Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 8 x + 2 y + 12 = 0 \text{.}\)
De punten \(A\) en \(B\) met \(x_{A} = x_{B} = -3\) en \(y_{A} > y_{B}\) liggen op \(c \text{.}\)
2p
Bereken de coördinaten van \(A\) en van \(B \text{.}\)
○
\(x = -3\) invullen in de vergelijking van \(c\) geeft
\((-3)^{2} + y^{2} + 8 ⋅ -3 + 2 y + 12 = 0 \text{.}\)
1p
○
De vergelijking oplossen geeft
\(y^{2} + 2 y - 3 = 0\)
\((y + 3) (y - 1) = 0\)
\(y = -3 ∨ y = 1\)
\(y_{A} > y_{B} \text{,}\) dus \(A (-3 , 1)\) en \(B (-3 , -3) \text{.}\)
1p
Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y - 11 = 0 \text{.}\)
2p
Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c \text{.}\)
○
Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y - 11 = 0\)
\((x + 2)^{2} - 4 + (y - 1)^{2} - 1 - 11 = 0\)
\((x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 16 \text{.}\)
1p
○
Dus \(M (-2 , 1)\) en \(r = \sqrt{16} = 4 \text{.}\)
1p
Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 3 x + 6 y + 3 = 0 \text{.}\)
2p
Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c \text{.}\)
○
Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} - 3 x + 6 y + 3 = 0\)
\((x - 1\frac{1}{2})^{2} - 2\frac{1}{4} + (y + 3)^{2} - 9 + 3 = 0\)
\((x - 1\frac{1}{2})^{2} + (y + 3)^{2} = 8\frac{1}{4} \text{.}\)
1p
○
Dus \(M (1\frac{1}{2} , -3)\) en \(r = \sqrt{8\frac{1}{4}} \text{.}\)
1p
Gegeven is de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} - 2 y - 48 = 0 \text{.}\)
2p
Bepaal de coördinaten van het middelpunt \(M\) en de straal \(r\) van cirkel \(c \text{.}\)
○
Kwadraatafsplitsen geeft
\(x^{2} + y^{2} - 2 y - 48 = 0\)
\(x^{2} + (y - 1)^{2} - 1 - 48 = 0\)
\(x^{2} + (y - 1)^{2} = 49 \text{.}\)
1p
○
Dus \(M (0 , 1)\) en \(r = \sqrt{49} = 7 \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de punten \(A (7 , -6)\) en \(B (1 , -3) \text{.}\)
3p
Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middellijn \(A\kern{-.8pt}B \text{.}\)
○
Het middelpunt \(M\) is het midden van \(A\kern{-.8pt}B \text{,}\) dus
\(M ({1 \over 2} (7 + 1) , {1 \over 2} (-6 + -3)) = M (4 , -4\frac{1}{2}) \text{.}\)
1p
○
\(r = d(M , A) = \sqrt{(4 - 7)^{2} + (-4\frac{1}{2} - -6)^{2}} = \sqrt{11\frac{1}{4}} \text{.}\)
1p
○
\(c{:}\,(x - 4)^{2} + (y + 4\frac{1}{2})^{2} = 11\frac{1}{4} \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de punten \(M (-2 , -4)\) en \(A (-1 , 1) \text{.}\)
2p
Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die door het punt \(A\) gaat.
○
\(r = d(M , A) = \sqrt{(-2 - -1)^{2} + (-4 - 1)^{2}} = \sqrt{26} \text{.}\)
1p
○
\(c{:}\,(x + 2)^{2} + (y + 4)^{2} = 26 \text{.}\)
1p
Gegeven is het punt \(M (-3 , 5) \text{.}\)
1p
Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(6 \text{.}\)
○
\(c{:}\,(x + 3)^{2} + (y - 5)^{2} = 36 \text{.}\)
1p
Gegeven is het punt \(M (6 , 0) \text{.}\)
1p
Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(5 \text{.}\)
○
\(c{:}\,(x - 6)^{2} + y^{2} = 25 \text{.}\)
1p
Gegeven is het punt \(M (-4 , -7) \text{.}\)
2p
Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) en straal \(3 \text{.}\)
Geef het antwoord in de vorm \(x^{2} + y^{2} + a x + b y + c = 0 \text{.}\)
○
\(c{:}\,(x + 4)^{2} + (y + 7)^{2} = 9 \text{.}\)
1p
○
Haakjes wegwerken geeft
\(x^{2} + 8 x + 16 + y^{2} + 14 y + 49 = 9\)
en dus
\(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 8 x + 14 y + 56 = 0 \text{.}\)
1p
Er zijn twee cirkels \(c_{1}\) en \(c_{2}\) waarvan het middelpunt op de lijn \(l{:}\,y = 2 x + 5\) ligt, die straal \(4\) hebben en die de \(x \text{-}\)as raken.
4p
Stel van zowel \(c_{1}\) als \(c_{2}\) een vergelijking op.
○
De cirkels raken de \(x \text{-}\)as en hebben straal \(4 \text{,}\) dus \(y_{M} = 4\) of \(y_{M} = -4 \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = 2 x + 5 \\ y_{M} = 4\end{rcases} \text{ geeft } 2 x + 5 = 4 \text{ dus } x_{M} = -\frac{1}{2}\)
1p
○
Middelpunt \(M_{1} (-\frac{1}{2} , 4)\) en straal \(r = 4 \text{,}\) dus
\(c_{1}{:}\,(x + \frac{1}{2})^{2} + (y - 4)^{2} = 16\)
1p
○
Op dezelfde manier geldt dat
\(\begin{rcases}y = 2 x + 5 \\ y_{M} = -4\end{rcases} \text{ geeft } 2 x + 5 = -4 \text{ dus } x_{M} = -4\frac{1}{2}\)
Middelpunt \(M_{2} (-4\frac{1}{2} , -4)\) en straal \(r = 4 \text{,}\) dus
\(c_{2}{:}\,(x + 4\frac{1}{2})^{2} + (y + 4)^{2} = 16\)
1p
Gegeven is het punt \(M (-3 , -2) \text{.}\)
2p
Stel de vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(M\) die raakt aan de \(x \text{-}\)as.
○
Cirkel \(c\) raakt aan de \(x \text{-}\)as, dus \(r = d(M , x \text{-as}) = 2 \text{.}\)
1p
○
\(c{:}\,(x + 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 4 \text{.}\)
1p
Gegeven zijn het punt \(A (4 , -3)\) en de lijn \(l{:}\,x - 2 y = -5 \text{.}\)
5p
Stel een vergelijking op van de cirkel \(c\) met middelpunt \(A (4 , -3)\) die de lijn \(l{:}\,x - 2 y = -5\) raakt.
○
De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,-2 x - y = c \\ A (4 , -3)\end{rcases} c = -2 ⋅ 4 - 1 ⋅ -3 = -5\)
Dus \(n{:}\,-2 x - y = -5 \text{.}\)
1p
○
\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\)
\(\begin{cases}x - 2 y = -5 \\ -2 x - y = -5\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2 x - 4 y = -10 \\ -2 x - y = -5\end{cases}\)
Optellen geeft \(-5 y = -15\) dus \(y = 3 \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}x - 2 y = -5 \\ y = 3\end{rcases} \begin{matrix}x - 2 ⋅ 3 = -5 \\ x = 1\end{matrix}\)
Dus \(S (1 , 3) \text{.}\)
1p
○
\(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(4 - 1)^{2} + (-3 - 3)^{2}} = \sqrt{45} \text{.}\)
1p
○
\(A (4 , -3)\) en \(r = d(A , l) = \sqrt{45} \text{,}\) dus
\(c{:}\,(x - 4)^{2} + (y + 3)^{2} = 45 \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de lijn \(l{:}\,x - 3 y = -4\) en de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 2 x + 8 y - 28 = 0 \text{.}\)
4p
Bereken exact de coördinaten van de snijpunten van \(l\) en \(c \text{.}\)
○
Omschrijven van \(l\) geeft \(x = 3 y - 4 \text{.}\)
Substitutie in \(x^{2} + y^{2} + 2 x + 8 y - 28 = 0\) geeft
\((3 y - 4)^{2} + y^{2} + 2 (3 y - 4) + 8 y - 28 = 0 \text{.}\)
1p
○
Haakjes wegwerken geeft
\(9 y^{2} - 24 y + 16 + y^{2} + 6 y - 8 + 8 y - 28 = 0\)
\(10 y^{2} - 10 y - 20 = 0 \text{.}\)
1p
○
Oplossen van de vergelijking geeft
\(y^{2} - y - 2 = 0\)
\((y + 1) (y - 2) = 0\)
Dus \(y = -1 ∨ y = 2 \text{.}\)
1p
○
Invullen van \(y = -1\) in \(x = 3 y - 4\) geeft \(x = -7 \text{,}\) dus snijpunt \((-7 , -1) \text{.}\)
Invullen van \(y = 2\) geeft \(x = 2 \text{,}\) dus snijpunt \((2 , 2) \text{.}\)
1p