Voor elke waarde van \(p\) is de functie \(f_{p}\) gegeven door \(f_{p} (x) = x^{2} + p x + 7 \text{.}\)
3p
a
Bereken exact voor welke \(p\) het minimum van \(f_{p}\) positief is.
3p
b
Stel de formule op van de kromme waarop alle toppen van de grafieken van de functies \(f_{p}\) liggen.
a
Voor elke \(p\) is de grafiek van \(f_{p}\) een dalparabool, dus \(D < 0\) (want voor een positief minimum moet een dalparabool geen snijpunten hebben met de \(x \text{-}\)as).
1p
○
\(D = p^{2} - 4 ⋅ 1 ⋅ 7 = p^{2} - 28\)
1p
○
(\(D < 0\) geeft)
\(p^{2} - 28 < 0\)
\(p^{2} < 28\)
\(-2 \sqrt{7} < p < 2 \sqrt{7}\)
1p
b
\(x_{\text{top}} = {-p \over 2 ⋅ 1} = {-p \over 2}\)
1p
○
Hieruit volgt \(p = -2 x\)
1p
○
(Substitutie van \(p = -2 x\) in \(y = x^{2} + p x + 7\) geeft)
\(y = x^{2} - 2 x ⋅ x + 7\)
\(y = x^{2} - 2 x^{2} + 7\)
\(y = -x^{2} + 7\)
1p
Voor elke waarde van \(p ≠ 0\) is de functie \(f_{p}\) gegeven door \(f_{p} (x) = p x^{2} - 5 x + 3 \text{.}\)
3p
a
Bereken exact voor welke \(p\) de grafiek van \(f_{p}\) twee snijpunten met de \(x \text{-}\)as heeft.
3p
b
Stel de formule op van de kromme waarop alle toppen van de grafieken van de functies \(f_{p}\) liggen.
a
Twee snijpunten met de \(x \text{-}\)as betekent \(D > 0 \text{.}\)
1p
○
\(D = (-5)^{2} - 4 ⋅ p ⋅ 3 = 25 - 12 p\)
1p
○
(\(D > 0\) geeft)
\(25 - 12 p > 0\)
\(-12 p > -25\)
\(p < 2\frac{1}{12}\)
1p
b
\(x_{\text{top}} = {5 \over 2 p}\)
1p
○
Hieruit volgt \(p = {5 \over 2 x}\)
1p
○
(Substitutie van \(p = {5 \over 2 x}\) in \(y = p x^{2} - 5 x + 3\) geeft)
\(y = {5 \over 2 x} ⋅ x^{2} - 5 x + 3\)
\(y = 2\frac{1}{2} x - 5 x + 3\)
\(y = -2\frac{1}{2} x + 3\)
1p
Voor elke waarde van \(p\) is de functie \(f_{p}\) gegeven door \(f_{p} (x) = \frac{1}{2} x^{2} + p x + 7 \text{.}\)
3p
Bereken exact voor welke \(p\) het minimum \(5\) is.
○
\(x_{\text{top}} = {-p \over 2 ⋅ \frac{1}{2}} = -p\)
1p
○
\(y_{\text{top}} = f_{p} (-p)\)
\(\text{} = \frac{1}{2} ⋅ (-p)^{2} + p ⋅ -p + 7\)
\(\text{} = \frac{1}{2} ⋅ p^{2} - p^{2} + 7\)
\(\text{} = -\frac{1}{2} p^{2} + 7\)
1p
○
(Het minimum is \(5\) geeft)
\(-\frac{1}{2} p^{2} + 7 = 5\)
\(-\frac{1}{2} p^{2} = -2\)
\(p^{2} = 4\)
\(p = 2 ∨ p = -2\)
1p
Voor elke waarde van \(p\) is de functie \(f_{p}\) gegeven door \(f_{p} (x) = -2 x^{2} + p x + 1 \text{.}\)
4p
Bereken exact voor welke \(p\) de top van de grafiek van \(f_{p}\) op de lijn \(y = x + 2\) ligt.
○
\(x_{\text{top}} = {-p \over 2 ⋅ -2} = \frac{1}{4} p\)
1p
○
\(y_{\text{top}} = f_{p} (\frac{1}{4} p)\)
\(\text{} = -2 ⋅ (\frac{1}{4} p)^{2} + p ⋅ \frac{1}{4} p + 1\)
\(\text{} = -2 ⋅ \frac{1}{16} p^{2} + \frac{1}{4} p^{2} + 1\)
\(\text{} = \frac{1}{8} p^{2} + 1\)
1p
○
\(\begin{rcases}(\frac{1}{4} p , \frac{1}{8} p^{2} + 1) \\ y = x + 2\end{rcases} \begin{matrix}\frac{1}{8} p^{2} + 1 = \frac{1}{4} p + 2\end{matrix}\)
1p
○
\(\frac{1}{8} p^{2} - \frac{1}{4} p - 1 = 0\)
\(p^{2} - 2 p - 8 = 0\)
\((p + 2) (p - 4) = 0\)
\(p = -2 ∨ p = 4\)
1p
Van de functie \(f_{p} (x) = p x^{2} - 4 x + 4\) is de extreme waarde \(12 \text{.}\)
3p
a
Bereken exact de waarde van \(p \text{.}\)
1p
b
Is de extreme waarde een maximum of een minimum? Licht toe.
a
\(x_{\text{top}} = {4 \over 2 ⋅ p} = {2 \over p}\)
1p
○
\(y_{\text{top}} = f_{p} ({2 \over p})\)
\(\text{} = p ⋅ ({2 \over p})^{2} - 4 ⋅ {2 \over p} + 4\)
\(\text{} = p ⋅ {4 \over p^{2}} - {8 \over p} + 4\)
\(\text{} = {4 \over p} - {8 \over p} + 4\)
\(\text{} = -{4 \over p} + 4\)
1p
○
(De extreme waarde is \(12\) geeft)
\(-{4 \over p} + 4 = 12\)
\(-{4 \over p} = 8\)
\(p = {-4 \over 8} = -\frac{1}{2}\)
1p
b
\(f_{-\frac{1}{2}} (x) = -\frac{1}{2} x^{2} - 4 x + 4\)
De grafiek is een bergparabool, dus de extreme waarde is een maximum.
1p
Bereken exact voor welke \(p\) de vergelijking
4p
\(-4 x^{2} - x + p = 7\) één oplossing heeft.
○
Één oplossing betekent \(D = 0 \text{.}\)
1p
○
\(-4 x^{2} - x + p = 7\)
\(-4 x^{2} - x + p - 7 = 0\)
\(D = (-1)^{2} - 4 ⋅ -4 ⋅ (p - 7)\)
1p
○
\(D = 1 + 16 (p - 7)\)
\(\text{} = 1 + 16 p - 112\)
\(\text{} = 16 p - 111\)
1p
○
(\(D = 0\) geeft)
\(16 p - 111 = 0\)
\(16 p = 111\)
\(p = 6\frac{15}{16}\)
1p
Bereken exact voor welke \(p\) de vergelijking
3p
\(x^{2} + p x + 7 = 2\) geen oplossingen heeft.
○
Geen oplossingen betekent \(D < 0 \text{.}\)
1p
○
\(x^{2} + p x + 7 = 2\)
\(x^{2} + p x + 5 = 0\)
\(D = p^{2} - 4 ⋅ 1 ⋅ 5 = p^{2} - 20\)
1p
○
(\(D < 0\) geeft)
\(p^{2} - 20 < 0\)
\(p^{2} < 20\)
\(-2 \sqrt{5} < p < 2 \sqrt{5}\)
1p
Bereken exact voor welke \(p\) de vergelijking
4p
\(p x^{2} + 4 x - 3 = 1\) geen oplossingen heeft.
○
Als \(p ≠ 0\) dan heeft de vergelijking geen oplossingen als \(D < 0 \text{.}\)
1p
○
\(p x^{2} + 4 x - 3 = 1\)
\(p x^{2} + 4 x - 4 = 0\)
\(D = 4^{2} - 4 ⋅ p ⋅ -3 = 16 + 12 p\)
1p
○
(\(D < 0\) geeft)
\(16 + 12 p < 0\)
\(12 p < -16\)
\(p < -1\frac{1}{3}\)
1p
○
Als \(p = 0\) dan geeft wordt de vergelijking \(4 x - 3 = 0\) en deze heeft één oplossing.
Dus geen oplossingen voor \(p < -1\frac{1}{3}\)
1p