Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = 0{,}8^{x} + 6 x^{2}\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}8^{x}\) naar 0.
1p
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^{2}\) heel groot en dus wordt ook \(6 x^{2}\) heel groot.
1p
○
Dus wordt \(0{,}8^{x} + 6 x^{2}\) heel groot.
De formule heeft dus geen grenswaarde.
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = {650 \over 20 + 22 ⋅ e^{x}}\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(e^{x}\) heel groot (want \(e > 1 \text{)}\)
1p
○
Dus wordt \(22 ⋅ e^{x}\) heel groot
en dus wordt \(20 + 22 ⋅ e^{x}\) heel groot.
1p
○
Dus nadert \({650 \over 20 + 22 ⋅ e^{x}}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0 \text{.}\)
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = {1\,140 \over 20 - 15 ⋅ 0{,}59^{x}}\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}59^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}59 < 1 \text{)}\)
1p
○
Dus nadert \(-15 ⋅ 0{,}59^{x}\) naar \(0\)
en dus nadert \(20 - 15 ⋅ 0{,}59^{x}\) naar \(20 \text{.}\)
1p
○
Dus nadert \({1\,140 \over 20 - 15 ⋅ 0{,}59^{x}}\) naar \({1\,140 \over 20} = 57\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(57 \text{.}\)
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = 15 (5 - 0{,}68^{x})\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(0{,}68^{x}\) naar \(0\) (want \(0{,}68 < 1 \text{).}\)
1p
○
Dus nadert \(5 - 0{,}68^{x}\) naar \(5 \text{.}\)
1p
○
Dus nadert \(15 (5 - 0{,}68^{x})\) naar \(15 ⋅ 5 = 75\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(75 \text{.}\)
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = 55 - {48 \over 1{,}73^{x}}\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(1{,}73^{x}\) heel groot (want \(1{,}73 > 1 \text{).}\)
1p
○
Dus nadert \({48 \over 1{,}73^{x}}\) naar \(0 \text{.}\)
1p
○
Dus nadert \(55 - {48 \over 1{,}73^{x}}\) naar \(55\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(55 \text{.}\)
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = 40 - 70 ⋅ e^{-0{,}7 x}\)
○
Er geldt \(e^{-0{,}7 x} = {1 \over e^{0{,}7 x}} \text{,}\) dus als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(0{,}7 x\) heel groot, dus wordt \(e^{0{,}7 x}\) heel groot (want \(e > 1 \text{),}\) en dus nadert \({1 \over e^{0{,}7 x}}\) naar \(0 \text{.}\)
1p
○
Dus nadert \(-70 ⋅ e^{-0{,}7 x}\) naar \(0 \text{.}\)
1p
○
Dus nadert \(40 - 70 ⋅ e^{-0{,}7 x}\) naar \(40 \text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(40 \text{.}\)
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = 3 + {5 \over x^{6}}\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(x^{6}\) heel groot.
1p
○
Dus nadert \({5 \over x^{6}}\) naar \(0 \text{.}\)
1p
○
Dus nadert \(3 + {5 \over x^{6}}\) naar \(3\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(3 \text{.}\)
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = {-3 x - 6 \over 9 x - 7}\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan bepalen de hoogste machten van \(x\) in de teller en de noemer het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \({-3 x \over 9 x} \text{.}\)
1p
○
Er geldt \({-3 x \over 9 x} = {-3 \over 9} = -\frac{1}{3} \text{.}\)
1p
○
De grenswaarde van \(y\) is dus \(-\frac{1}{3} \text{.}\)
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = {440 \over 3 + 8 ⋅ \ln(x)}\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(\ln(x)\) heel groot.
1p
○
Dus wordt \(8 ⋅ \ln(x)\) heel groot
en dus wordt \(3 + 8 ⋅ \ln(x)\) heel groot.
1p
○
Dus nadert \({440 \over 3 + 8 ⋅ \ln(x)}\) naar \(0\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(0 \text{.}\)
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = -7 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x + 8\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan bepaalt de hoogste machten van \(x\) het oneindige gedrag.
We kijken dus naar het oneindige gedrag van \(-7 x^{3}\)
1p
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan wordt \(-7 x^{3}\) heel groot negatief.
1p
○
De gegeven formule heeft dus geen grenswaarde.
1p
Beredeneer of deze formule een grenswaarde heeft, en zo ja, wat de grenswaarde is.
3p
\(y = 30 + 20 ⋅ x^{-0{,}8}\)
○
Als \(x\) heel groot wordt, dan nadert \(x^{-0{,}8}\) naar \(0 \text{,}\) want \(x^{-0{,}8} = {1 \over x^{0{,}8}}\) en \(x^{0{,}8}\) wordt heel groot als \(x\) heel groot wordt.
1p
○
Dus nadert \(20 ⋅ x^{-0{,}8}\) naar \(0 \text{.}\)
1p
○
Dus nadert \(30 + 20 x^{-0{,}8}\) naar \(30 \text{.}\)
De grenswaarde van \(y\) is dus \(30 \text{.}\)
1p