Gegeven is de functie \(f(x) = \frac{1}{5} x^{5} - 1\frac{2}{3} x^{3} + 6 x \text{.}\)
4p
Toon aan dat \(f\) een extreme waarde heeft voor \(x = \sqrt{3} \text{.}\)
○
\(f'(x) = x^{4} - 5 x^{2} + 6\)
1p
○
\(f'(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^{4} - 5 (\sqrt{3})^{2} + 6 = 0\)
1p
○
Schets:
1p
○
\(f'(\sqrt{3}) = 0\) en in de schets is te zien dat de grafiek van \(f\) een top heeft voor \(x = \sqrt{3} \text{,}\) dus \(f\) heeft een extreme waarde voor \(x = \sqrt{3} \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = -2 x^{3} + 21 x^{2} - 60 x - 16 \text{.}\)
4p
Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\)
○
\(f'(x) = -6 x^{2} + 42 x - 60\)
1p
○
\(f'(x) = 0\) geeft
\(-6 x^{2} + 42 x - 60 = 0\)
\(x^{2} - 7 x + 10 = 0\)
\((x - 2) (x - 5) = 0\)
\(x = 2 ∨ x = 5\)
1p
○
Schets:
1p
○
min. is \(f(2) = -68\) en max. is \(f(5) = -41 \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = 3 x^{4} + 8 x^{3} - 18 x^{2} + 39 \text{.}\)
4p
Bereken exact de extreme waarden van \(f \text{.}\)
○
\(f'(x) = 12 x^{3} + 24 x^{2} - 36 x\)
1p
○
\(f'(x) = 0\) geeft
\(12 x^{3} + 24 x^{2} - 36 x = 0\)
\(x^{3} + 2 x^{2} - 3 x = 0\)
\(x (x + 3) (x - 1) = 0\)
\(x = 0 ∨ x = -3 ∨ x = 1\)
1p
○
Schets:
1p
○
min. is \(f(-3) = -96 \text{,}\) max. is \(f(0) = 39\) en min. is \(f(1) = 32 \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = \sqrt{2 x} - \frac{1}{5} x \text{.}\)
6p
a
Bereken exact de top van \(f \text{.}\)
2p
b
Bepaal exact het bereik en het domein van \(f \text{.}\)
a
\(f(x) = \sqrt{2 x} - \frac{1}{5} x = (2 x)^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{5} x\) geeft
\(f'(x) = \frac{1}{2} ⋅ (2 x)^{-\frac{1}{2}} ⋅ 2 - \frac{1}{5} = {1 \over \sqrt{2 x}} - \frac{1}{5} \text{.}\)
2p
○
\(f'(x) = 0\) geeft
\({1 \over \sqrt{2 x}} - \frac{1}{5} = 0\)
\({1 \over \sqrt{2 x}} = \frac{1}{5}\)
Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(\sqrt{2 x} = 5\)
1p
○
Kwadrateren geeft
\(2 x = 25\)
\(x = 12\frac{1}{2}\)
1p
○
Schets:
1p
○
max. is \(f(12\frac{1}{2}) = 2\frac{1}{2} \text{.}\)
1p
b
\(2 x ≥ 0\) geeft \(x ≥ 0 \text{,}\) dus \(D_{f} = [0 , \rightarrow ⟩ \text{.}\)
1p
○
max. is \(f(12\frac{1}{2}) = 2\frac{1}{2} \text{,}\) dus \(B_{f} = ⟨\leftarrow , 2\frac{1}{2}] \text{.}\)
1p
Gegeven is de functie \(f(x) = {4 x^{2} + 2 x + 49 \over 9 x} \text{.}\)
5p
Bereken de extreme waarden van \(f \text{.}\)
○
Uitdelen geeft
\(f(x) = {4 x^{2} + 2 x + 49 \over 9 x} = {4 x^{2} \over 9 x} + {2 x \over 9 x} + {49 \over 9 x} = \frac{4}{9} x + \frac{2}{9} + \frac{49}{9} x^{-1}\)
De afgeleide is dan
\(f'(x) = \frac{4}{9} + \frac{49}{9} ⋅ -1 ⋅ x^{-2} = \frac{4}{9} - {49 \over 9 x^{2}} \text{.}\)
2p
○
\(f'(x) = 0\) geeft
\(\frac{4}{9} - {49 \over 9 x^{2}} = 0\)
\(\frac{4}{9} = {49 \over 9 x^{2}}\)
Kruislings vermenigvuldigen geeft
\(36 x^{2} = 441\)
\(x^{2} = \frac{49}{4}\)
\(x = \sqrt{\frac{49}{4}} = 3\frac{1}{2} ∨ x = -\sqrt{\frac{49}{4}} = -3\frac{1}{2}\)
1p
○
Schets:
1p
○
min. is \(f(-3\frac{1}{2}) = -2\frac{8}{9}\) en max. is \(f(3\frac{1}{2}) = 3\frac{1}{3} \text{.}\)
1p