Gegeven zijn de lijnen \(k{:}\,2 x - 5 y = 4\) en \(l{:}\,-6 x + 15 y = -12 \text{.}\)
1p
Onderzoek of de lijnen samenvallen, evenwijdig zijn of snijden.
○
\(-\frac{2}{6} = -\frac{5}{15} = -\frac{4}{12} \text{,}\) dus de lijnen \(k\) en \(l\) vallen samen.
1p
Gegeven zijn de lijnen \(k{:}\,6 x + 4 y = q\) en \(l{:}\,p x + 8 y = -6 \text{.}\)
3p
Bereken voor welke \(p\) en \(q\) de lijnen geen punt gemeenschappelijk hebben.
○
\({6 \over p} = {4 \over 8} = {q \over -6}\)
1p
○
\({6 \over p} = {4 \over 8}\) geeft \(p = 12\) en \({4 \over 8} = {q \over -6}\) geeft \(q = -3\)
1p
○
Geen punt gemeenschappelijk, dus \(p = 12\) en \(q ≠ -3 \text{.}\)
1p
De lijnen \(k{:}\,2 x + 3 y = 2\) en \(l{:}\,4 x + 2 y = 0\) snijden elkaar in het punt \(S \text{.}\)
4p
Bereken de coördinaten van \(S \text{.}\)
○
\(\begin{cases}2 x + 3 y = 2 \\ 4 x + 2 y = 0\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 3\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4 x + 6 y = 4 \\ 12 x + 6 y = 0\end{cases}\)
1p
○
Aftrekken geeft \(-8 x = 4\) dus \(x = -\frac{1}{2} \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}2 x + 3 y = 2 \\ x = -\frac{1}{2}\end{rcases} \begin{matrix}2 ⋅ -\frac{1}{2} + 3 y = 2 \\ 3 y = 3 \\ y = 1\end{matrix}\)
1p
○
Dus \(S (-\frac{1}{2} , 1) \text{.}\)
1p
De lijnen \(k{:}\,4 x - 3 y = -3\) en \(l{:}\,y = 2 x + 2\) snijden elkaar in het punt \(S \text{.}\)
4p
Bereken de coördinaten van \(S \text{.}\)
○
Substitutie geeft \(4 x - 3 (2 x + 2) = -3\)
1p
○
\(4 x - 6 x - 6 = -3\)
\(-2 x = 3\)
Dus \(x = -1\frac{1}{2} \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = 2 x + 2 \\ x = -1\frac{1}{2}\end{rcases} y = 2 ⋅ -1\frac{1}{2} + 2 = -1\)
1p
○
Dus \(S (-1\frac{1}{2} , -1) \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de lijnen \(k{:}\,2 x + 5 y = 6\) en \(l{:}\,8 x + 9 y = 7 \text{.}\)
3p
Bereken de hoek tussen de lijnen \(k\) en \(l \text{.}\) Rond af op één decimaal nauwkeurig.
○
\(k{:}\,2 x + 5 y = 6\) omschrijven geeft \(y = -\frac{2}{5} x + 1\frac{1}{5}\) dus \(\text{rc}_{k} = -\frac{2}{5} \text{.}\)
\(l{:}\,8 x + 9 y = 7\) omschrijven geeft \(y = -\frac{8}{9} x + \frac{7}{9}\) dus \(\text{rc}_{l} = -\frac{8}{9} \text{.}\)
1p
○
\(\tan(\alpha ) = -\frac{2}{5}\) geeft \(\alpha = \tan^{-1}(-\frac{2}{5}) = -21{,}80...\degree \text{.}\)
\(\tan(\beta ) = -\frac{8}{9}\) geeft \(\beta = \tan^{-1}(-\frac{8}{9}) = -41{,}63...\degree \text{.}\)
1p
○
\(\varphi = \alpha - \beta = -21{,}80...\degree - -41{,}63...\degree = 19{,}83...\degree \text{,}\) dus de gevraagde hoek is \(19{,}8\degree \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de lijnen \(k{:}\,5 x + p y = 3\) en \(l{:}\,20 x - 4 y = q \text{.}\)
3p
a
Bereken voor welke \(p\) en \(q\) de lijnen geen punt gemeenschappelijk hebben.
3p
b
Bereken voor welke \(p\) en \(q\) de lijnen elkaar snijden in het punt \((3 , 6) \text{.}\)
3p
c
Neem \(p = 1\) en \(q = 2\) en bereken de hoek tussen de lijnen \(k\) en \(l \text{.}\)
Rond af op één decimaal.
a
\({5 \over 20} = {p \over -4} = {3 \over q}\)
1p
○
\({5 \over 20} = {p \over -4}\) geeft \(p = -1\) en \({5 \over 20} = {3 \over q}\) geeft \(q = 12\)
1p
○
Geen punt gemeenschappelijk, dus \(p = -1\) en \(q ≠ 12 \text{.}\)
1p
b
\(\begin{rcases}5 x + p y = 3 \\ \text{door } (3 , 6)\end{rcases}\) geeft \(5 ⋅ 3 + p ⋅ 6 = 3\)
1p
○
(oplossen)
\(15 + 6 p = 3\)
\(6 p = -12\)
\(p = -2\)
1p
○
\(\begin{rcases}20 x - 4 y = q \\ \text{door } (3 , 6)\end{rcases}\) geeft \(q = 20 ⋅ 3 - 4 ⋅ 6 = 36\)
1p
c
\(5 x + y = 3\) geeft \(y = -5 x + 3\)
\(20 x - 4 y = 2\) geeft \(y = 5 x - \frac{1}{2}\)
1p
○
\(\tan(\alpha ) = -5\) geeft \(\alpha = \tan^{-1}(-5) = -78{,}69...\degree\)
\(\tan(\beta ) = 5\) geeft \(\beta = \tan^{-1}(5) = 78{,}69...\degree\)
1p
○
\(\alpha - \beta = -78{,}69...\degree - 78{,}69...\degree = -157{,}38...\degree \text{,}\) dus de gevraagde hoek is \((180\degree - 157{,}38...\degree) = 22{,}6\degree \text{.}\)
1p
De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (7 , 1)\) en is evenwijdig aan de lijn \(k{:}\,3 x + 5 y = 9 \text{.}\)
2p
Stel een vergelijking op van lijn \(l\) in de vorm \(a x + b y = c \text{.}\)
○
\(k \parallel l \text{,}\) dus \(l{:}\,3 x + 5 y = c \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}3 x + 5 y = c \\ \text{door } A (7 , 1)\end{rcases} c = 3 ⋅ 7 + 5 ⋅ 1 = 26\)
Dus \(l{:}\,3 x + 5 y = 26 \text{.}\)
1p
De lijn \(l\) gaat door het punt \(A (-9 , 1)\) en staat loodrecht op de lijn \(k{:}\,-8 x + 6 y = 7 \text{.}\)
2p
Stel een vergelijking op van lijn \(l\) in de vorm \(a x + b y = c \text{.}\)
○
\(k \perp l \text{,}\) dus \(l{:}\,6 x + 8 y = c \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}6 x + 8 y = c \\ \text{door } A (-9 , 1)\end{rcases} c = 6 ⋅ -9 + 8 ⋅ 1 = -46\)
Dus \(l{:}\,6 x + 8 y = -46 \text{.}\)
1p