De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -t^{2} - 2 t \\ y(t) = 1\frac{1}{3} t^{3} - 9 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
3p
Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(y \text{-}\)as.
○
\(x'(t) = -2 t - 2\)
\(y'(t) = 4 t^{2} - 9\)
1p
○
[Evenwijdig met de y-as, dus]
\(x'(t) = 0\)
\(-2 t - 2 = 0\)
\(-2 t = 2\)
\(t = -1\)
1p
○
\(y'(-1) = -5 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = -1\) is de baan evenwijdig aan de \(y \text{-}\)as in het punt \((1 , 7\frac{2}{3}) \text{.}\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -1\frac{1}{3} t^{3} + 4 t \\ y(t) = -\frac{1}{2} t^{2} - t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
4p
Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(y \text{-}\)as.
○
\(x'(t) = -4 t^{2} + 4\)
\(y'(t) = -t - 1\)
1p
○
[Evenwijdig met de y-as, dus]
\(x'(t) = 0\)
\(-4 t^{2} + 4 = 0\)
\(t^{2} - 1 = 0\)
\(t^{2} = 1\)
\(t = -1 ∨ t = 1\)
1p
○
\(y'(-1) = 0 \text{,}\) dus voor \(t = -1\) heeft de baan een keerpunt in het punt \((-2\frac{2}{3} , \frac{1}{2}) \text{.}\) In de figuur is te zien dat de baan in het keerpunt niet evenwijdig is met de \(y \text{-}\)as.
1p
○
\(y'(1) = -2 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = 1\) is de baan evenwijdig aan de \(y \text{-}\)as in het punt \((2\frac{2}{3} , -1\frac{1}{2}) \text{.}\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = t^{3} - 12 t \\ y(t) = -2\frac{1}{2} t^{2} - 5 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
De baan snijdt zichzelf voor \(t = -4\) en voor \(t = 2\) in het punt \((-16 , -20) \text{.}\)
5p
Bereken de hoek \(\varphi \) waaronder de baan zichzelf snijdt. Geef je antwoord in graden en rond af op één decimaal.
○
\(x'(t) = 3 t^{2} - 12\)
\(y'(t) = -5 t - 5\)
1p
○
\(\overrightarrow{v} (-4) = \begin{pmatrix}x'(-4) \\ y'(-4)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}36 \\ 15\end{pmatrix}\)
1p
○
\(\overrightarrow{v} (2) = \begin{pmatrix}x'(2) \\ y'(2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ -15\end{pmatrix}\)
1p
○
\(\cos(\varphi ) = {\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}36 \\ 15\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}0 \\ -15\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}36 \\ 15\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}0 \\ -15\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {225 \over \sqrt{1\,521} ⋅ \sqrt{225}}\)
1p
○
\(\varphi = \cos^{-1}({225 \over \sqrt{1\,521} ⋅ \sqrt{225}}) ≈ 67{,}4\degree\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = \frac{1}{3} t^{3} - 3 t \\ y(t) = -1\frac{1}{2} t^{2} + 6 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
5p
Stel een vergelijking op van de lijn \(l\) die de baan raakt in het punt met \(t = 1 \text{.}\)
○
\(x'(t) = t^{2} - 3\)
\(y'(t) = -3 t + 6\)
1p
○
\(t = 1\) geeft het punt \((-2\frac{2}{3} , 4\frac{1}{2}) \text{.}\)
1p
○
[Voor de richtingsvector van \(l\) geldt]
\(\overrightarrow{r}_{l} = \overrightarrow{v} (1) = \begin{pmatrix}x'(1) \\ y'(1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 \\ 3\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
[Hieruit volgt]
\(\overrightarrow{n}_{l} = \begin{pmatrix}3 \\ 2\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l{:}\,3 x + 2 y = c \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}l{:}\,3 x + 2 y = c \\ \text{door } (-2\frac{2}{3} , 4\frac{1}{2})\end{rcases} \begin{matrix}c = 3 ⋅ -2\frac{2}{3} + 2 ⋅ 4\frac{1}{2} = 1\end{matrix}\)
Dus een vergelijking van de raaklijn is \(l{:}\,3 x + 2 y = 1 \text{.}\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = \frac{3}{4} t^{2} - 3 t \\ y(t) = -1\frac{2}{3} t^{3} + 15 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
3p
Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(x \text{-}\)as.
○
Snijpunt met de \(x \text{-}\)as betekent \(y(t) = 0 \text{,}\) dit geeft
\(-1\frac{2}{3} t^{3} + 15 t = 0\)
1p
○
[Oplossen geeft]
\(t (-\frac{5}{3} t^{2} + 15) = 0\)
\(t = 0 ∨ -\frac{5}{3} t^{2} + 15 = 0\)
\(t = 0 ∨ t^{2} - 9 = 0\)
\(t = 0 ∨ t^{2} = 9\)
\(t = 0 ∨ t = -3 ∨ t = 3\)
1p
○
[De snijpunten met de \(x \text{-}\)as zijn dan]
\(t = 0\) geeft \(x(0) = 0 \text{,}\) dus \((0 , 0)\)
\(t = -3\) geeft \(x(-3) = 15\frac{3}{4} \text{,}\) dus \((15\frac{3}{4} , 0)\)
\(t = 3\) geeft \(x(3) = -2\frac{1}{4} \text{,}\) dus \((-2\frac{1}{4} , 0)\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = 1\frac{2}{3} t^{3} - 15 t \\ y(t) = 1\frac{3}{4} t^{2} - 7 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
3p
Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(y \text{-}\)as.
○
Snijpunt met de \(y \text{-}\)as betekent \(x(t) = 0 \text{,}\) dit geeft
\(1\frac{2}{3} t^{3} - 15 t = 0\)
1p
○
[Oplossen geeft]
\(t (\frac{5}{3} t^{2} - 15) = 0\)
\(t = 0 ∨ \frac{5}{3} t^{2} - 15 = 0\)
\(t = 0 ∨ t^{2} - 9 = 0\)
\(t = 0 ∨ t^{2} = 9\)
\(t = 0 ∨ t = -3 ∨ t = 3\)
1p
○
[De snijpunten met de \(y \text{-}\)as zijn dan]
\(t = 0\) geeft \(y(0) = 0 \text{,}\) dus \((0 , 0)\)
\(t = -3\) geeft \(y(-3) = 36\frac{3}{4} \text{,}\) dus \((0 , 36\frac{3}{4})\)
\(t = 3\) geeft \(y(3) = -5\frac{1}{4} \text{,}\) dus \((0 , -5\frac{1}{4})\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -\frac{3}{4} t^{2} - 3 t \\ y(t) = -1\frac{1}{3} t^{3} + 12 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
3p
a
Bereken de coördinaten van de snijpunten van de baan met de \(y \text{-}\)as.
5p
b
Stel een vergelijking op van de lijn \(l\) die de baan raakt in het punt met \(t = 1 \text{.}\)
2p
c
Bereken exact de baansnelheid van \(P\) op \(t = -4 \text{.}\)
a
Snijpunt met de \(y \text{-}\)as betekent \(x(t) = 0 \text{,}\) dit geeft
\(-\frac{3}{4} t^{2} - 3 t = 0\)
1p
○
[Oplossen geeft]
\(t^{2} + 4 t = 0\)
\(t (t + 4) = 0\)
\(t = 0 ∨ t = -4\)
1p
○
[De snijpunten met de \(y \text{-}\)as zijn dan]
\(t = 0\) geeft \(y(0) = 0 \text{,}\) dus \((0 , 0)\)
\(t = -4\) geeft \(y(-4) = 37\frac{1}{3} \text{,}\) dus \((0 , 37\frac{1}{3})\)
1p
b
\(x'(t) = -1\frac{1}{2} t - 3\)
\(y'(t) = -4 t^{2} + 12\)
1p
○
\(t = 1\) geeft het punt \((-3\frac{3}{4} , 10\frac{2}{3}) \text{.}\)
1p
○
[Voor de richtingsvector van \(l\) geldt]
\(\overrightarrow{r}_{l} = \overrightarrow{v} (1) = \begin{pmatrix}x'(1) \\ y'(1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\frac{1}{2} \\ 8\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
[Hieruit volgt]
\(\overrightarrow{n}_{l} = \begin{pmatrix}8 \\ 4\frac{1}{2}\end{pmatrix} \text{,}\) dus \(l{:}\,8 x + 4\frac{1}{2} y = c \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}l{:}\,8 x + 4\frac{1}{2} y = c \\ \text{door } (-3\frac{3}{4} , 10\frac{2}{3})\end{rcases} \begin{matrix}c = 8 ⋅ -3\frac{3}{4} + 4\frac{1}{2} ⋅ 10\frac{2}{3} = 18\end{matrix}\)
Dus een vergelijking van de raaklijn is \(l{:}\,4\frac{1}{2} x + 8 y = 18 \text{.}\)
1p
c
[Voor de snelheidsvector geldt]
\(\overrightarrow{v} (-4) = \begin{pmatrix}x'(-4) \\ y'(-4)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ -52\end{pmatrix} \text{.}\)
1p
○
[Dus de baansnelheid is]
\(v(-4) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (-4)\end{vmatrix} = \sqrt{3^{2} + (-52)^{2}} = \sqrt{2\,713} \text{.}\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = t^{2} + 2 t \\ y(t) = -\frac{1}{3} t^{3} + 4 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
3p
a
Toon aan dat de baan zichzelf snijdt in het punt \((8 , 5\frac{1}{3}) \text{.}\)
3p
b
Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(y \text{-}\)as.
3p
c
Bereken de minimale baansnelheid en de bijbehorende waarde van \(t \text{.}\) Rond af op twee decimalen.
a
[Oplossen van \(x(t) = 8\) geeft]
\(t^{2} + 2 t = 8\)
\(t^{2} + 2 t - 8 = 0\)
\((t + 4) (t - 2) = 0\)
\(t = -4 ∨ t = 2\)
1p
○
\(y(-4) = 5\frac{1}{3} \text{,}\) dus \(t = -4\) geeft het punt \((8 , 5\frac{1}{3}) \text{.}\)
1p
○
\(y(2) = 5\frac{1}{3} \text{,}\) dus \(t = 2\) geeft ook het punt \((8 , 5\frac{1}{3}) \text{,}\) dus de baan snijdt zichzelf in dat punt.
1p
b
\(x'(t) = 2 t + 2\)
\(y'(t) = -t^{2} + 4\)
1p
○
[Evenwijdig met de y-as, dus]
\(x'(t) = 0\)
\(2 t + 2 = 0\)
\(2 t = -2\)
\(t = -1\)
1p
○
\(y'(-1) = 3 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = -1\) is de baan evenwijdig aan de \(y \text{-}\)as in het punt \((-1 , -3\frac{2}{3}) \text{.}\)
1p
c
[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(2 t + 2)^{2} + (-t^{2} + 4)^{2}} \text{.}\)
1p
○
Voer in
\(y_{1} = \sqrt{(2 x + 2)^{2} + (-x^{2} + 4)^{2}}\)
Optie 'minimum' geeft \(x = -1{,}769...\) en \(y = 1{,}767...\)
1p
○
De minimale baansnelheid is ongeveer \(1{,}77\) voor \(t = -1{,}77 \text{.}\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -t^{2} - 2 t \\ y(t) = -\frac{2}{3} t^{3} + 8 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
4p
a
Bereken de coördinaten van de punt(en) van de baan waarin de raaklijn evenwijdig is met de \(x \text{-}\)as.
De baan snijdt zichzelf voor \(t = -4\) en voor \(t = 2\) in het punt \((-8 , 10\frac{2}{3}) \text{.}\)
4p
b
Bereken de hoek \(\varphi \) waaronder de baan zichzelf snijdt. Geef je antwoord in graden en rond af op één decimaal.
3p
c
Bereken algebraïsch de baanversnelling van \(P\) op \(t = -3 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.
a
\(x'(t) = -2 t - 2\)
\(y'(t) = -2 t^{2} + 8\)
1p
○
[Evenwijdig met de x-as, dus]
\(y'(t) = 0\)
\(-2 t^{2} + 8 = 0\)
\(t^{2} - 4 = 0\)
\(t^{2} = 4\)
\(t = -2 ∨ t = 2\)
1p
○
\(x'(-2) = 2 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = -2\) is de baan evenwijdig aan de \(x \text{-}\)as in het punt \((0 , -10\frac{2}{3}) \text{.}\)
1p
○
\(x'(2) = -6 ≠ 0 \text{,}\) dus voor \(t = 2\) is de baan evenwijdig aan de \(x \text{-}\)as in het punt \((-8 , 10\frac{2}{3}) \text{.}\)
1p
b
\(\overrightarrow{v} (-4) = \begin{pmatrix}x'(-4) \\ y'(-4)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 \\ -24\end{pmatrix}\)
1p
○
\(\overrightarrow{v} (2) = \begin{pmatrix}x'(2) \\ y'(2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6 \\ 0\end{pmatrix}\)
1p
○
\(\cos(\varphi ) = {\begin{vmatrix}\begin{pmatrix}6 \\ -24\end{pmatrix} ⋅ \begin{pmatrix}-6 \\ 0\end{pmatrix}\end{vmatrix} \over \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}6 \\ -24\end{pmatrix}\end{vmatrix} ⋅ \begin{vmatrix}\begin{pmatrix}-6 \\ 0\end{pmatrix}\end{vmatrix}} = {36 \over \sqrt{612} ⋅ \sqrt{36}}\)
1p
○
\(\varphi = \cos^{-1}({36 \over \sqrt{612} ⋅ \sqrt{36}}) ≈ 76{,}0\degree\)
1p
c
[De formule voor de baansnelheid is]
\(v(t) = \begin{vmatrix}\overrightarrow{v} (t)\end{vmatrix}\)
\(\text{} = \sqrt{(x'(t))^{2} + (y'(t))^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{(-2 t - 2)^{2} + (-2 t^{2} + 8)^{2}}\)
\(\text{} = \sqrt{4 t^{4} - 28 t^{2} + 8 t + 68} \text{.}\)
1p
○
[De formule voor de baanversnelling is dan]
\(a(t) = v'(t)\)
\(\text{} = {1 \over 2 \sqrt{4 t^{4} - 28 t^{2} + 8 t + 68}} ⋅ (16 t^{3} - 56 t + 8)\)
\(\text{} = {8 t^{3} - 28 t + 4 \over \sqrt{4 t^{4} - 28 t^{2} + 8 t + 68}}\)
1p
○
[Invullen van \(t = -3\) geeft]
\(a(-3) = {-128 \over \sqrt{116}} ≈ -11{,}88\)
1p
De baan van een punt \(P\) wordt beschreven door de bewegingsvergelijkingen
\(\begin{cases}x(t) = -2 t^{3} + 14 t \\ y(t) = -t^{2} - 2 t\end{cases}\)
Zie de figuur hieronder.
3p
Toon aan dat de baan zichzelf snijdt in het punt \((12 , -3) \text{.}\)
○
[Oplossen van \(y(t) = -3\) geeft]
\(-t^{2} - 2 t = -3\)
\(-t^{2} - 2 t + 3 = 0\)
\(t^{2} + 2 t - 3 = 0\)
\((t + 3) (t - 1) = 0\)
\(t = -3 ∨ t = 1\)
1p
○
\(x(-3) = 12 \text{,}\) dus \(t = -3\) geeft het punt \((12 , -3) \text{.}\)
1p
○
\(x(1) = 12 \text{,}\) dus \(t = 1\) geeft ook het punt \((12 , -3) \text{,}\) dus de baan snijdt zichzelf in dat punt.
1p