Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x + 5)^{2} + (y - 3)^{2} = 4\) en de lijn \(l{:}\,2 x + y = -2 \text{.}\)
6p
Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(l \text{.}\)
○
\(M (-5 , 3)\) en \(r = 2 \text{.}\)
1p
○
De lijn \(n\) gaat door \(M\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,x - 2 y = c \\ M (-5 , 3)\end{rcases} c = 1 ⋅ -5 - 2 ⋅ 3 = -11\)
Dus \(n{:}\,x - 2 y = -11 \text{.}\)
1p
○
\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\)
\(\begin{cases}2 x + y = -2 \\ x - 2 y = -11\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}1 \\ 2\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}2 x + y = -2 \\ 2 x - 4 y = -22\end{cases}\)
Aftrekken geeft \(5 y = 20\) dus \(y = 4 \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}2 x + y = -2 \\ y = 4\end{rcases} \begin{matrix}2 x + 1 ⋅ 4 = -2 \\ x = -3\end{matrix}\)
Dus \(S (-3 , 4) \text{.}\)
1p
○
\(d(M , l) = d(M , S) = \sqrt{(-5 - -3)^{2} + (3 - 4)^{2}} = \sqrt{5} \text{.}\)
1p
○
\(d(c , l) = d(M , l) - r = \sqrt{5}-2 = -2+\sqrt{5} \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,x^{2} + y^{2} + 6 x + 4 y + 6 = 0\) en het punt \(A (-5 , -4) \text{.}\)
3p
Bereken exact de afstand tussen \(c\) en \(A \text{.}\)
○
Kwadraatafsplitsen geeft \((x + 3)^{2} + (y + 2)^{2} = 7\)
Dus \(M (-3 , -2)\) en \(r = \sqrt{7} \text{.}\)
1p
○
\(d(M , A) = \sqrt{(-3 - -5)^{2} + (-2 - -4)^{2}} = \sqrt{8} \text{.}\)
1p
○
Er geldt \(d(M , A) > r \text{,}\) dus \(d(c , A) = d(M , A) - r = \sqrt{8} - \sqrt{7} \text{.}\)
1p
Gegeven zijn het punt \(A (5 , 4)\) en de lijn \(l{:}\,2 x + 4 y = 1 \text{.}\)
4p
Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l \text{.}\)
○
De lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{.}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,4 x - 2 y = c \\ A (5 , 4)\end{rcases} c = 4 ⋅ 5 - 2 ⋅ 4 = 12\)
Dus \(n{:}\,4 x - 2 y = 12 \text{.}\)
1p
○
\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{.}\)
\(\begin{cases}2 x + 4 y = 1 \\ 4 x - 2 y = 12\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4 x + 8 y = 2 \\ 4 x - 2 y = 12\end{cases}\)
Aftrekken geeft \(10 y = -10\) dus \(y = -1 \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}2 x + 4 y = 1 \\ y = -1\end{rcases} \begin{matrix}2 x + 4 ⋅ -1 = 1 \\ x = 2\frac{1}{2}\end{matrix}\)
Dus \(S (2\frac{1}{2} , -1) \text{.}\)
1p
○
\(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(5 - 2\frac{1}{2})^{2} + (4 - -1)^{2}} = \sqrt{31\frac{1}{4}} \text{.}\)
1p
Gegeven zijn het punt \(A (4 , 8)\) en de lijn \(l{:}\,9 x - 2 y = -3 \text{.}\)
1p
Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(l \text{.}\)
○
\(d(A , l) = \frac{\vert 9 \cdot 4-16+3 \vert}{\sqrt{9^{2}+(-2)^{2}}} = \frac{23}{\sqrt{85}} = {23 \over 85} \sqrt{85}\)
1p
Hieronder zijn de cirkel \(c \text{: } (x - 5)^{2} + (y - 1)^{2} = 8 \text{,}\) de lijn \(l{:}\,x + 4 y = -29\) en het punt \(A (0 , -3)\) getekend.
8p
Bepaal op algebraïsche wijze of \(A\) dichter bij \(c\) of dichter bij \(l\) ligt.
○
\(M (5 , 1)\) en \(r = \sqrt{8} \text{.}\)
1p
○
\(d(A , M) = \sqrt{(0 - 5)^{2} + (-3 - 1)^{2}} = \sqrt{41}\)
1p
○
\(d(A , c) = d(A , M) - r = \sqrt{41} - \sqrt{8} = 3{,}574...\)
1p
○
(lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{)}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,4 x - y = c \\ A (0 , -3)\end{rcases} c = 4 ⋅ 0 - 1 ⋅ -3 = 3\)
1p
○
(\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{)}\)
\(\begin{cases}x + 4 y = -29 \\ 4 x - y = 3\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}4 \\ 1\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}4 x + 16 y = -116 \\ 4 x - y = 3\end{cases}\)
Aftrekken geeft \(17 y = -119\) dus \(y = -7 \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}x + 4 y = -29 \\ y = -7\end{rcases} \begin{matrix}x + 4 ⋅ -7 = -29 \\ x = -1\end{matrix}\)
Dus \(S (-1 , -7) \text{.}\)
1p
○
\(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(0 - -1)^{2} + (-3 - -7)^{2}} = \sqrt{17} = 4{,}123...\)
1p
○
\(d(A , c) < d(A , l) \text{,}\) dus \(A\) ligt dichter bij \(c\) dan bij \(l \text{.}\)
1p
Hieronder zijn de cirkel \(c \text{: } x^{2} + y^{2} + 14 x + 6 y + 50 = 0 \text{,}\) de lijn \(l{:}\,3 x + 2 y = 4\) en het punt \(A (-3 , 0)\) getekend.
9p
Bepaal op algebraïsche wijze of \(A\) dichter bij \(c\) of dichter bij \(l\) ligt.
○
\(x^{2} + y^{2} + 14 x + 6 y + 50 = 0\)
\((x + 7)^{2} - 49 + (y + 3)^{2} - 9 + 50 = 0\)
\((x + 7)^{2} + (y + 3)^{2} = 8\)
1p
○
\(M (-7 , -3)\) en \(r = \sqrt{8} \text{.}\)
1p
○
\(d(A , M) = \sqrt{(-3 - -7)^{2} + (0 - -3)^{2}} = 5\)
1p
○
\(d(A , c) = d(A , M) - r = 5 - \sqrt{8} = 2{,}171...\)
1p
○
(lijn \(n\) gaat door \(A\) en staat loodrecht op \(l \text{)}\)
\(\begin{rcases}n{:}\,2 x - 3 y = c \\ A (-3 , 0)\end{rcases} c = 2 ⋅ -3 - 3 ⋅ 0 = -6\)
1p
○
(\(l\) en \(n\) snijden geeft het punt \(S \text{)}\)
\(\begin{cases}3 x + 2 y = 4 \\ 2 x - 3 y = -6\end{cases}\) \(\begin{vmatrix}2 \\ 3\end{vmatrix}\) geeft \(\begin{cases}6 x + 4 y = 8 \\ 6 x - 9 y = -18\end{cases}\)
Aftrekken geeft \(13 y = 26\) dus \(y = 2 \text{.}\)
1p
○
\(\begin{rcases}3 x + 2 y = 4 \\ y = 2\end{rcases} \begin{matrix}3 x + 2 ⋅ 2 = 4 \\ x = 0\end{matrix}\)
Dus \(S (0 , 2) \text{.}\)
1p
○
\(d(A , l) = d(A , S) = \sqrt{(-3 - 0)^{2} + (0 - 2)^{2}} = \sqrt{13} = 3{,}605...\)
1p
○
\(d(A , c) < d(A , l) \text{,}\) dus \(A\) ligt dichter bij \(c\) dan bij \(l \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de cirkels \(c_{1}{:}\,x^{2} + y^{2} - 4 x + 14 y + 41 = 0\) en \(c_{2}{:}\,(x + 6)^{2} + (y - 1)^{2} = 10 \text{.}\)
3p
Bereken exact de afstand tussen \(c_{1}\) en \(c_{2} \text{.}\)
○
Kwadraatafsplitsen geeft \((x - 2)^{2} + (y + 7)^{2} = 12\)
Dus \(M_{1} (2 , -7)\) en \(r_{1} = \sqrt{12} \text{.}\)
1p
○
Het middelpunt van cirkel \(c_{2}\) is \(M_{2} (-6 , 1) \text{,}\) dus
\(d(M_{1} , M_{2}) = \sqrt{(2 - -6)^{2} + (-7 - 1)^{2}} = \sqrt{128} \text{.}\)
1p
○
Er geldt \(r_{2} = \sqrt{10} \text{,}\) dus
\(d(c_{1} , c_{2}) = d(M_{1} , M_{2}) - r_{1} - r_{2} = \sqrt{128}-\sqrt{12}-\sqrt{10} = -\sqrt{10}-2 \sqrt{3}+8 \sqrt{2} \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de punten \(A (-4 , 1)\) en \(B (-7 , -1) \text{.}\)
1p
Bereken exact de afstand tussen \(A\) en \(B \text{.}\)
○
\(d(A , B) = \sqrt{(-4 - -7)^{2} + (1 - -1)^{2}} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de cirkel \(c{:}\,(x + 4)^{2} + (y - 3)^{2} = 6\) en het punt \(A (-2 , 2) \text{.}\)
3p
Onderzoek met een berekening of het punt \(A\) op, binnen of buiten de cirkel \(c\) ligt.
○
\(M (-4 , 3)\) en \(r = \sqrt{6} \text{.}\)
1p
○
\(d(M , A) = \sqrt{(-2 - -4)^{2} + (2 - 3)^{2}} = \sqrt{5} \text{.}\)
1p
○
\(d(M , A) < r \text{,}\) dus \(A\) ligt binnen \(c \text{.}\)
1p
Gegeven is \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C\) met de hoekpunten \(A (8 , -9) \text{,}\) \(B (-3 , 0)\) en \(C (6 , -5) \text{.}\)
6p
Bereken exact de oppervlakte van \(\triangle A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C \text{.}\)
○
\(d(A , B) = \sqrt{(-3-8)^{2}+(0--9)^{2}} = \sqrt{202}\)
1p
○
Lijn \(l\) door \(A\) en \(B\) heeft \(\text{rc}_{l} = {\Delta y \over \Delta x} = {0 - -9 \over -3 - 8} = -\frac{9}{11}\)
1p
○
\(\begin{rcases}y = -\frac{9}{11} x + b \\ \text{door } A (8 , -9)\end{rcases} \begin{matrix}-\frac{9}{11} ⋅ 8 + b = -9 \\ -6\frac{6}{11} + b = -9 \\ b = -2\frac{5}{11}\end{matrix}\)
1p
○
\(y = -{9 \over 11} x-2\frac{5}{11}\) geeft \(-{9 \over 11} x-y-2\frac{5}{11} = 0\) oftewel \(-9 x-11 y-27 = 0\)
1p
○
\(d(l , C) = \frac{\vert -9 \cdot 6-11 \cdot -5-27 \vert}{\sqrt{(-9)^{2}+(-11)^{2}}} = \frac{26}{\sqrt{202}}\)
1p
○
\(O(A\kern{-.8pt}B\kern{-.8pt}C) = {1 \over 2} \sqrt{202} \cdot \frac{26}{\sqrt{202}} = 13 \text{.}\)
1p
Gegeven is de lijn \(l{:}\,3 x - 4 y = 7 \text{.}\)
4p
Bereken exact de coördinaten van de punten \(P\) op de lijn \(x = -3\) die op afstand \(2\) van \(l\) liggen.
○
\(P (-3 , p)\) is een punt op de lijn \(x = -3 \text{.}\)
\(d(P , l) = \frac{\vert 3 \cdot -3-4 p-7 \vert}{3^{2}+(-4)^{2}} = {\vert -4 p-16 \vert \over 5}\)
1p
○
\(d(P , l) = 2\) geeft
\({\vert -4 p-16 \vert \over 5} = 2\)
\(\vert -4 p-16 \vert = 10\)
1p
○
\(-4 p - 16 = 10 ∨ -4 p - 16 = -10\)
\(-4 p = 26 ∨ -4 p = 6\)
\(p = -6\frac{1}{2} ∨ p = -1\frac{1}{2}\)
1p
○
Dus \(P_{1} (-3 , -6\frac{1}{2})\) en \(P_{2} (-3 , -1\frac{1}{2}) \text{.}\)
1p