{2}{3} t^{3} + 2 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
3p
Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t = -3 \text{.}\)
○
\(x'(t) = -5 t - 10\)
\(y'(t) = -2 t^{2} + 2\)
1p
○
[Voor de snelheidsvector geldt]
\(\overrightarrow{v} (-3) = \begin{pmatrix}x'(-3) \\ y'(-3)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ -16\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
[Dus de baansnelheid is]
\(v(-3) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (-3)\end{vmatrix} = \sqrt{5^{2} + (-16)^{2}} = \sqrt{281} \text{.}\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = 1\frac{1}{2} t^{2} + 3 t \\ y(t) = -1\frac{2}{3} t^{3} + 15 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
4p
Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t \text{.}\) Rond af op twee decimalen.
○
\(x'(t) = 3 t + 3\)
\(y'(t) = -5 t^{2} + 15\)
1p
○
[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(3 t + 3)^{2} + (-5 t^{2} + 15)^{2}} \text{.}\)
1p
○
Voer in
\(y_{1} = \sqrt{(3 x + 3)^{2} + (-5 x^{2} + 15)^{2}}\)
Optie 'minimum' geeft \(x = -1{,}710...\) en \(y = 2{,}163...\)
1p
○
De minimale baansnelheid is ongeveer \(2{,}16\) voor \(t = -1{,}71 \text{.}\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -1\frac{1}{3} t^{3} + 3 t \\ y(t) = -3 t^{2} - 9 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
4p
Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t = -2 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.
○
\(x'(t) = -4 t^{2} + 3\)
\(y'(t) = -6 t - 9\)
1p
○
[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(-4 t^{2} + 3)^{2} + (-6 t - 9)^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{16 t^{4} + 12 t^{2} + 108 t + 90} \text{.}\)
1p
○
[De formule voor de baanversnelling is dan]
\(a(t) = v'(t)\)
\(\text{} = {1 \over 2 \sqrt{16 t^{4} + 12 t^{2} + 108 t + 90}} ⋅ (64 t^{3} + 24 t + 108)\)
\(\text{} = {32 t^{3} + 12 t + 54 \over \sqrt{16 t^{4} + 12 t^{2} + 108 t + 90}}\)
1p
○
[Invullen van \(t = -2\) geeft]
\(a(-2) = {-226 \over \sqrt{178}} ≈ -16{,}94\)
1p