De grafiek van de functie \(f(x) = -10 x - \begin{vmatrix}x^{2} + 7 x - 18\end{vmatrix}\) heeft knikpunten \(A\) en \(B\) en top \(T \text{.}\) Zie de figuur.
4p
a
Bereken exact de coördinaten van \(A \text{,}\) \(B\) en \(T \text{.}\)
2p
b
Bereken exact voor welke \(p\) de vergelijking \(f(x) = p\) vier oplossingen heeft.
5p
c
Bereken exact de nulpunten van \(f \text{.}\)
a
[Knikken bij]
\(x^{2} + 7 x - 18 = 0\)
\((x + 9) (x - 2) = 0\)
\(x = -9 ∨ x = 2\)
1p
○
\(f(-9) = 90\) en \(f(2) = -20\) dus \(A (-9 , 90)\) en \(B (2 , -20)\)
1p
○
Top voor \(-9 < x < 2\) en daar is \(\begin{vmatrix}x^{2} + 7 x - 18\end{vmatrix} = -x^{2} - 7 x + 18 \text{,}\) dus daar geldt
\(f(x) = -10 x - (-x^{2} - 7 x + 18) = x^{2} - 3 x - 18\)
1p
○
\(x_{T} = {3 \over 2 ⋅ 1} = 1\frac{1}{2}\) en \(y_{T} = f(1\frac{1}{2}) = -20\frac{1}{4} \text{,}\) dus \(T (1\frac{1}{2} , -20\frac{1}{4}) \text{.}\)
1p
b
De vergelijking \(f(x) = p\) heeft vier oplossingen als de lijn \(y = p\) tussen \(B\) en \(T\) ligt.
1p
○
Dus \(-20\frac{1}{4} < p < -20\) (want \(y_{T} = -20\frac{1}{4}\) en \(y_{B} = -20 \text{).}\)
1p
c
Tussen \(A\) en \(B\) geldt \(-9 < x < 2\) en \(f(x) = x^{2} - 3 x - 18 \text{,}\) dus \(f(x) = 0\) geeft daar
\(x^{2} - 3 x - 18 = 0\)
\((x + 3) (x - 6) = 0\)
\(x = -3 ∨ x = 6\)
1p
○
\(-9 < x < 2 \text{,}\) dus \(x = 6\) voldoet niet
1p
○
Links van \(A\) geldt \(x < -9 \text{,}\) dus \(\begin{vmatrix}x^{2} + 7 x - 18\end{vmatrix} = x^{2} + 7 x - 18\) en
\(f(x) = -10 x - (x^{2} + 7 x - 18) = -x^{2} - 17 x + 18\)
1p
○
\(f(x) = 0\) geeft daar
\(-x^{2} - 17 x + 18 = 0\)
\(x^{2} + 17 x - 18 = 0\)
\((x + 18) (x - 1) = 0\)
\(x = -18 ∨ x = 1\)
1p
○
\(x < -9 \text{,}\) dus \(x = 1\) voldoet niet.
De nulpunten van \(f\) zijn dus \(-18\) en \(-3 \text{.}\)
1p
Gegeven zijn de functies \(f(x) = 4 x - 2 + \begin{vmatrix}1 - 2 x\end{vmatrix}\) en \(g(x) = 3 x + 3 \text{.}\)
De grafieken van \(f\) en \(g\) snijden elkaar in de punten \(A\) en \(B \text{.}\)
2p
a
Bereken exact de coördinaten van het knikpunt van de grafiek van \(f \text{.}\)
4p
b
Bereken exact de coördinaten van \(A\) en \(B \text{.}\)
a
Knik als \(1 - 2 x = 0 \text{,}\) dus als \(x = \frac{1}{2} \text{.}\)
1p
○
\(f(\frac{1}{2}) = 4 ⋅ \frac{1}{2} - 2 + 0 = 0 \text{,}\) dus het knikpunt is \((\frac{1}{2} , 0) \text{.}\)
1p
b
Voor \(x < \frac{1}{2}\) geldt \(1 - 2 x > 0 \text{,}\) dus
\(\begin{vmatrix}1 - 2 x\end{vmatrix} = \begin{cases}(1 - 2 x) \text{ als } x < \frac{1}{2} \\ -(1 - 2 x) = (-1 + 2 x) \text{ als } x ≥ \frac{1}{2}\end{cases}\)
1p
○
\(f(x) = \begin{cases}4 x - 2 + (1 - 2 x) = 2 x - 1 \text{ als } x < \frac{1}{2} \\ 4 x - 2 + (-1 + 2 x) = 6 x - 3 \text{ als } x ≥ \frac{1}{2}\end{cases}\)
1p
○
[punt \(A \text{]}\)
\(2 x - 1 = 3 x + 3\)
\(-x = 4\)
\(x = -4\)
\(g(-4) = -9 \text{,}\) dus \(A (-4 , -9) \text{.}\)
1p
○
[punt \(B \text{]}\)
\(6 x - 3 = 3 x + 3\)
\(3 x = 6\)
\(x = 2\)
\(g(2) = 9 \text{,}\) dus \(B (2 , 9) \text{.}\)
1p