Gegeven is de cirkel \(c \text{: } (x - 5)^{2} + (y - 6)^{2} = 16\) en het punt \(A (6 , 14)\) buiten \(c \text{.}\)
5p
Stel langs algebraïsche weg vergelijkingen op van de lijnen \(l\) die door \(A\) gaan en \(c\) raken.
○
\(\begin{rcases}l{:}\,y = a x + b \\ A (6 , 14)\end{rcases} \begin{matrix}a ⋅ 6 + b = 14 \\ b = 14-6 a\end{matrix}\)
oftewel
\(l \text{: } y = a x+14-6 a\)
\(l \text{: } a x-y+14-6 a = 0\)
1p
○
Van \(c\) is \(M (5 , 6)\) en \(r = 4 \text{.}\)
\(d(M , l) = \frac{\vert 5 a-6+14-6 a \vert}{\sqrt{a^{2}+(-1)^{2}}} = \frac{\vert -a+8 \vert}{\sqrt{a^{2}+1}} = 4\)
1p
○
(oplossen)
\(\vert -a+8 \vert = 4 \sqrt{a^{2}+1}\)
\((\vert -a+8 \vert)^{2} = (4 \sqrt{a^{2}+1})^{2}\)
\(a^{2}-16 a+64 = 16 a^{2}+16\)
1p
○
\(-15 a^{2} - 16 a + 48 = 0\)
\(15 a^{2} + 16 a - 48 = 0\)
\(D = 16^{2} - 4 ⋅ 15 ⋅ -48 = 3\,136\)
\(a = {-16 - \sqrt{3\,136} \over 2 ⋅ 15} ∨ a = {-16 + \sqrt{3\,136} \over 2 ⋅ 15}\)
\(a = -2\frac{2}{5} ∨ a = 1\frac{1}{3}\)
1p
○
\(a = -2\frac{2}{5}\) geeft \(b = 14-6 \cdot -2\frac{2}{5} = 28\frac{2}{5} \text{,}\) dus \(l_{1} \text{: } y = -2\frac{2}{5} x+28\frac{2}{5}\)
\(a = 1\frac{1}{3}\) geeft \(b = 14-6 \cdot 1\frac{1}{3} = 6 \text{,}\) dus \(l_{2} \text{: } y = 1\frac{1}{3} x+6\)
1p
Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 2 y - 19 = 0 \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt de cirkel in het punt \(A (2 , 5) \text{.}\)
4p
Stel de vergelijking van \(l\) op.
○
Kwadraatafsplitsen geeft \(x^{2} + (y - 1)^{2} = 20\)
Dus \(M (0 , 1)\) en \(r = \sqrt{20} \text{.}\)
1p
○
De lijn \(m\) door \(M\) en \(A\) heeft \(\text{rc}_{m} = {\Delta y \over \Delta x} = {1 - 5 \over 0 - 2} = 2 \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}l \perp m \text{, dus } \text{rc}_{l} ⋅ \text{rc}_{m} = -1 \\ \text{rc}_{m} = 2\end{rcases} \text{rc}_{l} = -\frac{1}{2}\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = -\frac{1}{2} x + b \\ \text{door } A (2 , 5)\end{rcases} \begin{matrix}5 = -\frac{1}{2} ⋅ 2 + b \\ 5 = -1 + b \\ b = 6\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = -\frac{1}{2} x + 6 \text{.}\)
1p
Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 6 x - 10 y + 14 = 0 \text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_{A} = x_{B} = -1\) en \(y_{A} > y_{B}\) liggen op \(c \text{.}\)
De lijn \(l\) raakt \(c\) in \(A\) en de lijn \(k\) raakt \(c\) in \(B \text{.}\)
6p
Stel de vergelijking op van \(l \text{.}\)
○
\(\begin{rcases}c{:}\,x^{2} + y^{2} + 6 x - 10 y + 14 = 0 \\ x = -1\end{rcases}\) geeft
\((-1)^{2} + y^{2} + 6 ⋅ -1 - 10 y + 14 = 0\)
\(y^{2} - 10 y + 9 = 0\)
\((y - 1) (y - 9) = 0\)
\(y = 1 ∨ y = 9\)
1p
○
\(y_{A} > y_{B} \text{,}\) dus \(A (-1 , 9)\) en \(B (-1 , 1) \text{.}\)
1p
○
(kwadraatafsplitsen)
\((x + 3)^{2} - 9 + (y - 5)^{2} - 25 + 14 = 0\)
\((x + 3)^{2} + (y - 5)^{2} = 20\)
Dus \(M (-3 , 5) \text{.}\)
1p
○
(voor de lijn door \(A\) en \(M\) geldt)
\(\text{rc}_{\text{AM}} = {\Delta y \over \Delta x} = {5 - 9 \over -3 - -1} = 2 \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}\text{AM} \perp l \text{, dus } \text{rc}_{\text{AM}} ⋅ \text{rc}_{l} = -1 \\ \text{rc}_{\text{AM}} = 2\end{rcases} \text{rc}_{l} = -\frac{1}{2}\)
1p
○
\(\begin{rcases}l{:}\,y = -\frac{1}{2} x + b \\ \text{door } A (-1 , 9)\end{rcases} \begin{matrix}9 = -\frac{1}{2} ⋅ -1 + b \\ 9 = \frac{1}{2} + b \\ b = 8\frac{1}{2}\end{matrix}\)
Dus \(l{:}\,y = -\frac{1}{2} x + 8\frac{1}{2} \text{.}\)
1p
Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 2 x + 6 y = 0 \text{.}\)
Er zijn twee lijnen met richtingscoëfficiënt \(3\) die \(c\) raken.
5p
Stel van elk van deze lijnen de vergelijking op.
○
Stel \(y = 3 x + b \text{.}\)
Substitutie in \(x^{2} + y^{2} + 2 x + 6 y = 0\) geeft
\(x^{2} + (3 x + b)^{2} + 2 x + 6 (3 x + b) + 0 = 0 \text{.}\)
1p
○
Omschrijven naar de vorm \(A x^{2} + B x + C\) geeft
\(x^{2} + 9 x^{2} + 6 b x + b^{2} + 2 x + 18 x + 6 b + 0 = 0\)
\(10 x^{2} + (6 b + 20) x + (b^{2} + 6 b) = 0\)
1p
○
De discriminant is gelijk aan
\(D = B^{2} - 4 A C\)
\(D = (6 b + 20)^{2} - 4 ⋅ 10 ⋅ (b^{2} + 6 b)\)
\(D = 36 b^{2} + 240 b + 400 - 40 b^{2} - 240 b + 0\)
\(D = -4 b^{2} + 400\)
1p
○
Oplossen van \(D = 0\) geeft
\(-4 b^{2} + 400 = 0\)
\(b^{2} - 100 = 0\)
\((b + 10) (b - 10) = 0\)
\(b = -10 ∨ b = 10\)
1p
○
De vergelijkingen zijn \(y = 3 x - 10\) en \(y = 3 x + 10 \text{.}\)
1p
Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 2 x - 12 = 0 \text{.}\)
5p
Stel langs algebraïsche weg vergelijkingen op van de lijnen \(l\) met richtingscoëfficiënt \(-\frac{2}{3}\) die \(c\) raken.
○
\(l \text{: } y = -{2 \over 3} x+b\) geeft \(l \text{: } -{2 \over 3} x-y+b = 0\)
1p
○
(kwadraatafsplitsen)
\((x+1)^{2}-1+y^{2}-12 = 0\)
\((x + 1)^{2} + y^{2} = 13\)
Dus \(M (-1 , 0)\) en \(r = \sqrt{13} \text{.}\)
1p
○
\(d(M , l) = \frac{\vert -{2 \over 3} \cdot -1-1 \cdot 0+b \vert}{\sqrt{(-{2 \over 3})^{2}+(-1)^{2}}} = \frac{\vert {2 \over 3}+b \vert}{\sqrt{{13 \over 9}}} = \sqrt{13}\)
1p
○
(oplossen)
\(\vert {2 \over 3}+b \vert = \sqrt{13} \cdot \sqrt{{13 \over 9}} = 4\frac{1}{3}\)
\({2 \over 3}+b = 4\frac{1}{3} ∨ {2 \over 3}+b = -4\frac{1}{3}\)
\(b = -{2 \over 3}+4\frac{1}{3} = 3\frac{2}{3} ∨ b = -{2 \over 3}-4\frac{1}{3} = -5\)
1p
○
\(b = 3\frac{2}{3}\) geeft \(l_{1} \text{: } y = -{2 \over 3} x+3\frac{2}{3}\)
\(b = -5\) geeft \(l_{2} \text{: } y = -{2 \over 3} x-5\)
1p
Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 10 x + 20 = 0\) en het punt \(A (0 , -5) \text{.}\)
Er zijn twee lijnen die door \(A\) gaan en raken aan \(c \text{.}\)
5p
Stel van beide lijnen de vergelijking op.
○
Stel \(y = a x - 5 \text{.}\)
Substitutie in \(x^{2} + y^{2} - 10 x + 20 = 0\) geeft
\(x^{2} + (a x - 5)^{2} - 10 x + 0 (a x - 5) + 20 = 0 \text{.}\)
1p
○
Omschrijven naar de vorm \(A x^{2} + B x + C\) geeft
\(x^{2} + a^{2} x^{2} - 10 a x + 25 - 10 x + x + 20 = 0\)
\((1 + a^{2}) x^{2} + (-10 a - 10) x + 45 = 0\)
1p
○
De discriminant is gelijk aan
\(D = B^{2} - 4 A C\)
\(D = (-10 a - 10)^{2} - 4 ⋅ (1 + a^{2}) ⋅ 45\)
\(D = 100 a^{2} + 200 a + 100 - 180 - 180 a^{2}\)
\(D = -80 a^{2} + 200 a - 80\)
1p
○
Oplossen van \(D = 0\) geeft
\(-80 a^{2} + 200 a - 80 = 0\)
\(-2 a^{2} + 5 a - 2 = 0\)
\(D = 5^{2} - 4 ⋅ -2 ⋅ -2 = 9\) dus \(\sqrt{D} = 3\)
\(a = {-5 - 3 \over -4} = 2 ∨ a = {-5 + 3 \over -4} = \frac{1}{2} \text{.}\)
1p
○
De vergelijkingen zijn \(y = 2 x - 5\) en \(y = \frac{1}{2} x - 5 \text{.}\)
1p