4p
Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen.
○
Rasterpunten \((1 , 400)\) en \((8 , 9\,000)\) aflezen.
1p
○
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({9\,000 \over 400})^{{1 \over 8 - 1}} = 1{,}560...\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}560...^{x} \\ x = 1 \text{ en } y = 400{,}00\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}560...^{1} = 400{,}00 \\ b = {400{,}00 \over 1{,}560...^{1}} \\ b = 256{,}384...\end{matrix}\)
1p
○
\(y = 256 ⋅ 1{,}560^{x} \text{.}\)
1p
Gegeven is de volgende tabel.
\(x\) | \(2\,020\) | \(2\,021\) | \(2\,022\) | \(2\,023\) |
\(y\) | \(16{,}97\) | \(21{,}55\) | \(27{,}37\) | \(34{,}76\) |
3p
a
Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.
3p
b
Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,020 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.
a
\({21{,}55 \over 16{,}97} ≈ 1{,}27\)
1p
○
\({27{,}37 \over 21{,}55} ≈ 1{,}27\)
\({34{,}76 \over 27{,}37} ≈ 1{,}27\)
1p
○
De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.
1p
b
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}27\)
1p
○
\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 16{,}97 \text{.}\)
1p
○
Dus \(y = 16{,}97 ⋅ 1{,}27^{x} \text{.}\)
1p
Gegeven is de volgende tabel.
\(x\) | \(2\,009\) | \(2\,014\) | \(2\,017\) | \(2\,023\) | \(2\,024\) |
\(y\) | \(541{,}43\) | \(177{,}42\) | \(90{,}84\) | \(23{,}81\) | \(19{,}05\) |
3p
a
Toon aan dat de tabel bij een exponentieel verband hoort.
3p
b
Stel de formule op van \(y \text{.}\) Neem \(x = 0\) in \(2\,007 \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.
a
\(g = ({177{,}42 \over 541{,}43})^{{1 \over 2\,014 - 2\,009}} ≈ 0{,}80\)
1p
○
\(g = ({90{,}84 \over 177{,}42})^{{1 \over 2\,017 - 2\,014}} ≈ 0{,}80\)
\(g = ({23{,}81 \over 90{,}84})^{{1 \over 2\,023 - 2\,017}} ≈ 0{,}80\)
\(g = ({19{,}05 \over 23{,}81})^{{1 \over 2\,024 - 2\,023}} ≈ 0{,}80\)
1p
○
De groeifactoren zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.
1p
b
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 0{,}8\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}8^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 541{,}43\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}8^{2} = 541{,}43 \\ b = {541{,}43 \over 0{,}8^{2}} \\ b ≈ 845{,}98\end{matrix}\)
1p
○
Dus \(y = 845{,}98 ⋅ 0{,}80^{x} \text{.}\)
1p
3p
Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af met \(2{,}2\%\) per jaar. Op \(x = 0\) is \(y = 510 \text{.}\) Hierbij is \(x\) in jaren.
Stel de formule van \(y\) op.
○
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g_{\text{jaar}} = 1 - {2{,}2 \over 100} = 0{,}978 \text{.}\)
1p
○
De beginwaarde is de hoeveelheid bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 510 \text{.}\)
1p
○
\(y = 510 ⋅ 0{,}978^{x} \text{.}\)
1p
3p
Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel af. Bij \(x = 2\) is \(y = 452\) en bij \(x = 5\) is \(y = 392 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.
○
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({392 \over 452})^{{1 \over 5 - 2}} = 0{,}953...\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}953...^{x} \\ x = 2 \text{ en } y = 452\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 0{,}953...^{2} = 452 \\ b = {452 \over 0{,}953...^{2}} ≈ 497\end{matrix}\)
1p
○
\(y = 497 ⋅ 0{,}954^{x} \text{.}\)
1p
3p
Een hoeveelheid \(y\) neemt exponentiëel toe. Bij \(x = 4\) is \(y = 349\) en bij \(x = 7\) is \(y = 400 \text{.}\)
Stel de formule van \(y\) op.
○
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({400 \over 349})^{{1 \over 7 - 4}} = 1{,}046...\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = b ⋅ 1{,}046...^{x} \\ x = 4 \text{ en } y = 349\end{rcases} \begin{matrix}b ⋅ 1{,}046...^{4} = 349 \\ b = {349 \over 1{,}046...^{4}} ≈ 291\end{matrix}\)
1p
○
\(y = 291 ⋅ 1{,}047^{x} \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de punten \((4 , 9)\) en \((6 , 5) \text{.}\)
3p
a
Schrijf \(y\) als lineaire formule van \(x\) door de gegeven punten.
3p
b
Schrijf \(y\) als exponentiële formule van \(x\) door de gegeven punten.
a
\(y = a x + b\) met \(a = {\Delta y \over \Delta x} = {5 - 9 \over 6 - 4} = -2\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = -2 x + b \\ \text{door } (4 , 9)\end{rcases} \begin{matrix}-2 ⋅ 4 + b = 9 \\ -8 + b = 9 \\ b = 17\end{matrix}\)
1p
○
Dus \(l{:}\,y = -2 x + 17\)
1p
b
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = ({5 \over 9})^{{1 \over 6 - 4}} = 0{,}745...\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = b ⋅ 0{,}745...^{x} \\ \text{door } (4 , 9)\end{rcases} \begin{matrix}9 = b ⋅ 0{,}745...^{4} \\ b = {9 \over 0{,}745...^{4}} \\ b = 29{,}16\end{matrix}\)
1p
○
Dus \(y = 29{,}16 ⋅ 0{,}745^{x} \text{.}\)
1p
Gegeven is de volgende tabel.
\(x\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
\(y\) | \(10{,}11\) | \(11{,}02\) | \(12{,}01\) | \(13{,}09\) |
3p
a
Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort.
3p
b
Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.
a
\({11{,}02 \over 10{,}11} ≈ 1{,}09\)
1p
○
\({12{,}01 \over 11{,}02} ≈ 1{,}09\)
\({13{,}09 \over 12{,}01} ≈ 1{,}09\)
1p
○
De quotiënten zijn bij benadering gelijk, dus de tabel hoort bij een exponentieel verband.
1p
b
\(y = b ⋅ g^{x}\) met \(g = 1{,}09\)
1p
○
\(b\) is de waarde bij \(x = 0 \text{,}\) dus \(b = 10{,}11 \text{.}\)
1p
○
Dus \(y = 10{,}11 ⋅ 1{,}09^{x} \text{.}\)
1p
Gegeven is de volgende tabel.
\(x\) | \(2\) | \(3\) | \(7\) | \(13\) | \(16\) |
\(y\) | \(19{,}65\) | \(21{,}39\) | \(28{,}35\) | \(38{,}79\) | \(44{,}01\) |
3p
a
Onderzoek of bij de tabel bij een lineair of een exponentieel verband hoort.
3p
b
Stel de formule op van \(y \text{.}\) Rond af op 2 decimalen.
a
\({\Delta y \over \Delta x} = {21{,}39 - 19{,}65 \over 3 - 2} = 1{,}74\)
1p
○
\({\Delta y \over \Delta x} = {28{,}35 - 21{,}39 \over 7 - 3} = 1{,}74\)
\({\Delta y \over \Delta x} = {38{,}79 - 28{,}35 \over 13 - 7} = 1{,}74\)
\({\Delta y \over \Delta x} = {44{,}01 - 38{,}79 \over 16 - 13} = 1{,}74\)
1p
○
De gemiddelde verandering is steeds hetzelfde, dus de tabel hoort bij een lineair verband.
1p
b
\(y = a x + b\) met \(a = 1{,}74\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = 1{,}74 x + b \\ x = 2 \text{ en } y = 19{,}65\end{rcases} \begin{matrix}1{,}74 ⋅ 2 + b = 19{,}65 \\ 3{,}48 + b = 19{,}65 \\ b = 16{,}17\end{matrix}\)
1p
○
Dus \(y = 1{,}74 x + 16{,}17\)
1p
3p
Geef de coördinaten van de punten \(A \text{,}\) \(B\) en \(C \text{.}\)
○
Punt \(\text{A} (2 , 30) \text{.}\)
1p
○
Punt \(\text{B} (5 , 900) \text{.}\)
1p
○
Punt \(\text{C} (9 , 8\,000) \text{.}\)
1p
5p
Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = b ⋅ g^{x} \text{.}\) Geef \(b\) in gehelen en \(g\) in 3 decimalen.
○
Rasterpunten \((2 , 4)\) en \((6 , 5)\) aflezen.
1p
○
\(\log(y) = a x + b\) met \(a = {\Delta \log(y) \over \Delta x} = {5 - 4 \over 6 - 2} = \frac{1}{4}\)
1p
○
\(\begin{rcases}\log(y) = \frac{1}{4} x + b \\ \text{door } (2 , 4)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{1}{4} ⋅ 2 + b = 4 \\ \frac{2}{4} + b = 4 \\ b = 3\frac{1}{2}\end{matrix}\)
1p
○
\(\log(y) = \frac{1}{4} x + 3\frac{1}{2}\)
\(y = 10^{\frac{1}{4} x + 3\frac{1}{2}}\)
1p
○
\(y = 10^{\frac{1}{4} x} ⋅ 10^{3\frac{1}{2}}\)
\(\text{ } = 10^{3\frac{1}{2}} ⋅ (10^{\frac{1}{4}})^{x}\)
\(\text{ } = 3\,162 ⋅ 1{,}778^{x}\)
1p
5p
Stel bij de grafiek de formule op in de vorm \(y = a x^{b} \text{.}\) Geef \(a\) in gehelen en \(b\) in 2 decimalen.
○
Rasterpunten \((1 , 3)\) en \((4 , 5)\) aflezen.
1p
○
\(\log(y) = a ⋅ \log(x) + b\) met \(a = {\Delta \log(y) \over \Delta \log(x)} = {5 - 3 \over 4 - 1} = \frac{2}{3}\)
1p
○
\(\begin{rcases}\log(y) = \frac{2}{3} ⋅ \log(x) + b \\ \text{door } (1 , 3)\end{rcases} \begin{matrix}\frac{2}{3} ⋅ 1 + b = 3 \\ \frac{2}{3} + b = 3 \\ b = 2\frac{1}{3}\end{matrix}\)
1p
○
\(\log(y) = \frac{2}{3} ⋅ \log(x) + 2\frac{1}{3}\)
\(\log(y) = \log(x^{\frac{2}{3}}) + \log(10^{2\frac{1}{3}})\)
\(\log(y) = \log(10^{2\frac{1}{3}} ⋅ x^{\frac{2}{3}})\)
1p
○
\(y = 10^{2\frac{1}{3}} ⋅ x^{\frac{2}{3}}\)
\(y = 215 ⋅ x^{0{,}67}\)
1p
3p
Teken de punten \(A (2 , 800) \text{,}\) \(B (6 , 10)\) en \(C (8 , 3) \text{.}\)
○
3p
1p
a
Welk soort verband tussen \(x\) en \(y\) is weergegeven in de bovenstaande grafiek?
1p
b
Welke formule hoort er bij dat verband?
a
De grafiek hoort bij een lineair verband.
1p
b
Hierbij hoort de formule \(y = a x + b \text{.}\)
1p