2p
Wat is de definitie van de afgeleide functie \(f'(x) \text{?}\)
○
De afgeleide functie \(f'(x)\) is de formule van de hellingsgrafiek van \(f(x)\) en geeft dus voor iedere waarde van \(x\) de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het punt \((x , f(x)) \text{.}\)
2p
Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{x+5}+4 x \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = -4\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
2p
Bereken exact de \(y \text{-}\)coördinaat van het punt \(A \text{.}\)
○
\(f(-4) = \frac{1}{-4+5}+4 \cdot -4 = -15\)
1p
○
Dus \(y_{A} = -15 \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = (x^{2}-2) (x-6)+4 x^{2} \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = -1\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
2p
Bereken exact de coördinaten van het punt \(A \text{.}\)
○
\(f(-1) = ((-1)^{2}-2) (-1-6)+4 \cdot (-1)^{2} = 11\)
1p
○
Dus \(A (-1 , 11) \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = -4 x^{3}+\sqrt{-2 x+5} \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = -2\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
2p
Toon algebraïsch aan dat de \(y \text{-}\)coördinaat van het punt \(A\) gelijk is aan \(35 \text{.}\)
○
\(f(-2) = -4 \cdot (-2)^{3}+\sqrt{-2 \cdot -2+5} = 35\)
1p
○
Dus geldt inderdaad \(y_{A} = 35 \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{(-2 x-7)^{3}}+3 x^{2} \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = -3\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
2p
Ligt het punt \(A\) boven of onder de \(x \text{-}\)as?
○
\(f(-3) = \frac{1}{(-2 \cdot -3-7)^{3}}+3 \cdot (-3)^{2} = 26\)
1p
○
\(f(-3) > 0 \text{,}\) dus \(A\) ligt boven de \(x \text{-}\)as.
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = \sqrt{5 x-1}+3 \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = 1\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
3p
Bereken exact de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan \(f\) in het punt \(A \text{.}\)
○
\(f(x) = \sqrt{5 x-1}+3\) geeft
\(f'(x) = \frac{5}{2 \sqrt{5 x-1}}\)
2p
○
\(\text{rc} = f'(1) = \frac{5}{2 \sqrt{5 \cdot 1-1}} = 1\frac{1}{4}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = x^{3}+(x^{2}+2) (x-3) \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = 5\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
3p
Bereken exact de helling van de grafiek van \(f\) in het punt \(A \text{.}\)
○
\(f(x) = x^{3}+(x^{2}+2) (x-3)\) geeft
\(f'(x) = 6 x^{2}-6 x+2\)
2p
○
\(\text{helling} = f'(5) = 6 \cdot 5^{2}-6 \cdot 5+2 = 122\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = -3+\frac{3}{x} \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = -5\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
3p
Toon algebraïsch aan dat de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan \(f\) in het punt \(A\) gelijk is aan \(-\frac{3}{25} \text{.}\)
○
\(f(x) = -3+\frac{3}{x}\) geeft
\(f'(x) = \frac{-3}{x^{2}}\)
2p
○
\(\text{rc} = f'(-5) = \frac{-3}{(-5)^{2}} = -\frac{3}{25}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{-4 x+15}+2 x \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = 3\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
4p
Is de grafiek van \(f\) in het punt \(A\) stijgend of dalend?
○
\(f(x) = \frac{1}{-4 x+15}+2 x\) geeft
\(f'(x) = \frac{4}{(-4 x+15)^{2}}+2\)
2p
○
\(f'(3) = \frac{4}{(-4 \cdot 3+15)^{2}}+2 = 2\frac{4}{9}\)
1p
○
\(f'(3) > 0 \text{,}\) dus stijgend.
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = -5 x^{2}+\sqrt{6 x+7} \text{.}\) Het punt \(A\) met \(x_{A} = 3\) ligt op de grafiek van \(f \text{.}\)
1p
a
Bereken exact de \(y \text{-}\)coördinaat van het punt \(A \text{.}\)
3p
b
Bereken exact de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan \(f\) in het punt \(A \text{.}\)
a
\(f(3) = -5 \cdot 3^{2}+\sqrt{6 \cdot 3+7} = -40\)
1p
b
\(f(x) = -5 x^{2}+\sqrt{6 x+7}\) geeft
\(f'(x) = -10 x+\frac{3}{\sqrt{6 x+7}}\)
2p
○
\(f'(3) = -10 \cdot 3+\frac{3}{\sqrt{6 \cdot 3+7}} = -29\frac{10}{25}\)
1p