Gegeven is de functie \(f(x) = {1 \over x + 6} - 5 \text{.}\)
1p
a
Hoe ontstaat de grafiek van \(f\) uit de standaardgrafiek?
1p
b
Geef de formules van de horizontale asymptoot en de verticale asymptoot van \(f \text{.}\)
3p
c
Bepaal de coördinaten van de snijpunten van \(f\) met de \(x \text{-}\) en de \(y \text{-}\)as.
2p
d
Schets de grafiek van \(f \text{.}\)
Ook is gegeven de functie \(g(x) = 2 x + 6 \text{.}\)
4p
e
Bepaal de coördinaten van de snijpunten van \(f\) en \(g \text{.}\)
a
\(y = {1 \over x}\)
\(\downarrow \text{translatie} (-6 , -5)\)
\(f(x) = {1 \over x + 6} - 5\)
1p
b
De formules van de asymptoten zijn \(x = -6\) en \(y = -5 \text{.}\)
1p
c
\(f(0) = {1 \over 0 + 6} - 5 = -4\frac{5}{6} \text{,}\) dus het snijpunt met de \(y \text{-}\)as is \((0 , -4\frac{5}{6}) \text{.}\)
1p
○
(Voor het snijpunt met de \(x \text{-}\)as geldt) \({1 \over x + 6} - 5 = 0\)
1p
○
(Oplossen geeft)
\({1 \over x + 6} = 5\)
\(x + 6 = {1 \over 5}\)
\(x = \frac{1}{5} - 6 = -5\frac{4}{5}\)
dus het snijpunt met de \(x \text{-}\)as is \((-5\frac{4}{5} , 0) \text{.}\)
1p
d
(1p aftrek bij onjuiste labels bij de assen)
2p
e
(Gelijkstellen geeft)
\({1 \over x + 6} - 5 = 2 x + 6\)
1p
○
(Kruislings vermenigvuldigen geeft)
\({1 \over x + 6} = 2 x + 11\)
\((x + 6) (2 x + 11) = 1\)
1p
○
(Oplossen geeft)
\(2 x^{2} + 11 x + 12 x + 66 - 1 = 0\)
\(2 x^{2} + 23 x + 65 = 0\)
\(D = 23^{2} - 4 ⋅ 2 ⋅ 65 = 9\)
\(x = {-23 - \sqrt{9} \over 2 ⋅ 2} ∨ x = {-23 + \sqrt{9} \over 2 ⋅ 2}\)
\(x = -6\frac{1}{2} ∨ x = -5\)
1p
○
\(g(-6\frac{1}{2}) = -7\) en \(g(-5) = -4 \text{,}\) dus de snijpunten zijn \((-6\frac{1}{2} , -7)\) en \((-5 , -4) \text{.}\)
1p